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10.05定积分在物理中的应用_图文

第五节

第十章

定积分在物理学上的应用
一、 液体静压力 二、 引力 三、 功与平均功率

一. 液体静压力
设液体密度为 ?

深为 h 处的压强: p ? g ? h
? 当平板与水面平行时, 平板一侧所受的压力为
P? pA

h

? 当平板不与水面平行时, 所受静压力问题就需用积分解决 .

面积为 A 的平板

数学分析

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2

例1. 一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为

? 的液体 , 求桶的一个端面所受的静压力.
解: 建立坐标系如图. 所论半圆的 方程为
(0 ? x ? R )

利用对称性 , 静压力元素
d P ? 2 g ? x R 2 ? x 2 dx

o x y x?dx

端面所受静压力为
P?

?0

R

2g ? x

R ? x dx ?
2 2

2g ?

R

3 小窄条上各点的压强

R

3

x

p?g?x
数学分析
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3

说明:当桶内充满液体时, 小窄条上的压强为 g ? ( R ? x) , 侧压力元素 dP ? 2 g ? ( R ? x) R 2 ? x 2 dx ,

故端面所受侧压力为
o x
y

奇函数
? 4R g ? ?
R

R ? x dx

2

2

x?dx R

0

x

?? g? R

3

数学分析

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4

二. 引力
质量分别为 的质点 , 相距 r ,
r
m1

二者间的引力 : 大小:
方向: 沿两质点的连线

m2

若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 .

数学分析

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5

例2. 设有一长度为 l, 线密度为? 的均匀细直棒, 在 其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M, 试计算 该棒对质点的引力. 解: 建立坐标系如图. 细棒上小段
[ x , x ? dx] 对质点的引力大小为
dF ? k

y

a

M

d Fx

m? dx
a ?x
2 2

d Fa ? y

dF x?dx l x x
2

故垂直分力元素为
d Fy ? ? d F cos ? m? dx ? ?k ? 2 2 a ?x
数学分析

?
a a ?x
2 2

l 2

o

? ?k m ? a
2

dx (a ? x )
2
3 2

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6

棒对质点的引力的垂直分力为
Fy ? ?2 k m? a ?
l 2

y

dx (a ? x )
2 2
3 2
l 2

a
d Fy

M

0

d Fx

x ? ? ? ? k m? a ? 2 2 2? a ?x ? ?a
?? 2k m? l a 1 4a ? l
2 2

?
dF

0

?

l 2

o

x?dx l x x
2

利用对称性

棒对质点引力的水平分力 Fx ? 0 . 故棒对质点的引力大小为 F ?
数学分析

2k m? l

1 4a ? l
2 2

a

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7

说明: 1) 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 , 此时引力大小为
2k m? a

y
b
y

方向与细棒垂直且指向细棒 . 2) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处

a
?

移到 b (a < b) 处时克服引力作的功,
则有
2k m? l ? y
W ? ?2k m ? l ?
数学分析

1 4y ?l
b a

?
2

2

l 2

o

x?dx l x x
2

dy y 4y ? l
2 2
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8

3) 当质点位于棒的左端点垂线上时,
(a ? x ) 2 x dx d Fx ? d F ? sin ? ? k m ? y 2 2 32 (a ? x ) a d Fx l dx d Fy ? d F ? k m ? d x ? Fy ? ? k m? a ? 2 2 2 2 32 0 a ?x (a ? x )

d Fy ? ? d F ? cos ? ? ? k m ? a

dx
2 2
3

注意正负号

Fx ? k m? ?

l 0 2

x dx (a ? x )
2
3 2

o

x x ? d xl x

引力大小为 F ? F 2 ? F 2 x y
数学分析
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9

三.功与平均功率
设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x=a 移动到

力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .
在其上所作的功元

素为
d W ? F ( x ) dx

a

x x?dx b

x

因此变力F(x) 在区间
W ?
数学分析

上所作的功为

?a F ( x) dx
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10

b

例3. 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 一个单
位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) , 求电场力所作的功 . 解: 当单位正电荷距离原点 r 时, 由库仑定律电场力为
?q

?1 ?1
a

则功的元素为 d W ?
所求功为 说明:
数学分析

kq r
2

o
dr

r r ? dr b

r

1 1 ? 1? b ? kq ? ? kq ( ? ) ? r? a a b ? ? ? kq a
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11

例4. 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 体, 由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从 点 a 处移动到点 b 处 (如图), 求移动过程中气体压力所 作的功 .
解: 建立坐标系如图. 由波义耳—马略特定律知压强

p 与体积 V 成反比 , 即
力为

故作用在活塞上的

功元素为 所求功为
数学分析

S
o a xx ? d x
b

x

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12

例5. 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m,
试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解: 建立坐标系如图. 在任一小区间 [ x , x ? dx] 上的一薄层水的重力为
2 g ? ? ? ? 3 dx (KN)

o
5m

x
x?dx

这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为
d W ? 9? g ? x dx

故所求功为
W ?

3m
x
2

x
5

?0

5

9? g ? x d x ? 9? g ?

? 112.5? g ? ( KJ )
数学分析

2 0

设水的密 度为 ?
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13

于是功的微元为

T 0

d W ? P(t ) d t
2?

W ? ? P(t ) d t ? ?

?
0

Vm R

2

sin ?t d t ?
2

? Vm
R?

2

平均功率为
P?

? T

1

T 0

P (t ) d t ?

? ? Vm
2? R?

2

?

Vm

2

?

(Vm R

2)

2

2R

即交流电压 V ? Vm sin ? t 在一个周期上的平均功率与

直流电压 V ?
数学分析

Vm 2

的功率是相当的.
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15

作业

P259 1.; 3.; 7.; 10.

数学分析

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16

思考与练习
1.为清除井底污泥, 用缆绳将抓斗放入井底, 抓起污 泥后提出井口, 已知井深30 m , 抓斗自重400N , 缆绳每 米重50N , 抓斗抓起的污泥重2000N , 提升速度为3m /s , 在提升过程中污泥 以20N /s 的速度从抓斗缝隙中漏掉, 现将抓起污泥的抓斗提升到井口, 问
x?dx x

30

克服重力需作多少焦耳( J ) 功? (99考研)
提示: 作 x 轴如图. 将抓起污泥的抓斗由

x 提升 dx 所作的功为
数学分析

o
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17

井深 30 m,

抓斗自重 400 N,

缆绳每米重50N,
提升速度为3m∕s,

抓斗抓起的污泥重 2000N,
d W ? d W1 ? d W2 ? d W3

污泥以 20N∕s 的速度从抓斗缝隙中漏掉 克服抓斗自重: d W1 ? 400 d x 克服缆绳重: d W2 ? 50 ? (30 ? x) d x 抓斗升至 x 处所需时间 : 提升抓斗中的污泥:
? W ??
数学分析

30

x 3

(s)

x?dx x

30 0

d W3 ? (2000 ? 20 ? x ) d x
3

o

[ 400 ? 50(30 ? x) ? (2000 ? 20 ? x )] d x
3

? 91500 (J)
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18

2. 设星形线 度的大小等于该点到原点距离的立方, 在点O 处有一单

3 3 x ? a cos t , y ? a sin t 上每一点处线密

位质点 , 求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.
提示: 如图.
dF ? k (x ?
2 2 2 y )2 2
3

ds

x ?y

? k(x ? y ) d s

2

2

1 2

d Fx ? d F ? cos ?
? k(x ?
2 2 2 y )
1

y

B
? x x ?y
2 2

ds

d s ( x, y )

? kx ds

?
o
A x
19

d Fy ? d F ? sin ? ? k y d s
数学分析

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Fx ? k ? 2 a cos t ?
0

?

3

[3 a cos t ? (? sin t )] ? [3 a sin t ? cos t ] d t
? 3 a k ? cos t ? sin t d t ?
2

2

2

2

2

2

?

4

3 5

0

ka

2

Fy ?

3 5

y

ka

2

B

故星形线在第一象限的弧段对该质点的 d s ( x, y ) 引力大小为 F ?
3 5 2k a
2

?
o
A x

3 3 x ? a cos t , y ? a sin t ; d Fx ? k x d s , d Fy ? k y d s
数学分析
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20

3. 求由

2 y ? 2 x 与 y ? 4 x ? x 所围区域绕 y ? 2 x

旋转所得旋转体体积. 解: 曲线与直线的交点坐标为 A (2 , 4), 曲线上任一点
P ( x , 4 x ? x ) 到直线 y ? 2 x 的距离为
2

u
A y ? 2x

以 y ? 2 x 为数轴 u (如图), 则
dV ? ? ? d u
2
2 5

P
5 d x)
o

y ? 4x ? x

2

(d u ?
2

du dx 2
5?
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21

? ? ? 1 ( x ? 2 x) ? 5 d x

故所求旋转体体积为
V ??
数学分析

?

2 1 (x 0 5

2

? 2 x)

2

5d x ?

16 75

4. 半径为 R , 密度为 的水池底, 水的密度
多少功 ?

的球沉入深为H ( H > 2 R )
现将其从水池中取出, 需做

解: 建立坐标系如图 . 则对应 [ x , x ? dx] 上球的薄片提到水面上的微功为
d W1 ? ( ? ? ? 0 ) g ? y 2 dx? ( H ? R ? x)
H

? ( ? ? ? 0 ) g ? ( R ? x )( H ? R ? x) dx
2 2

o

提出水面后的微功为
d W2 ? ? g ? y 2 dx ? ( R ? x)

x

y

微元体积 所受重力

x
( x , y)
22

? ? g ? ( R ? x )( R ? x) dx
2 2
数学分析

上升高度

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因此微功元素为
dW ? dW1 ? dW2

球从水中提出所做的功为
W ? g? ?
R ?R

[( ? ? ? 0 ) H ? ? 0 ( R ? x)] ( R ? x ) d x
2 2

“偶倍奇零”

? 2 g ? [( ? ? ? 0 ) H ? ? 0 R] ? ( R ? x ) d x
0
H

R

2

2

o

x

y

x
数学分析
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23

5. 设有半径为 R 的半球形容器如图. (1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为 为h (0 < h < R ) 时水面上升的速度 . (2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最 少应为多少 ? 解: 过球心的纵截面建立坐标系如图. 则半圆方程为 设经过 t 秒容器内水深为h , 则 h ? h(t ) .
数学分析

y

R
h

o
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x
24

(1) 求 由题设, 经过 t 秒后容器内的水量为 at (升) , 而高为 h 的球缺的体积为
V (h) ? ? ? ( 2 Ry ? y ) d y
2 0 h

y

R
h

o
x ? 2R y ? y
2 2

x

故有 两边对 t 求导, 得
? (2 Rh ? h )
2

?a

半球可看作半圆 绕 y 轴旋转而成 体积元素: ? x 2 d y

?
数学分析

a

? ( 2 Rh ? h )
2
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25

(2) 将满池水全部抽出所做的最少功为将全部水提 到池沿高度所需的功.

对应于

薄层所需的功元素
? ? g ? (2 Ry ? y )( R ? y ) d y
2

y R
y

故所求功为
? g ? ? ( 2 R 2 y ? 3R y 2 ? y 3 ) d y
0 R

o
微元体积: ? x d y
2

x

?

?
4

? gR

4

微元的重力 : ? g ? x d y
2
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26

数学分析


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