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湖南省平江一中修水一中2016届高三数学上学期联考试题 理


修水一中平江一中 2016 届高三联考理科数学试题
时量:120 分钟 总分:150 分 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,选出正确选项填在答题卡相应位置) 1.设集合 M ? {?1,0,1} , N ? {a, a 2 } 则使 M∩N=N 成立的 a 的值是( ) A.1 B.-1 C.0 D.1 或-1 2.已知两条直线 y=ax-2 和 3x-(a+2)y+1=0 互相平行,则 a 等于( ) A.1 或-3 3. 设等差数列 ? a
n

B.-1 或 3

C.1 或 3

D.-1 或 3 )

?

前 n 项和为 S n ,若 a2 ? S3 ? ?4 , a 4 ? 3 ,则公差为 ( C. 3 ( ) D. 2

A. ? 1 B. 1 4.下列说法中,正确的是

A.命题“若 a ? b ,则 am 2 ? bm 2 ”的否命题是假命题. B.设 ? , ? 为两个不同的平面,直线 l ? ? ,则“ l ? ? ”是 “ ? ? ? ” 成立的充分不必要条件 C.命题“存在 x ? R, x ? x ? 0 ”的否定是“对任意
2

主视图

左视图

2 2
俯视图

2

x ? R, x ? x ? 0 ”.
2

D.已知 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“ x ? 2 ”的充分不必要条件. 5.已知一个空间几何体的三视图如右图所示,根据图中标出的尺寸, 可得这个几何体的体积是 ( ) A. 2 B. 4
x ?1

4
(第 5 题图)

C. 6

D. 12 )

6.函数 f ( x) ? ? | x ? 5 | ?2 A. (0,1) B. (1,2)

的零点所在的区间是( C. ( 2,3) D. (3,4)

7.已知双曲线的焦距为 2 3 ,焦点到一条渐近线的距离为 2 ,则双曲线的标准方程为





y2 ?1 A. x ? 2
2

x2 ? y2 ? 1 B. 2
D.

C. x ?
2

y2 x2 ? 1 或 y2 ? ? 1 2 2

x2 y2 ? y 2 ? 1 或 ? x2 ? 1 2 2

8.函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?
6

)(? ? 0) 的图象与 x 轴的交点坐标成一个公差为
( )

?
2

的等差数列.

要得到函数 g ( x) ? A cos ? x 的图象,只需要 f ( x) 的图象 A.向左平移

?
6

个单位

B.向右平移

?
3

个单位

1

C.向左平移

2? 个单位 3

D.向右平移

2? 个单位 3

9.空间四点 A、B、C、D 均在同一球面上,其中△ABC 是正三角形,AD⊥平面 ABC,AD=2AB =6,则该球的体积为( ) A.32 3

?
2

B.48 ?

C.64 3

?

D.16 3

?

10.抛物线 y=2x 上两点 A(x1,y1) 、B(x2,y2)关于直线 y=x+m 对称,且 x1?x2=﹣ ,则 m 等于 A. ( B.2 ) C. D.3 若方程 f ( x) ? t (t ? R ) 有四个不同的实数根

11.已知函数 f ( x) ? ?

? ? log 2 x , 0 ? x ? 4, 2 ? ? x ? 12 x ? 34, x ? 4.

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ,则 x 1 x 2 x 3 x 4 的取值范围为
A. (32,36) B. (30,36) C. (32,34)

(

) D. (30,34)

12.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 是奇函数且满足 f ( ? x) ? f ( x) , f (?2) ? ?3 ,数列

3 2

?an ? 满 足 a1 ? ?1 , 且
f ( a5 ) ? f ( a 6 ) ?

Sn a ( 其 中 S n 为 ?a n ? 的 前 n 项 和 ) 。则 ? 2? n ?1 , n n
( ) D. 2

A. ? 3 B. ? 2 C. 3 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 ? ? [

?
2

, ? ],sin ? ?

3 ,则 sin 2? =_______. 3

?x ? y ? 1 ? 0 ? 14.若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值为__________。 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

15.若函数 f ( x) ? cos 2 x ? a sin x 在区间 (

? ?

, ) 是减函数,则 a 的取值范围是 6 2

.

16.设集合 M= a1 ,a 2 ... a n (n ? N ? ) ,对 M 的任意非空子集 A,定义 f ( A) 为 A 中的最大 元素,当 A 取遍 M 的所有非空子集时,对应的 f ( A) 的和为 Tn ,若 a n ? 2 ① T3 =_______________,② Tn =__________________. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 10 分) 已知函数 (其中 ω >0,x∈R)的最小正周期为 10π .
2
n ?1

?

?

则:

(1)求 ω 的值; (2)设 求 cos(α +β )的值. , , ,

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱柱 ABCD-PGFE 中,底面 ABCD 是直角梯形,侧棱垂直于底面,AB//DC,∠ ABC=45o,DC=1,AB=2,PA=1. (1)求 PD 与 BC 所成角的大小; (2)求证:BC⊥平面 PAC; (3)求二面角 A-PC-D 的大小.

19.(本小题满分 12 分) 如果函数 f ? x ? ? 减,求 mn 的最大值。

1 ?1 ? n ? 0 ? 在区间 ? , 2 上单调递 ? m ? 2 ? x 2 ? ? n ? 8? x ? 1? m ? 0, 2 ?2 ? ?

20.(本小题满分 12 分) 已知数列{an}的首项 a1= 2 ,an+1=

3

2a n * (n∈N ) an ? 1

(1)设 bn = 1 ? 1 ,求数列 {bn } 的通项公式;

an

(2)求数列{ n }的前 n 项和 S n

an

21. (本大题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半 2 a b 2
3

径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切, 过点 P (4, 0) 且不垂直于 x 轴直线 l 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 OA ? OB 的取值范围; (3)若 B 点在于 x 轴的对称点是 E,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点。

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ? x , g ( x) ? a ln x(a ? 0, a ? R). (1)求 f ( x) 的极值; (2)若对任意 x ? [1,??) ,使得 f ( x) ? g ( x) ? - x ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值 范围; (3)证明:对 n ? N * ,不等式

3

2

3

1 1 1 2015 成立. ? ?? ? ? ln(n ? 1) ln(n ? 2) ln(n ? 2015) n(n ? 2015)

4

1—5 BADBB 13、 ?

理科数学(参考答案及评分标准) 6 –10 CCAAA 11---12 CC 14.

2 2 3

3 2

15、 a ? 2

16. (1)21

(2)

4n ? 1 3

17、 (10 分)

f ( x) ?

1 3 ? 1 (1 ? cos 2?x) ? sin 2?x ? sin( 2?x ? ) ? 2 2 6 2

T?
-

2? ? ? ,? ? 1 2?
+

f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

)?

1 2 ?

增 区 间 ( k π

? 6

, k π

? ), 3

k ? Z???????????????5 分 (2)当 x ? [0,

?
2

] 时,

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? , 6

即 f ( x) 的值域是 [0, ] ?????10 分

3 2

18. (12 分) (Ⅰ)取的 AB 中点 H,连接 DH,易证 BH//CD,且 BD=CD?????????1 分 所以四边形 BHDC 为平行四边形,所以 BC//DH 所以∠PDH 为 PD 与 BC 所成角????????????2 分 因为四边形,ABCD 为直角梯形,且∠ABC=45 , 所以⊥DA⊥AB 又因为 AB=2DC=2,所以 AD=1, 因为 Rt△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH 都为等腰直角三角 形
o o







PD=DH=PH=

2







PDH=60 ???????????????????????4 分 (II)连接 CH,则四边形 ADCH 为矩形, ∴AH=DC 在 Rt△BHC 中,∠ABC=45 , ∴CH=BH=1,CB= 2 ∴AD=CH=1,AC= 2 ∴AC +BC =AB
2 2 2 o

又 AB=2,∴BH=1

∴BC⊥AC?????????????6 分

又 PA 平面 ABCD∴PA⊥BC ??????????????7 分 ∵PA∩AC=A∴BC⊥平面 PAC ?????????????8 分 (Ⅲ)如图,分别以 AD、AB、AP 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则由题设可 知: A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),D(1,0,0),

??? ? ??? ? ∴ AP =(0,0,1), PC =(1,1,-1) ??????????9 分
??? ? ? ?m ?AP ? 0 设 m=(a,b,c)为平面 PAC 的一个法向量, 则 ? ??? , ? ? ?m ?PC ? 0

5

?c ? 0 即? ?a ? b ? c ? 0
设 a ? 1 ,则 b ? ?1 ,∴m=(1,-1,0) ???????10 分同理设 n=(x,y,z) 为平面 PCD 的一个法向量,求得 n=(1,1,1) ???????????????????11 分 ∴ cos m , n ?

m ?n 1 ? 1 ? 1 ? 0 ? 0 ? 1 1 ? ? m ?n 2 2? 2
o

所以二面角 A-PC-D 为 60 ????????????? 12 分 19 (12)当 m=2 时,0<n<8 则 mn<16??2 当 m ? 2 时,抛物线的对称轴为 x ? ? 当 m ? 2 时, ?

n ?8 ? 2 即 2m ? n ? 12 . m?2 2m ? n ? 2m ? n ? ? 6,? mn ? 18 ?..6 2 由 2m ? n 且 2m ? n ? 12 得 m ? 3, n ? 6 .

n ?8 .据题意, m?2

当 m?2 时 , 抛 物 线 开 口 向 下 , 据 题 意 得 , ?

2n ? m 81 ? 9,? mn ? ?.8 2 2 由 2n ? m 且 m ? 2n ? 18 得 m ? 9 ? 2 ,故应舍去 . 要使得 mn 取得最大值,应有 m ? 2n ? 18 (m ? 2, n ? 8) ?.10 所以 mn ? (18 ? 2n)n ? (18 ? 2 ? 8) ? 8 ? 16 ,所以最大值为 18??12

n ?8 1 即 ? m?2 2

m ? 2n ? 18 .?

2n ? m ?

20. (12 分) 解: (1)由 an+1= ∴ bn ?1 = 1 bn

2a n 得: 1 = 1 + 1 ,∴ 1 ? 1 = 1 ( 1 ? 1 ), 2 an an ? 1 a n ?1 2 2a n a n ?1

2

b 又 b1 = 1 ? 1 = 3 -1= 1 ≠0,∴ bn ≠0,∴ n ?1 = 1 (常数) ,∴数列{ bn }是以 1 为首项,
a1
2

2

bn

2

2

以 1 为公比的等比数列,∴ bn = ? ?1? ? ????????????????????6

n

2

?2?

分 (2)由(1)知: 1 ? 1 = ? ?1? ? ,∴ 1 = ? ?1? ? +1,
n n

an

?2?

an

?2?

∴ n =n+ n , n

an

2

6

2 ∴Sn= 1 + 2 +?+ n =(1+2+···+n)+[1× 1 +2×( 1 ) +···+

a1

a2

an

2

2

n×( 1 ) ],
n

2

2 n 令 Tn=1× 1 +2×( 1 ) +···+n×( 1 ) ,得:Tn=2- 1 - n (“差比”数 n ?1 n

2

2

2

2

2

列求和)

2+ ∴Sn=2- n ? n 2

n(n ? 1) n 2 ? n ? 4 n ? 2 = - n ?12 分 2 2 2
c 1 ? , a 2

21. (12 分)(1)解:由题意知 e ? ∴ e2 ? 又b ?

c2 a 2 ? b2 1 4 ? ? ,即 a 2 ? b 2 2 2 4 3 a a
6 1?1 ? 3 ,∴ a 2 ? 4, b2 ? 3
y2 x2 ? ? 1 ?3 4 3

故椭圆的方程为

3分

(2)解:由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4)
? y ? k ( x ? 4) ? 由 ? x2 得: (4k 2 ? 3) x 2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 y2 ? ? 1 ? 3 ? 4

由 ? ? (?32k 2 ) 2 ? 4(4k 2 ? 3)(64k 2 ? 12) ? 0 得: k 2 ? 设 A(x1,y1),B (x2,y2),

1 4

32k 2 64k 2 ? 12 , x x ? ①?..6 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 ∴ y1 y2 ? k ( x1 ? 4)k ( x2 ? 4) ? k 2 x1 x2 ? 4k 2 ( x1 ? x2 ) ? 16k 2
则 x1 ? x2 ?

6分

12
22、 (12 分) I

f ?( x) ? ?3x 2 ? 2 x ? 0 , x ? 0或

2 3



2 2 f ( x)在(??, 0) ?, (0, ) ?, ( , ??) ? , 3 3
7

2 4 ????4 分 ? f ( x)极小 ? f (0) ? 0,f ( x)极大 ? f ( ) ? 3 27
II f ( x) ? g ( x) ? ? x ? (a ? 2) x化为a (ln x ? x ) ? 2 x ? x
3 2

易知 ln x ? x ,? a ?

x2 ? 2x x2 ? 2x ,设 ? ( x) ? x ? ln x x ? ln x

? ?( x) ?

( x ? 1)( x ? 2 ? 2 ln x) 2 ,设 h( x) ? x ? 2 ? 2 ln x , h?( x) ? 1 ? 2 x ( x ? ln x)


? h( x)在(1, 2) ?, (2, ??) ?

? h( x) min ? h(2) ? 4 ? 2 ln 2 ? 0

?? ?( x) ? 0



?? ( x)在[1, ??) 上是增函数, ? ( x) min ? ? (1) ? ?1

? a ? ?1 ????????????????????8 分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知: a ln x ? (a ? 2) x ? x ? 0对x ? 1 恒成立,
2

令 a ? ?1,则 ln x ? x ? x ,?
2

1 1 1 1 ? ? ? ln x x( x ? 1) x ? 1 x

?, n ? 2015得 取 x ? n ? 1,n ? 2,
1 1 1 ? ? , ln(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 ? ? , ln(n ? 2) n ? 1 n ? 2 ? 1 1 1 ? ? ln(n ? 2015) n ? 2014 n ? 2015
相加得:

1 1 1 ? ??? ln(n ? 1) ln(n ? 2) ln(n ? 2015) 1 1 1 1 1 1 2015 ?( ? )?( ? ) ?? ? ? ? ???? n n ? 2015 n(n ? 2015) n n ?1 n ?1 n ? 2 1 1 ?( ? ) n ? 2014 n ? 2015
??12 分

8


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