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利用函数性质判定方程解的存在(公开课)_图文

4.1.1利用函数性质 判定方程解的存在

问题一:
一元一次方程 x ? 1 ? 0的根和相应的一次函数 f ( x) ? x ? 1的图像与 x 轴交点坐标有何关系?

y
? ? ? 1 2

o

?-1

x

问题二:
一元二次方程 x ? 3x ? 2 ? 0的根和相应的二次函数
2

f ( x) ? x 2 ? 3x ? 2的图像与 x轴交点坐标有何关系?
y
? 1 ? 2

o

x

函数零点的定义:
函数的图像与横轴的交点的横坐标称为这个 函数的零点。

注意:
1.零点指的是一个实数; 2.不是所有函数都有零点.
1 2 y ? , y ? x ? 2 x ? 3. 如: x

零点是一个点吗?

函数都有零点吗?

等价关系:

方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图像与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

例1、求函数 f ( x) ? lg( x ? 1) 的零点。

练习:求下列函数的零点:

(1)、f ( x) ? x ? 5x ? 6
2

(2)、f ( x) ? 2 ? 1
x

评注:求函数的零点就是求相应方程的根,
一般可以借助求根公式或因式分解等办法, 求出方程的根,从而得出函数的零点。

问题三:
函数 y ? f ( x) 在某个区间上是否一定有零点?怎样

的条件下,函数 y ? f ( x) 一定有零点?

观察函数 f ( x) ? x ? 1 的图像,此函数在区间 ?0,2?上有没有零点?

计算函数 f ( x) ? x ? 1在区间?0,2? 的两个端点 对应的函数值 f (0) 和 f (2) 的乘积,你能发现这 个乘积有何特点? y
1

o

?-1

? ? ? 1 2

x

观察二次函数 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 2 的图像,此函数
在区间 ?0,
? ? 3? 上没有零点? ? 2? 3? 的 计算二次函数 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 2 在区间 ? 0, ? ? ? 2? 3 两个端点对应的函数值 f (0)和 f ( ) ,你能发现这个 2 乘积有何特点?

y
2

3 ? 上是否也 此函数在区间 ? ? ,3? ?2 ?

具有这样的特点?

1 ? 4

o

1

2

3

3 x? 2

x

判断图像连续的函数在某个给定区间存在零 点的方法:

若函数 y ? f ( x) 在闭区间?a, b?上的图像是连续曲线, 并且在区间端点的函数值符号相反即 f (a) ? f (b) ? 0 , 则在区间(a, b)内,函数 y ? f ( x)至少有一个零点,即
相应的方程 f ( x) ? 0在区间(a, b)内至少有一个实数根。



a

b

a

b

a

b

a

b

例2 已知函数f(x)=3x-x2.问:方程f(x)=0在区 间[-1,0]内有没有实数解?为什么?
2 解 因为f(-1)=3-1-(-1)2= ? 3 <0

f(0)=30-(0)2=1 >0 函数f(x)=3x-x2的图像是连续曲线,所以f(x) 在区间[-1,0]内有零点,即f(x)=0在区间[-1,0] 内有实数解.

例3 判定方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实 数解,且一个大于5,一个小于2. y 解:函数f(x)=(x-2)(x-5)-1 f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1 f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1 5 x2 f(x)的图像开口向上的抛物线, O x1 2
所以抛物线与横轴在(5,+∞)内 有一交点,在(-∞,2)内也有一个 交点.
-1

x

方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一 个大于5,一个小于2

堂上练习 1.观察下面的四个函数图像,指出在区间 (-∞,0)内,方程fi(x)=0(i=1,2,3,4)哪个有解? 说明理由. y y
2 1 O 2 1 O 1 y f3(x) 2 x 1 f1(x) 2 x f2(x) 2 1 O 1 y f4(x) 2 x 2 1 O 1 2x

堂上练习 2.判定方程4x3+x-15=0在[1,2]内实数解的 存在性,并说明理由.

解 考虑函数f(x)=4x3+x-15,有 f(1)=-10<0 f(2)=19>0 函数f(x)=4x3+x-15图像是连续曲线, 所以函数f(x)在区间[1,2]内有零点. 即方程4x3+x-15=0在区间[1,2]内有 实数解.

补充练习 2.若关于x的方程3x2-5x+a=0的一根大于-2 小于0,另一根大于1小于3,求a的取值范围.

解 设f(x)=3x2-5x+a,
f(-2)>0 f(0)<0 f(1)<0 f(3)>0 -12<a<0 a>-22 a<0 a<2 a>-12
y

x1

-2 O

1 x2

3 x

补充练习 3.关于x的方程x2-2tx+t2-1=0的两根介于-2 和4之间,求t的范围.

解 设f(x)=x2-2tx+t2-1,则
△≥0 -2<t<4 f(-2)>0 f(4)>0

-1<t<3

课堂小结:
1、函数零点的定义; 2、函数的零点与方程的根的关系; 3、确定函数的零点的方法。


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