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2015-2016学年高一数学课件:1.3.2.1《函数的奇偶性》(新人教A版必修1)

第一章

集合与函数概念

1.3 函数的基本性质

1.3.2 奇偶性

第一课时

函数的奇偶性

课前预习目标

课堂互动探究

课前预习目标
梳理知识 夯实基础

学习目标 1.了解函数奇偶性的含义及其图象特征. 2.掌握判断函数奇偶性的方法和步骤. 3.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法.

课前热身 1.函数奇偶性的概念 (1)偶函数:如果对于函数f(x)的定义域内________一个x, 都有________,那么函数f(x)就叫做偶函数. (2)奇函数:如果对于函数f(x)的定义域内________一个x, 都有________,那么函数f(x)就叫做奇函数.

2.奇、偶函数的图象 (1)偶函数的图象关于________对称,图象关于________ 对称的函数一定是偶函数. (2)奇函数的图象关于________对称,图象关于________ 对称的函数一定是奇函数. 3.判断函数奇偶性要注意定义域优先原则,即首先要看 定义域是否关于________对称.

自 1.(1)任意 我 f(x) 校 2.(1)y轴 对 3.原点

f(-x)=f(x)

(2)任意

f(-x)=-

y轴

(2)原点

原点

思考探究

对于定义在R上的函数f(x),若f(-3)=f(3),则

函数f(x)一定是偶函数吗? 提示 不一定,仅有f(-3)=f(3)不足以确定函数的奇偶 性,不满足定义中的“任意”,故不一定是偶函数.

名师点拨 1.奇函数的特点 (1)图象关于原点对称; (2)在关于原点对称的区间上具有相同的单调性; (3)如果在x=0时有定义,那么f(0)=0. 2.偶函数的特点 (1)图象关于y轴对称; (2)在y轴两侧具有相反的单调性.

3.判定函数的奇偶性的方法 (1)定义法:若函数的定义域不关于原点对称,则函数为 非奇非偶函数;若函数的定义域关于原点对称,则应进一步判 断f(-x)是否等于± f(x),或判断f(-x)± f(x)是否等于0,从而确 定奇偶性. (2)图象法:若函数图象关于原点对称,则函数为奇函 数;若函数图象关于y轴对称,则函数为偶函数.

(3)对于选择题或填空题,还有如下方法判断函数的奇偶 性. 两个奇函数的和仍为奇函数;两个奇函数的积为偶函数; 两个偶函数的和仍为偶函数;两个偶函数的积为偶函数;一个 奇函数与一个偶函数的积为奇函数.

课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通

典例剖析



判断函数的奇偶性
判定下列函数的奇偶性.

【例1】

x2+1 (1)f(x)= ; x-1 (2)f(x)= 1-x2+ x2-1; 3x (3)f(x)= 2 ; x +3 (4)f(x)=|x+1|+|x-1|.

【分析】

解答本题应首先判断函数的定义域是否关于原

点对称,然后再根据定义判定奇偶性.

【解】

(1)f(x)的定义域是(-∞,1)∪(1,+∞),不关于

原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数; (2)f(x)的定义域是{-1,1},关于原点对称,且f(-1)=f(1) =0,∴f(-1)=f(1), 且f(-1)=-f(1), ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数;

(3)f(x)的定义域为(-∞,+∞),关于原点对称, 3?-x? 3x 又f(-x)= =- 2 =-f(x), ?-x?2+3 x +3 ∴f(x)是奇函数; (4)f(x)的定义域为R. 又f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x), ∴f(x)是偶函数.

规律技巧

判断函数的奇偶性,首先要看定义域是否关于

原点对称,若定义域关于原点对称,再用定义判断其奇偶性, 否则,就是非奇非偶函数.

变式训练1

判断下列函数的奇偶性.

(1)f(x)=x+1; 1 (2)f(x)=x+ x; (3)f(x)=x4+x2+1.



(1)定义域为R,

f(-x)=-x+1≠x+1=f(x), 且f(-x)+f(x)=-x+1+x+1=2, ∴f(-x)≠-f(x). 故f(x)为非奇非偶函数. (2)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
? 1? 1 f(-x)=-x+ =-?x+x? -x ? ?

=-f(x), ∴f(x)为奇函数.

(3)f(x)的定义域为R, f(-x)=(-x)4+(-x)2+1 =x4+x2+1=f(x) ∴f(x)为偶函数.



判断分段函数的奇偶性

【例2】 性.

?x2+2x+3 ?x<0?, ? 判断函数f(x)= ?0 ?x=0?, ?-x2+2x-3 ?x>0? ?

的奇偶

【解】 定义域为(-∞,+∞),关于原点对称. 当x<0时,-x>0, ∴f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3 =-x2-2x-3 =-f(x). 当x=0时,f(-x)=-f(x)=0. 当x>0时,-x<0,

∴f(-x)=(-x)2+2(-x)+3 =x2-2x+3 =-(-x2+2x-3) =-f(x). 故f(x)是奇函数.

规律技巧

对于分段函数判断其奇偶性,应按照对应关系

分段进行判断,每段奇偶性相同,才具有奇偶性,否则是非奇 非偶函数.

变式训练2 性.

判断函数f(x)=

? ?x?1-x? ? ? ?x?1+x?

?x<0?, ?x>0?

的奇偶

解 ∵函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原 点对称. 并且当x<0时,-x>0, ∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x),(x<0). 当x>0时,-x<0, ∴f(-x)=-x(1+x)=-f(x),(x>0). ∴函数f(x)是奇函数.



利用函数的奇偶性求解析式

【例3】

已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d是奇函数,并且

f(1)=1,f(2)=14,求f(x).

【解】

∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).

即-ax3+bx2-cx+d=-(ax3+bx2+cx+d), 即bx2+d=0,∴b=0,d=0. 又f(1)=a+c=1,① f(2)=8a+2c=14,② 联立①②解得a=2,c=-1, ∴f(x)=2x3-x.

规律技巧

该题抓住f(-x)=-f(x)对任意实数都成立,得

到恒等式bx2+d=0,进一步可得b=0,d=0. 若函数f(x)的解析式是关于x的多项式的形式,如果f(x)为 偶函数,那么x的奇次项的系数为0;如果是奇函数,那么x的 偶次项系数为0,且常数项为0.

变式训练3

函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x) )

=-x+1,则当x<0时,f(x)的解析式为( A.f(x)=-x+1 C.f(x)=x+1

B.f(x)=-x-1 D.f(x)=x-1

解析 当x<0时,-x>0, ∴f(-x)=-(-x)+1=x+1. 又f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-x-1.

答案 B

易错探究 【例4】 判断函数f(x)=(1+x) 【错解】 ∵f(x)=(1+x) 1-x 的奇偶性. 1+x ?1+x?
21-x

1-x = 1+x

1+x

= ?1+x??1-x?= 1-x2. ∴f(-x)= 1-?-x?2= 1-x2=f(x). ∴f(x)为偶函数.

【错因分析】 判断.

没有考查函数的定义域,而直接应用定义

【正解】

由f(x)的解析式知,当x=1时,f(1)=0,函数

有意义,当x=-1时函数无意义. 所以函数的定义域不关于原点对称,所以函数f(x)为非奇 非偶函数.

当堂检测 1.下列函数中是奇函数的是( A.f(x)=x2 C.f(x)=|x| B.f(x)=-x3 D.f(x)=x+1 )

解析 由奇偶函数的定义得f(x)=x2为偶函数,f(x)=-x3 为奇函数,f(x)=|x|为偶函数,f(x)=x+1为非奇非偶函数.

答案

B

2.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函 数,则m的值是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

解析 考查偶函数的定义. 由f(-x)=f(x)可得2(m-2)x=0. 因x不恒等0,所以m-2=0, 则m=2,选B.

答案

B

1 3.已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x + x ,则
2

f(-1)=( A.-2 C.1
解析

) B.0 D.2
f(-1)=-f(1)=-2.

答案

A

4.函数f(x)=x3+ax,若f(1)=3,则f(-1)的值为 ________.

解析 ∵f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-3.

答案

-3

5.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的偶函 数,且当x∈[1,2]时,该函数的值域为[-2,1].求函数f(x)的解 析式.

解 由f(x)为偶函数可知f(x)=f(-x), 即ax3+bx2+cx+d=-ax3+bx2-cx+d, 可得ax3+cx=0恒成立,所以a=c=0, 故f(x)=bx2+d. 当b=0时,由题意知不合题意; 当b>0,x∈[1,2]时,f(x)单调递增, 又f(x)值域为[-2,1],

? ?f?1?=-2, 所以? ? ?f?2?=1

? ?b+d=-2, ?? ? ?4b+d=1

? ?b=1, ?? ? ?d=-3;

当b<0时,同理可得
? ?f?1?=1, ? ? ?f?2?=-2 ? ?b+d=1, ?? ? ?4b+d=-2 ? ?b=-1, ?? ? ?d=2.

.

所以f(x)=x2-3或f(x)=-x2+2.


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