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甘肃省临泽一中2017_2018学年高二数学下学期期末质量检测试题文20180727016

临泽一中 2017—2018 学年度第二学期期末质量检测 高二年级文科数学试卷
一、选择题:本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一个选项是符合题目要求的. 1. 全集 U

2, 1, 0,1, 2

,集合 A

2, 2

,集合

,则图中阴影部分所
2

B

xx

1

0

表示的集合为( ) A.

1, 0,1

B.

1, 0 (1

C. ( )

1,1

D.

0

2. 已知 i 为虚数单位,则 (2+i) A. 1

i)

i
x

B. 1+i

C. 3

i

D. 3+i

3. 函数

2 ,

x

2,







f ( x)

log x, x
2

f ( f (2))
2 ,

A. 1 4.已知等差数列

B. 2
中,

C. 3 , ,则

D. 4 的值为( )

a
n

a a2 a8
16
4

a
1
6

A. 15

B.

17

C.22

D.64

5. 如图所示,若程序框图输出的所有实数对 ( x, y ) 所对应的点都在函数 f ( x ) 象上,则实数 a, b 的值依次为( ) A. 2, 1 B. 3, 0 C. 2,- 1 D. 3,- 1

ax

1

b 的图

x
6. 若实数 x , y 满足

y

1


0,
的最大值是

x y 1 0, y 0,

z

x

2y

( ) A.-1 B. 1 C. 2 D.3

7. 某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示,若剩余几何体的体

2
积为 ,则 的值为( )

3
A. 2 2 8.过直线 y

a

B.2

C. 1

D. 3 2

2x

3 上的点作圆 x 2

y2

4x

6y

12

0 的切线,则

-1-

切线长的最小值为( ) A. 19 B. 2 5 C.

21

D.

55 5

9. 从某中学高三年级甲、乙两个班各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分 100 分 )的茎叶图如右图,其中甲班学生成绩的平均分和乙班学生成 绩的中位数都是 85,则 x A. 7 10.设 ( ) A.1 B.2 C. B. 8

y 的值为( )
C.9 D. 10

ABC 的面积为 S ,若 AB

AC

1 , tan A

2 ,则 S

5 5

D.

1 5

11.在平面直角坐标系中,圆 O : x 2 角

y2

1 被直线 y

kx

b(k

0 )截得的弦长为 2 ,

的始边是 x 轴的非负半轴,终边过点 P ( k , b 2 ) ,则 tan

的最小值( )

A.

2 2

B.1

C.

2 3

D.2

12. 已 知 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 f (

x)
2 x +1

f (3

x) , 当

3

x

1 时,

f ( x)
) A. 670

(x

2)2
, 当

1

x
时,

0

f ( x)

f (1)+f (2)+f (3)+

+f (2018)


,则

B.334

C. -337

D.-673

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

2a
13.已知数列
中,

a
4

a
n
1

,a



),则



n
n 1

N* a

1

n

a

n

2


14.曲线 f ( x )

e x 在点 A(0, f (0)) 处的切线方程为

15. 在某班举行的成人典礼上,甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物. 甲说:“礼物不在我这” ;乙说:“礼物在我这” ;丙说:“礼物不在乙处”.

如果三人中只有一人说的是真的,请问

(填“甲” 、“乙”或“丙”)获得了礼物.

-2-

x
16.已知 O 为坐标原点,双曲线

2 2

y b

2 2

a

1 (a

0,b

0 )的右焦点为 F ,以 OF 为直径的圆

交双曲线的一条渐近线于异于原点的 A ,若点 A 与 OF 中点的连线与 OF 垂直,则双曲线的 离心率 e 为 .

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤, 写在答题纸的相应位置. 17. ( 本 小 题 满 分 12 分 )

ABC 中 , 三 个 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 若 c, b )
,且

m

(cos B, cosC )


n

(2a

m
.

n

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b

7 ,a

c

8 ,求

ABC 的面积.

18.(本小题满分 12 分)某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投 篮训练,每人投 10 次,投中的次数统计如下表: 学生 甲班 乙班 1 号 6 4 2 号 5 8 7 9 3 号 9 7 4 号 8 7 5 号

(Ⅰ)从统计数据看,甲、乙两个班哪个班成绩更稳定(用数字特征说明); (Ⅱ)在本次训练中,从两班中分别任选一个同学,比较两人的投中次数,求甲班同学投中 次数高于乙班同学投中次数的概率. 19.(本小题满分 12 分) 如图,

D

ABC 是边长为 2 的正三角形,
ABC CD


E

AE
平面

AE


AC

CD

2 AE




(Ⅰ)求证:平面 BDE

平面 BCD ;

A B
且与圆 :

(Ⅱ)求 D 点到平面 BCE 的距离. 20.(本小题满分 12 分)已知动圆

C


O

过定点

1

F(

3,0)

O
2

x

2

y

2

2 3x

13

0

切,记动圆圆心

O

的轨迹为曲线

1

C



(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)设 A(2,0) ,B (0,1) ,P 为 C 上一点,P 不在坐标轴上,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N,求证:| AN |

| BM | 为定值.

21.(本小题满分 12 分)函数 f ( x )

x(ln x

1) .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间;
-3-

(Ⅱ)对任意 x

(0,

) ,不等式 1

1

2

1 ln 恒成立,求实数 的取值范围.

x
2 3

x

请考生在第 22、23、24 两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)等比数列

a x

x

a

a

的各项均为正数,且
n

2a

1

3a
2

1,a 2
3

2 6

9a a .

(Ⅰ)求数列

a

的通项公式;

n

(Ⅱ)设

b

log a
n
3

log a
1 3 2

......

log a ,
3

求数列

1

的前 n 项和.

n

b
n

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 xoy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴.曲线 C

的极坐标方程为

2

4 ,已知倾斜角为 的直线 l 经过点 P (1,1) . 4 1 1
的值.

(Ⅰ)写出直线 l 的参数方程;曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C

相交于 A, B 两点, 求 | PA| | PB |

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 a , b , c

m

x

2 ,m

R ,且 f ( x

1)

0 的解集为

0, 2

.

R ,且 1 a

1 2b

1 3c

,求证:

.

m

a

2b

3c

9

高二年级 期末质量检测文科数学答案 一、选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-4-

答案

D

C

B

A

B

C

B

A

D

A

B

C

二、填空题: 13.

2 5

14.

x

y

1

0

15. 甲

16.

2

三、解答题: 17.解:(Ⅰ)∵ m ∴ cos B

n ,∴ cos B
sinC ) (sinC 2

(2a cosC

c)
sin B cosC

cosC 0 sin B )

b

0,

(2sin A

∴ 2 cos B sin A

cos B

sin(B

C)

sin A ,

B


1 cos

,∴

2

B

. ·······6 分

3

(Ⅱ)根据余弦定理可知 b 2 又因为 a

a2 c)2

c2

2accos B ,∴ 49

a2

c2

ac ,
15 ,

c

8 ,∴ ( a 15 3

64,∴ a 2

c2

2ac

64 ,∴ ac



1

S

2

ac

sin B

. ·······12 分

4

18. 解:解:(1)两个班数据的平均值都为 7,

(6-7)+(5-7)+(7-7)+(9-7)+(8-7)
2 2 2 2 2

甲班的方差

s


2

1

=2 5 (4-7)+(8-7)+(9-7)+(7-7)+(7-7) 14
2 2 2 2 2

乙班的方差

s


2

2

= 5 5

因为 s 2
1

2

s 2 ,甲班的方差较小,所以甲班的成绩比较稳定.·······6 分

(2)甲班 1 到 5 号记作 a, b, c, d , e ,乙班 1 到 5 号记作 1, 2,3, 4,5 ,从两班中分别任选一个同 学 , 得 到 的 基 本 样 本 空 间 为 =

{a1,a 2,a3,a 4,a5,b1,b 2,b3,b 4,b5,c1,c 2,c3,c 4,c5,d1,d 2,d 3,d 4,d 5,e1,e2,e3,e 4,e5}
由 25 个基本事件组成,这 25 个是等可能的;将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数” 记作 A ,则 A

{a1,b1,c1,d1,d 2,d 4,d 5,e1,e 4,e5}, A 由 10 个基本事件组成, 10 25 2 5
. ·······12

所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为

-5-

分 19. (1)取 BD 边的中点 F , BC 的中点为 G , 连接 AG , FG , EF ,则 AG

BC .
D

因为 FG 是△ BCD 的中位线,由题设

FG



AE
,且

FG

AE
,所以四边形

AEFG
E F C A G B
…………6 分

为平行四边形,于是 AG ∥ EF . 因为 AE 所以 AG 平面 ABC ,所以 AG

AE ,

DC ,故 AG BCD EF

平面 BCD .所以

EF
平面

BDE
面 ,

,又

故平面 BDE

平面 BCD.

(2)由(1) EF 由(1) BC

AG

3 ,△ BDC 面积为 2,所以三棱锥 E

BCD 的体积为 2 3 .
3

EG , EG

AE 2

AG 2

2 ,△ BCE 面积为 2.

设 D 点到平面 BCE 的距离为 d ,则三棱锥 D

BCE 的体积为 2 . d
3 3, 即 D 点到平面 BCE

因为三棱锥 E 的距离为 3 .

BCD 与三棱锥 D

BCE 的体积相等,所以 d

…………12 分

20. (1)圆 O 的圆心为 ( 3,0) ,半径为 4, F 在圆 O 内,故圆 O 与圆
2 2 1

O

相内切.
2

设圆 O 的半径为 r ,则| O F |
1 1

r ,| O O |
1 2

4

r ,从而| O F |
1

1

2

|OO |

4.

因为

| FO |
2

,故

的轨迹是以
1

2 3

4

O



F

为焦点, 4 为长轴的椭圆,其方程为
2

O

x

2

y2



1

…………6 分

4

x
(2)设

2

P( x , y )
20 0

,则
2 0

,即

x
1

0

4
2

0

y

4.

y0

4
0

直线 PA:

y
(x

y

, 代入得 M (0, 2) x 0

2y

) ,所以
0

2y | BM |


1

0

x

0

2

0

x

2

0

x x

2

直线 PA: y

y
0

( x 2) , 2 2y 1
0

x

y

0 代入得 N (

x
0 0

,0) ,所以| AN | 1

2


0

0

y

0

y

1

所以| AN |

| BM |

0

x x
4
2 0

2

2
0

x
0

y

1 8y 4x

4y
2 0

4x y

x y

0 0 0

0 0

2y

0

x

0

2
-6-

0

4x y 8

8y 2y
0 0 0

4x
0

x y
4 .
综上,| AN |

0 0

0 0

2

x

| BM | 为定值 4.

…………12 分

21. (Ⅰ)解: f ( x ) 的定义域是 (0,

), f

( x)

ln x

所以 f ( x ) 在 (0,1) 单调递减,在 (1, (Ⅱ)

) 单调递增. …………5 分 1
3

1 3

3

1 2

2

(ln

1) ,令 ( )

1

2

则有

x

x x

a
(0,

x
)

x

g x

3

x

2

x

a

g ( x)


f ( x)


上恒成立 在 上恒成立

g ( x)

max

f ( x)

min

x

(0,


)


由(Ⅰ)可知

f x

( )

min

(1)

f

1 ( 0, 1)

g

( x)

x2

x

x g
( )

1 0

(1, + )
-

x

+

g ( x)
由表格可知



极大值



1

g ( x)

max

g (1)
6 7 1



a

1
则有

6

+a

a

.(方法不唯一) …………12 分

6
得 所以
3 2

22. (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由



a3
2

9a2 a6

9

2 4

q
2

a
1 3

a

1 9

q
由条件可知 q>0,故





2a

1

3a
2



1

1

2a

1

3a q

,所以

1
1

1

a
3



故数列{an}的通项式为 an= (Ⅱ )

1 3n


b

n

log a
3 1

log a
3 2

...

3

log a
n

(1

2

...

n)

n(n
1

1) 2 2(



2

1 1) )

1

b
n

1

n(n

n n

-7-

1

1

b

1

b

... 1 { }

1

2

b

n

1 1 1 2[(1 ) ( 2 2 3 2n

1 )

n

1 ... ( n 1

2n

n

)] 1

所以数列

的前 n 项和为

n

b

1

n

x
23. (Ⅰ)直线 l 的参数方程为

1

t cos
4
(t 为参数),

y
曲线 C 的方程 x 2

1

t sin
4

y2

4 …………5 分

x

1

t cos

x

2 1

t

(Ⅱ)直线 l 的参数方程为

4
(t 为参数),即

2
(t 为参数),

1

t sin y
4 1

2

y

t
2

x


1

2 2

t
代入 ,化简整理得:
2

x
2

y
2

4

t2

2 2t

2

0

y

1 2

t

所以, PA

PB

t1

t

t

t

2

2 ……………………………………7 分

2

1

2

因为直线 l 经过圆心,所以, PA

PB

AB

4

PA
1
所以,

PB
4
………………………………………………10 分

1

=

2

PA
(Ⅰ) f ( x )

PB m

PA x
0, 2
可知

PB
1 0

2 1

0

m
1

x

1

m

f x

( +1) 0 1

m
.

的解集为

(Ⅱ)

a

1 2b 3c

1 3c (a

1


a
3

2b 2b

2b

a

a 3c a 2b a 3c
2b

1 1 2c )( a 2b 3c 3c 2b 2b 3c

1

2b 3c ) 1

a

a

a 2b
9

3c 2b

a 2b 1 3c 3c

1

3 3,

6

当且仅当 a

3c 时等号成立,即 a

3,

时等号成立.

b

2

c

1

-8-

-9-


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