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高中数学苏教版必修四练习:2.4向量的数量积(二)(含答案)

§2.4 课时目标 向量的数量积(二) 1.掌握数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能运用数量积的坐标表示求两个向量的夹角,会用数量积的坐标表示判断两个平面 向量的垂直关系,会用数量的坐标表示求向量的模. 1.平面向量数量积的坐标表示 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b=____________. 即两个向量的数量积等于它们________________________. 2.平面向量的模 (1)向量模公式:设 a=(x1,y1),则|a|=________. (2)两点间距离公式:若 A(x1,y1),B(x2,y2), → 则|AB|=________________. 3.向量的夹角公式 设两非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 的夹角为 θ,则 cosθ=________________ =________________________. 4.两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b?________________. 一、填空题 1.已知向量 a=(1,n),b=(-1,n),若 2a-b 与 b 垂直,则|a|=________. 2.已知 a=(3, 3),b=(1,0),则(a-2b)· b=______. 3.若平面向量 a=(1,-2)与 b 的夹角是 180° ,且|b|=4 5,则 b=________. 4.平面向量 a 与 b 的夹角为 60° ,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=________. 5.若 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为______. 6.a,b 为平面向量,已知 a=(4,3),2a+b=(3,18),则 a,b 夹角的余弦值为________. 7. 已知向量 a=(1,2), b=(2, -3). 若向量 c 满足(c+a)∥b, c⊥(a+b), 则 c=________. 8.已知向量 a=(2,1),a· b=10,|a+b|=5 2,则|b|=________. 9.已知 a=(-3,2),b=(-1,0),向量 λa+b 与 a-2b 垂直,则实数 λ 的值为________. 10. 已知 a=(-2, -1), b=(λ, 1), 若 a 与 b 的夹角 α 为钝角, 则 λ 的取值范围为________. 二、解答题 11.已知 a 与 b 同向,b=(1,2),a· b=10. (1)求 a 的坐标; (2)若 c=(2,-1),求 a(b· c)及(a· b)c. 12.已知三个点 A(2,1),B(3,2),D(-1,4), (1)求证:AB⊥AD; (2)要使四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标并求矩形 ABCD 两对角线所成的锐角的余 弦值. 能力提升 π 0, ? 13. 已知向量 a=(1,1), b=(1, a), 其中 a 为实数, O 为原点, 当此两向量夹角在? ? 12? 变动时,a 的范围是________. → 1→ 2→ → → 14.若等边三角形 ABC 的边长为 2 3,平面内一点 M 满足CM= CB+ CA,则MA· MB 6 3 =________. 1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算.为利用向量法解决平面几何问题以及解 析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持. 2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题,在学习 中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力. § 2.4 向量的数量积(二) 知识梳理 1.x1x2+y1y2 对应坐标的乘积的和 2 2.(1) x2 1+y1 (2) (x2-x1)2+(y2-y1)2 a· b 3. |a||b| x1x2+y1y2 2 2 2 x1+y2 1 x2+y2 4.x1x2+y1y2=0 作业设计 1.2 解析 由(2a-b)· b=0,则 2a· b-|b|2=0, ∴2(n2-1)-(1+n2)=0,n2=3. ∴|a|= 1+n2=2. 2.1 解析 a-2b=(1, 3), (a-2b)· b=1× 1+ 3× 0=1. 3.(-4,8) 解析 由题意可设 b=λa=(λ,-2λ),λ<0, 则|b|2=λ2+4λ2=5λ2=80,∴λ=-4, ∴b=-4a=(-4,8). 4.2 3 解析 a=(2,0),|b|=1, ∴|a|=2,a· b=2× 1× cos60° =1. ∴|a+2b|= a2+4× a· b+4b2=2 3. 5. 65 5 解析 设 a、b 的夹角为 θ, 则 cosθ= 2× (-4)+3× 7 2 +3 2 2 (-4) +7 2 2= 5 , 5 故 a 在 b 方向上的投影为 5 65 |a|cosθ= 13× = . 5 5 a· b 或直接根据 计算 a 在 b 方向上的投影. |b| 16 6. 65 解析 ∵a=(4,3),∴2a=(8,6).又 2a+b=(3,18), ∴b=(-5,12),∴a· b=-20+36=16. 又|a|=5,|b|=13, ∴cos〈a,b〉= 7 7? 7.? ?-9,-3? 解析 设 c=(x,y), 由(c+a)∥b 有-3(x+1)-2(y+2)=0,① 由 c⊥(a+b)有 3x-y=0,② 7 7 7 7 联立①②有 x=- ,y=- ,则 c=(- ,- ). 9 3 9 3 8.5 解析 ∵|a+b|=5 2, ∴|a+b|2=a2+2a· b+b2 =5+2× 10+b2=(5 2)2, ∴|b|=5. 16 16 = . 5× 13 65 1 9.- 7 解析 由 a=(-3,2),b=(-1,0), 知 λa+b=(-3λ-1,2λ),a-2b=(-1,2). 又(λa+b)· (a-2b)=

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