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湖北省武汉市新洲一中、黄陂一中联考2015-2016学年高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016 学年湖北省武汉市新洲一中、 黄陂一中联考高二 (下) 期末数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.i 为虚数单位,则复平面内复数 z=i+i2 的共轭复数的对应点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽 样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 P1,P2,P3,则( ) A.P1=P2<P3 B.P2=P3<P1 C.P1=P3<P2 D.P1=P2=P3 3.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b) ,导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示, 则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值( )

A.2 个 B.1 个 C.3 个 D.4 个 4.由直线 x=﹣ A. B. C. ,y=0 与曲线 y=sinx 所围成的封闭图形的面积为( D.1 )

5.一个物体的运动方程为 s=1﹣t+t2 其中 s 的单位是米,t 是单位是秒,那么物体在 3 秒末 的瞬时速度是( ) A.7 米/秒 B.6 米/秒 C.5 米/秒 D.8 米/秒 6. 2, …, 某单位有 840 名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按 1, 840 随机编号,则抽取的 42 人中,编号落入区间[481,720]的人数为( ) A.11 B.12 C.13 D.14 7.已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 =3, =3.5,则由该观测数据 算得的线性回归方程可能是( ) A. =0.4x+2.3 B. =2x﹣2.4 C. =﹣2x+9.5 D. =﹣0.3x+4.4

8.先后掷骰子两次,都落在水平桌面上,记正面朝上的点数分别为 x,y.设事件 A:x+y 为偶数; 事件 B:x,y 至少有一个为偶数且 x≠y.则 P(B|A)=( ) A. B. C. D.

9.已知三个正态分布密度函数

(x∈R,i=1,2,3)的

图象如图所示,则(



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A.μ1<μ2=μ3,?1=?2>?3 B.μ1>μ2=μ3,?1=?2<?3 C.μ1=μ2<μ3,?1<?2=?3 D.μ1<μ2=μ3,?1=?2<?3 10. 育英学校派出 5 名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流, 每所中学至少派一名 教师,则不同的分配方法有( ) A.80 种B.90 种 C.120 种 D.150 种 11.从重量分别为 1,2,3,4,…,10,11 克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个, 使其总重量恰为 10 克的方法总数为 m, 下列各式的展开式中 x10 的系数为 m 的选项是 ( ) 2 3 11 A. (1+x) (1+x ) (1+x )…(1+x ) B. (1+x) (1+2x) (1+3x)…(1+11x) 2 C. (1+x) (1+2x ) (1+3x3)…(1+11x11) 2 D. (1+x) (1+x+x ) (1+x+x2+x3)…(1+x+x2+…+x11) 12.已知函数 g(x)满足 g(x)=g′(1)ex﹣1﹣g(0)x+ 2m﹣1≥g(x0)成立,则 m 的取值范围为( ) A. B. C.[1,+∞) (﹣∞,2] (﹣∞,3] ,且存在实数 x0 使得不等式

D.[0,+∞)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置 上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 13.用数学归纳法证明命题“当 n 为正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”,第二步假设 n=2k﹣1 (k∈N+)命题为真时,进而需证 n= 时,命题亦真.
5 14. (x+ ) (2x﹣ ) 的展开式中各项系数的和为 2, 则该展开式中常数项为



15.记集合 A={(x,y)|x2+y2≤16}和集合 B={(x,y)|x+y﹣4≤0,x≥0,y≥0}表示的 平面区域分别为 Ω1,Ω2,若在区域 Ω1 内任取一点 M(x,y) ,则点 M 落在区域 Ω2 的概率 为 . 16.已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ= cos(θ+ ) .以极点为平面直角坐标系的原点,极

轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是: 则直线 l 与曲线 C 相交所成的弦的弦长为 .

(t 为参数) ,

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.某校为了解一个英语教改实验班的情况,举行了一次测试,将该班 30 位学生的英语成 绩进行统计,得图示频率分布直方图,其中成绩分组区间是:[50,60) ,[60,70) ,[70, 80) ,[80,90) ,[90,100]. (Ⅰ)求出该班学生英语成绩的众数,平均数及中位数;
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(Ⅱ)从成绩低于 80 分的学生中随机抽取 2 人,规定抽到的学生成绩在[50,60)的记 1 绩点分,在[60,80)的记 2 绩点分,设抽取 2 人的总绩点分为 ξ,求 ξ 的分布列.

18.某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查,如表是在某单位得到的 数据(人数) : (1)能否有 90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关? 赞同 反对 合计 5 6 11 男 11 3 14 女 9 25 合计 16 (2)从赞同“男女延迟退休”16 人中选出 3 人进行陈 述发言,求事件“男士和女士各至少有 1 人发言”的概率; (3)若以这 25 人的样本数据来估计整个地区的总体数据,现从该地区(人数很多)任选 5 人,记赞同“男女延迟退休”的人数为 X,求 X 的数学期望. 附: p(K2 ≥k) k K2=

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841 .

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

19.已知函数 f(x)=lnax﹣

(a≠0) .

(1)求此函数的单调区间及最值; (2)求证:对于任意正整数 n,均有 1+ + …+ ≥ln 20.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 (e 为自然对数的底数) . (其中 α 为参数) ,以坐标

原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=4sinθ. (Ⅰ)若 A,B 为曲线 C1,C2 的公共点,求直线 AB 的斜率; (Ⅱ)若 A,B 分别为曲线 C1,C2 上的动点,当|AB|取最大值时,求△AOB 的面积. 21.已知函数 f(x)=|x﹣a|. (1)若 f(x)≤m 的解集为{x|﹣1≤x≤5},求实数 a,m 的值.
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(2)当 a=2 且 0≤t<2 时,解关于 x 的不等式 f(x)+t≥f(x+2) . 22.已知函数 f(x)= ﹣2ax+1+lnx

(Ⅰ)当 a=0 时,若函数 f(x)在其图象上任意一点 A 处的切线斜率为 k,求 k 的最小值, 并求此时的切线方程; (Ⅱ)若函数 f(x)的极大值点为 x1,证明:x1lnx1﹣ax12>﹣1.

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2015-2016 学年湖北省武汉市新洲一中、 黄陂一中联考高 二(下)期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.i 为虚数单位,则复平面内复数 z=i+i2 的共轭复数的对应点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】根据复数的几何意义进行化简即可. 【解答】解:z=i+i2=﹣1+i,对应的坐标为(﹣1,1) ,位于第二象限, 故选:B. 2.对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽 样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 P1,P2,P3,则( ) A.P1=P2<P3 B.P2=P3<P1 C.P1=P3<P2 D.P1=P2=P3 【考点】简单随机抽样;分层抽样方法;系统抽样方法. 【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论. 【解答】解:根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知,无论哪种抽样,每个个 体被抽中的概率都是相等的, 即 P1=P2=P3. 故选:D. 3.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b) ,导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示, 则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值( )

A.2 个 B.1 个 C.3 个 D.4 个 【考点】利用导数研究函数的极值. 【分析】如图所示,由导函数 f′(x)在(a,b)内的图象和极值的定义可知:函数 f(x) 只有在点 B 处取得极小值. 【解答】解:如图所示, 由导函数 f′(x)在(a,b)内的图象可知: 函数 f(x)只有在点 B 处取得极小值, ∵在点 B 的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,且 f′(xB)=0. ∴函数 f(x)在点 B 处取得极小值. 故选:B.

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4.由直线 x=﹣ A. B. C.

,y=0 与曲线 y=sinx 所围成的封闭图形的面积为( D.1



【考点】定积分在求面积中的应用. 【分析】先根据题意画出直线及 y=sinx 所围成的封闭图形,然后利用定积分表示区域面积, 最后转化成等价形式. 【解答】解:作出对应的图象如图: 则对应的区域面积 S= =2 =2(﹣cosx)| =2(1﹣cos )

=2× 故选:D



5.一个物体的运动方程为 s=1﹣t+t2 其中 s 的单位是米,t 是单位是秒,那么物体在 3 秒末 的瞬时速度是( ) A.7 米/秒 B.6 米/秒 C.5 米/秒 D.8 米/秒 【考点】导数的几何意义. 【分析】求导数,把 t=3 代入求得导数值即可. 【解答】解:∵s=1﹣t+t2,∴s′=﹣1+2t, 把 t=3 代入上式可得 s′=﹣1+2×3=5 由导数的意义可知物体在 3 秒末的瞬时速度是 5 米/秒, 故选 C 6. 2, …, 某单位有 840 名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按 1, 840 随机编号,则抽取的 42 人中,编号落入区间[481,720]的人数为( ) A.11 B.12 C.13 D.14 【考点】系统抽样方法.

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【分析】根据系统抽样方法,从 840 人中抽取 42 人,那么从 20 人抽取 1 人.从而得出从编 号 481~720 共 240 人中抽取的人数即可. 【解答】解:使用系统抽样方法,从 840 人中抽取 42 人,即从 20 人抽取 1 人. 所以从编号 1~480 的人中, 恰好抽取 =12 人. 故:B. 7.已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 =3, 算得的线性回归方程可能是( ) A. =0.4x+2.3 B. =2x﹣2.4 C. =﹣2x+9.5 D. =3.5,则由该观测数据 =24 人, 接着从编号 481~720 共 240 人中抽取

=﹣0.3x+4.4

【考点】线性回归方程. 【分析】变量 x 与 y 正相关,可以排除 C,D;样本平均数代入可求这组样本数据的回归直 线方程. 【解答】解:∵变量 x 与 y 正相关, ∴可以排除 C,D; 样本平均数 =3, =3.5,代入 A 符合,B 不符合, 故选:A. 8.先后掷骰子两次,都落在水平桌面上,记正面朝上的点数分别为 x,y.设事件 A:x+y 为偶数; 事件 B:x,y 至少有一个为偶数且 x≠y.则 P(B|A)=( ) A. B. C. D.

【考点】条件概率与独立事件. 【分析】根据题意,利用随机事件的概率公式,分别求出事件 A 的概率与事件 A、B 同时 发生的概率,再用条件概率公式加以计算,可得 P(B|A)的值. 【解答】解:根据题意,若事件 A 为“x+y 为偶数”发生,则 x、y 两个数均为奇数或均为偶 数. 共有 2×3×3=18 个基本事件, ∴事件 A 的概率为 P1= = .

而 A、B 同时发生,基本事件有“2+4”、“2+6”、“4+2”、“4+6”、“6+2”、“6+4”, 一共有 6 个基本事件, 因此事件 A、B 同时发生的概率为 P2= =

因此,在事件 A 发生的情况下,B 发生的概率为 P(B|A)= 故选:A.

=

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9.已知三个正态分布密度函数

(x∈R,i=1,2,3)的

图象如图所示,则(



A.μ1<μ2=μ3,?1=?2>?3 B.μ1>μ2=μ3,?1=?2<?3 C.μ1=μ2<μ3,?1<?2=?3 D.μ1<μ2=μ3,?1=?2<?3 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【分析】正态曲线关于 x=μ 对称,且 μ 越大图象越靠近右边,第一个曲线的均值比第二和 第三和图象的均值小, 且二, 三两个的均值相等, 又有 ? 越小图象越瘦长, 得到正确的结果. 【解答】解:∵正态曲线关于 x=μ 对称,且 μ 越大图象越靠近右边, ∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小,且二,三两个的均值相等, 只能从 A,D 两个答案中选一个, ∵? 越小图象越瘦长, 得到第二个图象的 ? 比第三个的 ? 要小, 故选 D. 10. 育英学校派出 5 名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流, 每所中学至少派一名 教师,则不同的分配方法有( ) A.80 种B.90 种 C.120 种 D.150 种 【考点】排列、组合的实际应用. 【分析】分组法是(1,1,3) , (1,2,2)共有 25 种,再分配,共有 A33 种果,根据分步 计数原理知结果. 【解答】解:依题意分组法是(1,1,3) , (1,2,2)共有 再分配,乘以 A33,即得总数 150, 故选:D. 11.从重量分别为 1,2,3,4,…,10,11 克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个, 使其总重量恰为 10 克的方法总数为 m, 下列各式的展开式中 x10 的系数为 m 的选项是 ( ) 2 3 11 A. (1+x) (1+x ) (1+x )…(1+x ) B. 1 x 1 2x ( + ) ( + ) (1+3x)…(1+11x) 2 C. (1+x) (1+2x ) (1+3x3)…(1+11x11) D. (1+x) (1+x+x2) (1+x+x2+x3)…(1+x+x2+…+x11) 【考点】二项式定理的应用. =25,

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【分析】x10 是由 x、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10、x11 中的指数和等于 10 的那些 项的乘积构成,有多少种这样的乘积,就有多少个 x10.各个这样的乘积,分别对应从重量 1,2,3,…10,11 克的砝码(每种砝码各一个)中,选出若干个表示 10 克的方法. 【解答】解:x10 是由 x、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10、x11 中的指数和等于 10 的 那些项的乘积构成,有多少种这样的乘积,就有多少个 x10. 各个这样的乘积,分别对应从重量 1,2,3,…10,11 克的砝码(每种砝码各一个)中,选 出若干个表示 10 克的方法. 故“从重量 1,2,3,…10,11 克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个.使其总重量恰 为 9 克的方法总数”, 就是“(1+x) (1+x2) (1+x3)…(1+x10) (1+x11)”的展开式中 x10 的系数”, 故选:A. 12.已知函数 g(x)满足 g(x)=g′(1)ex﹣1﹣g(0)x+

,且存在实数 x0 使得不等式

2m﹣1≥g(x0)成立,则 m 的取值范围为( ) A. B. C.[1,+∞) D.[0,+∞) (﹣∞,2] (﹣∞,3] 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】分别求出 g(0) ,g′(1) ,求出 g(x)的表达式,求出 g(x)的导数,得到函数的 单调区间,求出 g(x)的最小值,问题转化为只需 2m﹣1≥g(x)min=1 即可,求出 m 的 范围即可. 【解答】解:∵g(x)=g′(1)ex﹣1﹣g(0)x+ ∴g′(x)=g′(1)ex﹣1﹣g(0)+x, ∴g′(1)=g′(1)﹣g(0)+1,解得:g(0)=1, g(0)=g′(1)e﹣1,解得:g′(1)=e, ∴g(x)=ex﹣x+ x2, ∴g′(x)=ex﹣1+x,g″(x)=ex+1>0, ∴g′(x)在 R 递增,而 g′(0)=0, ∴g′(x)<0 在(﹣∞,0)恒成立,g′(x)>0 在(0,+∞)恒成立, ∴g(x)在(﹣∞,0)递减,在(0,+∞)递增, ∴g(x)min=g(0)=1, 若存在实数 x0 使得不等式 2m﹣1≥g(x0)成立, 只需 2m﹣1≥g(x)min=1 即可,解得:m≥1, 故选:C. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置 上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 13.用数学归纳法证明命题“当 n 为正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”,第二步假设 n=2k﹣1 (k∈N+)命题为真时,进而需证 n= 2k+1 时,命题亦真. 【考点】数学归纳法. 【分析】首先分析题目求在用数学归纳法验证当 n 为正奇数时,xn+yn 被 x+y 整除.当第二 步假设 n=2k﹣1 时命题为真,进而需验证那一项成立?理论上是验证下一项成立,而题目 中 n 为正奇数,故下一项为 2k+1.即可得到答案.
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【解答】解:当 n 为正奇数时,求证 xn+yn 被 x+y 整除 用数学归纳法证明时候,第二步假设 n=2k﹣1 时命题为真,进而需要验证 n=2k+1. 故答案为:2k+1. 14. (x+ ) (2x﹣ )5 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为 40



【考点】二项式系数的性质. 【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为 2,故可以令 x=1,建立起 a 的方程,解出 a 的值来,然后再由规律求出常数项 【解答】解:由题意, (x+ ) (2x﹣ )5 的展开式中各项系数的和为 2, 所以,令 x=1 则可得到方程 1+a=2,解得得 a=1,故二项式为 由多项式乘法原理可得其常数项为﹣22×C53+23C52=40 故答案为 40 15.记集合 A={(x,y)|x2+y2≤16}和集合 B={(x,y)|x+y﹣4≤0,x≥0,y≥0}表示的 平面区域分别为 Ω1,Ω2,若在区域 Ω1 内任取一点 M(x,y) ,则点 M 落在区域 Ω2 的概率 为 .

【考点】几何概型. 【分析】由题意和三角形以及圆的面积公式可得区域的面积,由概率公式可得. 【解答】解:由题意可得 A 表示圆心为原点半径为 4 的圆及其内部, 由圆的面积公式可得 Ω1 的面积 S=π×42=16π, 集合 B 表示的平面区域为两直角边都为 4 的直角三角形, ∴由三角形的面积公式可得 Ω2 的面积 S′= ×4×4=8, ∴点 M 落在区域 Ω2 的概率 P= 故答案为: . = ,

16.已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=

cos(θ+

) .以极点为平面直角坐标系的原点,极

轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是:

(t 为参数) ,

则直线 l 与曲线 C 相交所成的弦的弦长为



【考点】点的极坐标和直角坐标的互化;参数方程化成普通方程. 【分析】把曲线 C 的极坐标方程展开,再利用 线 l 的方程化为普通方程,利用弦长公式 l=2
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即可化为直角坐标方程,把直 即可得出.

【解答】解:由曲线 C 的极坐标方程 ρ=

cos(θ+

) ,化为

,即 ρ=cosθ﹣sinθ, ∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ, ∴x2+y2=x﹣y. 化为 .表示圆心为 C ,半径 r= 的圆.

直线 l 的参数方程是:

(t 为参数)化为 3x+4y+1=0.

∴圆心 C 到直线 l 的距离 d=

=



∴直线 l 与曲线 C 相交所成的弦的弦长=2

= .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.某校为了解一个英语教改实验班的情况,举行了一次测试,将该班 30 位学生的英语成 绩进行统计,得图示频率分布直方图,其中成绩分组区间是:[50,60) ,[60,70) ,[70, 80) ,[80,90) ,[90,100]. (Ⅰ)求出该班学生英语成绩的众数,平均数及中位数; (Ⅱ)从成绩低于 80 分的学生中随机抽取 2 人,规定抽到的学生成绩在[50,60)的记 1 绩点分,在[60,80)的记 2 绩点分,设抽取 2 人的总绩点分为 ξ,求 ξ 的分布列.

【考点】离散型随机变量及其分布列;频率分布直方图. 【分析】 (Ⅰ)由频率分布直方图能求出众数、平均数和中位数. (Ⅱ)依题意,成绩在[50,60)的学生数为 2 人,成绩在[60,80)的学生数为 10 人,ξ 可取的值为 2,3,4,分别求出相应的概率,由此能求出 ξ 的分布列和数学期望. 【解答】解: (Ⅰ)由频率分布直方图可知:众数为 85. 平均数为:55× ∴该班学生英语成绩的平均数为 81.
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=81,

设中位数为 x,由频率分布直方图,得: [50,80)内的频率为( )×10=0.4,[80,90)内的频率为 = ,

∴中位数 x=80+

=83.

(Ⅱ)依题意,成绩在[50,60)的学生数为 30× 成绩在[60,80)的学生数为 30× ∴成绩低于 80 分的学生总人数为 12, ∴ξ 可取的值为 2,3,4, P(ξ=2)= = , =10,



P(ξ=3)=

=



P(ξ=4)=

=



∴ξ 的分布列为: ξ 2 3 4
P

∴ξ 的数学期望 E(ξ)=2×

=



18.某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查,如表是在某单位得到的 数据(人数) : (1)能否有 90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关? 赞同 反对 合计 5 6 11 男 11 3 14 女 9 25 合计 16 (2)从赞同“男女延迟退休”16 人中选出 3 人进行陈 述发言,求事件“男士和女士各至少有 1 人发言”的概率; (3)若以这 25 人的样本数据来估计整个地区的总体数据,现从该地区(人数很多)任选 5 人,记赞同“男女延迟退休”的人数为 X,求 X 的数学期望. 附: p(K2 ≥k) k

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

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K2=



【考点】独立性检验的应用;离散型随机变量的期望与方差. 【分析】 (1)求出 K2,与临界值比较,即可得出结论; (2)求出基本事件的个数,利用古典概型的概率公式求解即可; (3)根据题意,X~B(5, 【解答】解: (1)K2= ) ,利用公式求出 X 的数学期望.

≈2.932>2.706,

由此可知,有 90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关; (2)记题设事件为 A,则所求概率为 P(A)= = ;

(3)根据题意,X~B(5,

) ,∴E(X)=5×

=



19.已知函数 f(x)=lnax﹣

(a≠0) .

(1)求此函数的单调区间及最值; (2)求证:对于任意正整数 n,均有 1+ + …+ ≥ln (e 为自然对数的底数) .

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)先求出函数的导数,分类讨论 a 的范围,确定函数的单调性,从而求得函数的 极值. (2)取 a=1,由(1)知 f(x)=lnx﹣ 累加可得要征的结论. 【解答】解: (1)由题意可得 f′(x)= , ≥0,即 ≥1﹣lnx=ln ,取 x=1,2,3…,n,

∴当 a>0 时,令 f′(x)=0,求得 x=a, 由 ax>0,求得 x>0,函数的定义域为(0,+∞) , 此时函数在(0,a)上,f′(x)<0,f(x)是减函数;在(a,+∞)上,f′(x)>0,f(x) 是增函数, 故函数 f(x)的极小值为 f(a)=lna2,无最大值. 当 a<0 时,由 ax>0,求得 x<0,可得函数 f(x)的定义域为(﹣∞,0) , 此时函数(﹣∞,a)上,f′(x)= <0,f(x)是减函数;在(a,0)上,f′(x)>0,

f(x)是增函数, 故函数 f(x)的极小值为 f(a)=lna2,无最大值.

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(2)证明:取 a=1,由(1)知 f(x)=lnx﹣

≥f(1)=0,∴ ≥1﹣lnx=ln , ,

取 x=1,2,3…,n,则 1+ + …+ ≥ln +ln +ln +…+ln =ln 故要征得不等式 1+ + …+ ≥ln 成立.

20.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为

(其中 α 为参数) ,以坐标

原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=4sinθ. (Ⅰ)若 A,B 为曲线 C1,C2 的公共点,求直线 AB 的斜率; (Ⅱ)若 A,B 分别为曲线 C1,C2 上的动点,当|AB|取最大值时,求△AOB 的面积. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (Ⅰ)消去参数 α 得曲线 C1 的普通方程,将曲线 C2 化为直角坐标方程,两式作差 得直线 AB 的方程,则直线 AB 的斜率可求; (Ⅱ)由 C1 方程可知曲线是以 C1(1,0)为圆心,半径为 1 的圆,由 C2 方程可知曲线是 以 C2(0,2)为圆心,半径为 2 的圆,又|AB|≤|AC1|+|C1C2|+|BC2|,可知当|AB|取最 大值时,圆心 C1,C2 在直线 AB 上,进一步求出直线 AB(即直线 C1C2)的方程,再求出 O 到直线 AB 的距离,则△AOB 的面积可求. 【解答】解: (Ⅰ)消去参数 α 得曲线 C1 的普通方程 C1:x2+y2﹣2x=0.…(1) 将曲线 C2:ρ=4sinθ 化为直角坐标方程得 x2+y2﹣4y=0.…(2) 由(1)﹣(2)得 4y﹣2x=0,即为直线 AB 的方程,故直线 AB 的斜率为 ; (Ⅱ)由 C1: (x﹣1)2+y2=1 知曲线 C1 是以 C1(1,0)为圆心,半径为 1 的圆, 由 C2:x2+(y﹣2)2=4 知曲线 C2:是以 C2(0,2)为圆心,半径为 2 的圆. ∵|AB|≤|AC1|+|C1C2|+|BC2|, ∴当|AB|取最大值时,圆心 C1,C2 在直线 AB 上, ∴直线 AB(即直线 C1C2)的方程为:2x+y=2. ∵O 到直线 AB 的距离为 又此时|AB|=|C1C2|+1+2=3+ ∴△AOB 的面积为 , . ,

21.已知函数 f(x)=|x﹣a|. (1)若 f(x)≤m 的解集为{x|﹣1≤x≤5},求实数 a,m 的值. (2)当 a=2 且 0≤t<2 时,解关于 x 的不等式 f(x)+t≥f(x+2) . 【考点】其他不等式的解法. 【分析】 (1)根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求实数 a,m 的值. 2 ( )根据绝对值的解法,进行分段讨论即可得到不等式的解集. 【解答】解: (1)∵f(x)≤m, ∴|x﹣a|≤m, 即 a﹣m≤x≤a+m, ∵f(x)≤m 的解集为{x|﹣1≤x≤5},
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,解得 a=2,m=3.

(2)当 a=2 时,函数 f(x)=|x﹣2|, 则不等式 f(x)+t≥f(x+2)等价为|x﹣2|+t≥|x|. 当 x≥2 时,x﹣2+t≥x,即 t≥2 与条件 0≤t<2 矛盾. 当 0≤x<2 时,2﹣x+t≥x,即 0 ,成立.

当 x<0 时,2﹣x+t≥﹣x,即 t≥﹣2 恒成立. 综上不等式的解集为(﹣∞, ].

22.已知函数 f(x)=

﹣2ax+1+lnx

(Ⅰ)当 a=0 时,若函数 f(x)在其图象上任意一点 A 处的切线斜率为 k,求 k 的最小值, 并求此时的切线方程; (Ⅱ)若函数 f(x)的极大值点为 x1,证明:x1lnx1﹣ax12>﹣1. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (Ⅰ)求得 f(x)的导数,由基本不等式可得斜率的最小值,及切点,运用点斜式 方程可得切线的方程; (Ⅱ)求出 f(x)的导数,讨论判别式的符号,设出二次方程的两根,运用韦达定理和构 造函数 即可得证. 【解答】解: (Ⅰ)∵a=0,∴ ∴ ,当仅当 , 时,即 x=1 时,f'(x)的最小值为 2, , ,x∈(0,1) ,求出导数,求得单调区间和极值、最值,

∴斜率 k 的最小值为 2,切点 A ∴切线方程为

,即 4x﹣2y﹣1=0;

(Ⅱ)∵



①当﹣1≤a≤1 时,f(x)单调递增无极值点,不符合题意; ②当 a>1 或 a<﹣1 时,令 f'(x)=0,设 x2﹣2ax+1=0 的两根为 x1 和 x2, 因为 x1 为函数 f(x)的极大值点,所以 0<x1<x2, 又 x1x2=1,x1+x2=2a>0,∴a>1,0<x1<1, ∴f′(x1)=0, ,则 ,



=

=
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,x1∈(0,1) ,



,x∈(0,1) ,



,∴h′(x)=﹣3x+ =

,x∈(0,1) ,

当 ∴h′(x)在 ∴

时,h′(x)>0,当 上单调递增,在 ,

时,h′(x)<0, 上单调递减,

∴h(x)在(0,1)上单调递减. ∴h(x)>h(1)=﹣1,原题得证.

2016 年 7 月 31 日

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