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上海市华师大二附中2014届高三数学综合练习试题3苏教版


上海市华师大二附中高三综合练习 高三年级数学综合练习[3]
一、填空题 (本大题满分 48 分) 本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分。 1.已知集合 M ? {x || x |? 2, x ? R } , N ? {x | x ? N﹡ } ,那么 M ? N ? .

2.在 ?ABC 中, “
x

A?

?
3 ”是“

sin A ?

3 2 ”的

条件. .

3.若函数 y ? a 在 [?1, 0] 上的的最大值与最小值的和为 3 ,则 a ?

4.设函数

f ( x) ?

2? x 1 1? x ? ( ) x ? log 2 ?1 ?1 2? x 2 1 ? x 的反函数为 f ( x) ,则函数 y ? f ( x) 的图象


与 x 轴的交点坐标是 5. 设数列
sin(

{an }

是等比数列,

Sn



{an }

的前 n 项和, 且

S n ? t ? 3 ? 2n

, 那么 t ?



?
2

6.若

? 2 x? )? 4 2 , x ? (?2, 2) ,则 x ?



? 1, x ? 0 f ( x) ? ? ? ?1, x ? 0 ,则不等式 x ? f ( x) ? x ? 2 的解集是 7.若函数



8.现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏.小明背对小亮,让小亮按下列四个步骤操作:第一 步:分发左、中、右三堆牌,每堆牌不少于两张,且各堆牌的张数相同;第二步:从左边一 堆拿出两张,放入中间一堆;第三步:从右边一堆拿出一张,放入中间一堆;第四步:左边 一堆有几张牌,就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆.这时,小明准确地说出了中间一堆 牌现有的张数.你认为中间一堆牌的张数是 . 9.若无穷等比数列

{an }


的所有项的和是 2,则数列

{an }

的一个通项公式是

an ?

f ( x) ? x ? ] 时,记 f ( x) 的 x ;当 x ? [?3, ?1 10.已知函数 y ? f ( x) 是偶函数,当 x ? 0 时, 最大值为 m ,最小值为 n ,则 m ? n ? .
g ( x) ? sin( ? x) 2 11.已知函数 f ( x) ? sin x , ,直线 x ? m 与 f ( x) 、 g ( x) 的图象分别交

4

?

于 M 、 N 点,则 | MN | 的最大值是



1 a?b f ( x) ? log 1 (3x ? 1) ? abx g ( x) ? 2 x ? x 2 2 为奇函数,其中 a 、 3 12.已知函数 为偶函数,

1

2 2 3 3 100 100 b 为常数,则 (a ? b) ? (a ? b ) ? (a ? b ) ? ? ? (a ? b ) ?



二、选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结 论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号,选对得 4 分,不选、错选或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分。 13.若集合 S ? {a, b, c}( a 、b、 c ? R )中三个元素为边可构成一个三角形,那么该三角形 一定不可能是 A.锐角三角形 14.函数 B.直角三角形 C.钝角三角形 ( D.等腰三角形 )

f ( x) 对任意实数 x 都有 f ( x) ? f ( x ? 1) ,那么 f ( x) 在实数集 R 上是(



A.增函数 B.没有单调减区间 C.可能存在单调增区间,也可能不存在单调增区间 D.没有单调增区间 15. 已知农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成. 2003 年某地区农民人均收入为 3150 元(其中工资性收入为 1800 元,其他收入为 1350 元) ,预计该地区自 2004 年起的 5 年内, 农民的工资性收入将以 6 %的年增长率增长, 其他收入每年增加 160 元. 根据以上数据, 2008 年该地区农民人均收入介于( ) A.4200 元~4400 元 B.4400 元~4600 元 C.4600 元~4800 元 D.4800 元~5000 元

y ? f ( ? x) ? sin x 2 16.已知函数 y ? f ( x) 的图象如右图,则函数 在 [0, ? ] 上的大致图象为
( )
y

?

f ( x)
1

?

π 2

O

?1

π 2

x

三.解答题(本大题满分 86 分,共有 6 道大题,解答下列各题必须写出必要的步骤) 17. (本题满分 12 分) 解关于 x 的不等式

log a [4 ? ( x ? 4)a] ? 2 log a ( x ? 2)

,其中 a ? ( 0 ,1) .

18. (本题满分 12 分)

2

? T? 2 f ( x ) ? 3 sin ? x ? cos ? x ? cos ? x ( ? ? 0) 2. 已知函数 的最小正周期
(Ⅰ) 求实数 ? 的值; (Ⅱ) 若 x 是 ?ABC 的最小内角,求函数 f ( x) 的值域.

19. (本题满分 14 分) 运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米,按交通法规限制 50 ? x ? 100 (单位:

千米/小时) .假设汽油的价格是每升 2 元,而汽车每小时耗油 每小时 14 元. (Ⅰ)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式;

(2 ?

x2 ) 360 升,司机的工资是

(Ⅱ)当 x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. (精确小数点后两位)

20. (本题满分 14 分) 集合 A 是由具备下列性质的函数 f ( x) 组成的: (1) 函数 f ( x) 的定义域是 [0, ??) ; (2) 函数 f ( x) 的值域是 [?2, 4) ; (3) 函数 f ( x) 在 [0, ??) 上是增函数.试分别探究下列两小题:

(Ⅰ) 判断函数 说明理由.

f1 ( x) ? x ? 2( x ? 0)

1 f 2 (x) ?4 ? 6( ? ) ( x x0 ? ) 2 , 及

是否属于集合 A?并简要

3

(Ⅱ)对于(I)中你认为属于集合 A 的函数 f ( x) ,不等式 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) , 是否对于任意的 x ? 0 总成立?若不成立,为什么?若成立,请证明你的结论.

21. (本题满分 16 分)

1 n2 ? ?1 * * 已知: x ? N , y ? N ,且 x y ( n?N ) .
*

(Ⅰ)当 n ? 3 时,求 x ? y 的最小值及此时的 x 、 y 的值; (Ⅱ)若 n ? N ,当 x ? y 取最小值时,记
?

an ? x



bn ? y

,求

an



bn



Tn n ?? n ? S S ? a1 ? a2 ? ? ? an Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn n 的值. (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设 n , ,试求 lim

1 12 ? 22 ? 32 ? ? ? n2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6 注: .

4

22. (本题满分 18 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax ? x ( a ? R, a ? 0) .
2

(Ⅰ)当0< a < 2 时, f (sin x) ( x ? R)的最大值为 4 ,求 f ( x) 的最小值. (Ⅱ)如果 x ?[0,1]时,总有| f ( x) | ? 1 .试求 a 的取值范围. (Ⅲ)令 a ? 1 ,当 x ? [ n, n ? 1] (n ? N ) 时, f ( x) 的所有整数值的个数为 g ( n) ,求数列
?

1

5

{

g ( n) } 2n 的前 n 项的和 Tn .

上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[3] 参考答案 1. {1, 2}

2.充分不必要

1 3. 2

4. (2, 0) . 5. 3 .

6. 0,1 .

7. (??,1] 13.D

8. 5 . 14.C

1 ( ) n ?1 9. 2 .
15.B

10.1 .

11. 2 .

12. ?1 .

16.A

17 . 解 : ∵ ( 0 ? a ? 1) ,

log a [4 ? ( x ? 4)a] ? 2 log a ( x ? 2)



? 4 ? ( x ? 4) a ? 0 ? x?2?0 ? ? 4 ? ( x ? 4) a ? ( x ? 2) 2 ?

5



4a ? 4 ? ?x ? a ? ? x ? 2 ?

∴不等式的解集为

{x 2 ? x ? 4}



f ( x) ?
18. 解: (Ⅰ) 因为

3 1 ? 1 sin 2? x ? (1 ? cos 2? x) ? sin(2? x ? ) ? 2 2 6 2,

T?
所以

2? ? ? 2? 2 , ? ? ? 2 .

? ? 1 x ? (0, ] f ( x) ? sin(4 x ? ) ? 3 ,又 6 2 ,所以 (Ⅱ) 因 为 x 是 ?ABC 的 最 小 内 角 , 所 以
1 f ( x )? [ ? 1, ] 2 .
130 x 14 ?130 130 ? 2 ? (2 ? )? , x ? [50.100]. t? ( h) y ? x 360 x x 19.解: (Ⅰ)设行车所用时间为 ,
2

所以,这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是 2340 13 y? ? x, x ? [50.100 ] x 18 (或: )

y?

130 ?18 2 ?130 ? x, x ? [50.100]. x 360

( Ⅱ ) , 130 ? 18 2 ? 130 ? x,即x ? 18 10 ? 56.88 x 360 时,上述不等式中等号成立 20. 解: (1)函数 f1 ( x) ?

y?

130 ? 18 2 ? 130 ? x ? 26 10 ? 82.16 x 360





答:当 x 约为 56.88km/h 时,这次行车的总费用最低,最低费用的值约为 82.16 元.

x ? 2 不属于集合 A. 因为 f1 ( x) 的值域是 [?2, ??) ,所以函数

f1 ( x) ? x ? 2 不属于集合 A.(或?当x ? 49 ? 0时, f1 (49) ? 5 ? 4 ,不满足条件.)

1 f 2 ( x) ? 4 ? 6 ? ( ) x 2 ( x ? 0) 在集合 A 中, 因为: ① 函数 f 2 ( x) 的定义域是 [0, ??) ; ② 函


f 2 ( x)

的值域是 [?2, 4) ;③ 函数

f 2 ( x)

在 [0, ??) 上是增函数.

1 1 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) ? 6 ? ( ) x (? ) ? 0 2 4 (2) ,
? 不等式f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) 对于任意的 x ? 0 总成立.
1
21.解: (Ⅰ)? x

?

9 ?1 y ,

? x ? y ? ( x ? y )(

1 9 y 9x ? ) ? 10 ? ? ? 16 x y x y ,
6

?x?4 ?x?4 y 9x ? ? ? y ,即 ? y ? 12 时,取等号. 所以,当 ? y ? 12 时, x ? y 的最小值为16 . 当且仅当 x
(Ⅱ)?

1 n2 y n2 x 1 n2 ? x ? y ? ( x ? y )( ? ) ? n 2 ? 1 ? ? ? (n ? 1) 2 ? ?1 x y x y x y , ,

? x ? n ?1 y n2 x ? ? y ,即 ? y ? n(n ? 1) 时,取等号. 所以, an ? n ? 1 , bn ? n(n ? 1) . 当且仅当 x

1 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? 2 n(n ? 3) (Ⅲ)因为 ,
Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (1 ? 12 ) ? (2 ? 22 ) ? (3 ? 32 ) ? ? ? (n ? n2 ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? (1 ? 2 ? ? ? n )
2 2 2

?

n(n ? 1) 1 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 2 6

1 ? n(n ? 1)(n ? 2) 3
0?a?
22. 解:⑴ 由

Tn 2 ? n ?? n ? S 3. n 所以 lim

1 1 5 ? ? ?1 2 知 2a 故当 sin x ? 1 时 f ( x) 取得最大值为 4 ,

5 1 1 1 2 f ?1? ? a ? 1 ? ? a ? ? f ?x ? ? x 2 ? x ? ?x ? 2? ? 1 4 4 4 4 即 ,所以 f ( x) 的最小值为 ? 1 ;
⑵ 由

f ?x ? ? 1



ax 2 ? x ? 1, ? 1 ? ax2 ? x ? 1 对于任意 x ? ?0,1?恒成立,

f ?x ? ? 1 当 x ? 0 时, f ?x ? ? 0 使 成立;
2 ? 1 1 ?1 1? 1 a ? ? ? ? ? ? ? ? ? x ? x 2? 4 x2 ? 2 1 1? 1 ? a ? ? 1 ? 1 ? ?? ? ? ? ? 2 ? x x 2 4 x ? ? 当 x ? 0 时,有 ?

① ②

1 ?1 1? 1 ? ? ? ? ?0 ? x ? ?0,1?? ? 1 4 x 对于任意的 x ? ?0,1? 恒成立; ,则 ? x 2 ? ,故要使①式成立,
?1 1? 1 ? ? ? ? ? ? ?2 4 ? 2 ? a ? 0; 则有 a ? 0 , 又 a ? 0?a ? 0 ; 又 ? x 2? , 则有 a ? ?2 , 综上所述:
⑶ 当 a ? 1 时, f ?x ? ? ax ? x ,则此二次函数的对称轴为
2
2

2

x??

1 2 ,开口向上,

故 f ? x ? 在 ?n, n ? 1?上为单调递增函数,且当 x ? n, n ? 1 时, f ?n?, f ?n ? 1? 均为整数,
7

故 g ?n ? ? f ?n ? 1? ? f ?n ? ? 1 ? ?n ? 1? ? ?n ? 1? ? n ? n ? 1 ? 2n ? 3
2 2

?n ? N ? ,
?

? g ?n ? ? g ? n ? 2n ? 3 5 7 9 2n ? 1 2n ? 3 ? n ? n ? Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? n n 2 ,故 2 2 2 2 2 则数列 ? 2 ? 的通项公式为 2



1 5 7 9 2n ? 1 2 n ? 3 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? n?1 2 2 2 2n 2 又2



1 5 1 1 ? 2n ? 3 7 2n ? 7 ? 1 Tn ? ? 2? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 2 ? 2 2 ?2 由①—②得 2 .

?Tn ? 7 ?

2n ? 7 2n

8


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