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两道试题的简解_图文

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1 8  

中 等 数 学 

两 道 试 题 的 简 解 
李 成 章 
( 南开大学数学科学学院 , 3 1 3 0 0 7 1 )  

例 1 在一本家庭影集 中有 1 O张照片 .   每张照片上都有 3 个男人 , 站在左边的人是  中间人的儿子 , 而右边 的人是 中间人 的亲兄  弟. 已知 1 O张照片上 中间的 1 O个人互不相  同. 问这 1 O张照片上最少有 多少个 不同的 
人?  

拍 出的 l O 张照片分  别为 
{ 3 , 1 , 2} , { 1 6 ,  

2 , 1 } , { 5 , 3 , 4 } , { l 5 ,   4 , 3 } , { 7 , 5 , 6 } , { 9 ,  
6 , 5} ,{ 1 1 , 7 ,8} ,   { 1 2 , 8 , 7} ,{ 1 3 , 9 ,   1 O } , { l 4 , 1 0 , 9 } .   图l  

这是第 l 9届全俄 中学生数学奥林匹克 
中的一道立意新颖 、 极具创新性的组合题 , 新  就新在此题之前没有与其类似的题 目. 此题 

中间 l O 个人恰分别为 1 , 2 , …, 1 O , 当然 

可见 , 所求 人数 的最小值不 大于  原题和答案的译文最早刊于《 中等数学》 1 9 9 4   互不相同 . 6.   年第 5 期. 对它进行一番研究后 , 发现下面的  l 另一方面 , 用“ 分组法” 来证明只有 1 5 个  解法相当简捷 .   解: 如图 1 , 共有 l 6 个人 , 其 中横线表示  亲兄弟 , 上下的竖线和斜线表示父子 . 由他们 
收稿 日 期: 2 0 0 5 — 0 7 — 0 4  

不同的人时, 拍不出满足要求 的 l O 张照片 .   若不然 , 设有 1 5个人 可 以满 足题 中要  求. 将这 1 5个人按 亲兄弟分组 , 将亲兄弟分  在一组 , 不是亲兄弟 的两人不能同组 , 没有亲 



l , 2 , 3 , 4 , 5.  
1 = 口 1,   2= 口2一 口 1,   3 = 口 3 一 口2 ,  

I  
I  

,I_ I  
6  

A  I  
I  

4=口4一 口3 ,  5= 口 5一 口 4,  6=2 0一 口 5.  

= I , I 一 ∑  I + ∑I   I .  
k =l   』 <k  

则有 
1 +  2+   3+  4+  5+  6   2 0,  

上式成立的原因是 A   A   A   ( 2 j .   因为没有同时满足  >4 、   >4 、   > 4  
6  

其中 2 ≤   ≤5 (  =1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) , 1 ≤   6 ≤4 .  
作代 换  =   一1(  =1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) , y 6 =  6 .  

的∑  = 1 5 的 正整 数组, 所以,  
I=c  一6   +   =5 8 0.  

贝 0   y 1 + y 2 +y 3 + y 4 + y 5 +y 6 =1 5 ,   ① 
其中 1 ≤   ≤4(   =l , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) .  

因为 5 种新式 武器各不相 同 , 互换位置  得到不同的排列数 , 因此 , 配备新式武器的方  案数等于5 8 0 × 5 1 _ 6 9   6 0 0 .  

设, 为方程①的正整数解 的全体, A  为  , 中y   满足 y k > 4 的解的全体 . 则 

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2 O 0 6年第 2 期 

1 9  

兄弟的人 自己为一组 .   ( 1 ) 由于 l 0张照 片 上 中间 的 l 0个 人 互 

{ 7 , 5 , 6 } , { l 3 , 6 , 5 } , { 9 , 7 , 8 } , { 1 4 , 8 , 7 } ,   { 1 6 , 9 , 1 0 } , { 1 5 , 1 0 , 9 } .   例 2 如 图4 , 以△ A B C的内心 , 为心作 


不相同, 即中间的 1 0 个父亲互不相同, 所 以,  
照片左边 的 l 0 个儿子互不同组 , 即分别属于  l 0 组. 此外 , l 0 张照片上的 l 5 个人 中辈份最  高的人当然属于另一组 , 因此 , l 5个人至少 

个 圆分 别 交 
c  

B C、 C A、A B 于 

点  l 、 A 2 、 B l 、  
B2、 Cl 、
_—  、 ,  

要分成 1 1 组.   ( 2 ) 分别考察下列两种类 型的组 :  
( i ) 组 中每人都在某张照片 中间位置 出  
现过 ;  

C2 .  
—、  



A2、  

Bl B2 、  

  .

C 。 C : 的 中点分  别为 A , 、B , 、  
图4  

( i i ) 组 中至少有 1 个人未在照片中间位 
置 出现过 .  

C 3 ,  2  3   n   B l   B 3= C 4 , B 2   B 3   n   C l   C 3=A 4 ,  

由于每张照片上右边 的人是中间人 的亲  兄弟 , 所 以, 照片中间的人所在 的组至少有 2   个人 . 又中间位置只有 1 0 个人 , 故( i ) 类组至 
多 5组 .  

c 2   c 3   n  I   A   3 =B 4 . 求证 : 直线 A 3 A 4 、 B 3   B 4 、   c   c   三线共点 .   这道题至少在两本书上 出现过 , 其证 明  都是用塞瓦定理的逆定理 + 但有一个 更简单  的证法 , 就是使用 卜 利安香 ( B r i a n e h o n ) 定理 .   定理  圆外切六边 形 仙   的三 条  主对角线 A D、 B E、 C F共点 .   例 2的证明: 由, 为△ A B C的内心 , 知点  , 到三边 B C 、 C A 、 A B的距离相等 +   从而 ,  I   A 2 ;Bl   B 2 =C l   C 2 +  
●  、 , ——  、 , ● ● _0 、  

因为 l 0张照片上共 l 5 个人 , 其 中从未  在照 片中间位置 出现 的人只有 5 个, 所 以,   ( i i ) 类组也至多 5 组.  

从而 , 1 5 个人至多可分成 l 0 组, 矛盾 .  
综上可知 , l 0张照 片上最少 有 1 6个不  同的人 .   注: 此解法开头所举的例子不是唯一的.   例如还有 :   ( 1 ) 如图 2 .   { 3 , 1 , 2 } , { 5 , 2 , 1 } , { 7 , 3 , 4 } , { 9 , 4 , 3 } ,  
{ 1 1 , 5 , 6 } , { 1 2 , 6 , 5 } , { l 3 , 7 , 8 } ,   { 1 4 , 8 , 7 } , { 1 5 , 9 , 1 0 } , { 1 6 , 1 0 , 9 } .  

于是 ,  1 A 2 =BI B 2 =C   L C 2 .  
’’、 ,  。‘、   _— ‘、   _ —、  

故 1   A   3 =A 3 A 2 =Bl   B 3 =B 3   B 2  
,_’’ 、 ,●‘ ‘、  



C1   C3= C3   C2.  

则  l   A   3 = A 3   A 2 =B   J   B 3 = B 3   B 2  


Cl   C 3= C 3   C 2 .  

所以, 点 , 到 l  3 、  3  2 、 B l   B 3 、 B 3   B 2 、  

c   c , 、 c   c   的距离都相等 , 即点 , 到B   、  


c 4 、 c 4 B 3 、 B 3  4 、  4 c 3 、 c 3 B 4的距 离都 相  因而 , 以点 , 为圆心 , 以上述相等的距离 

等.  

为半径的0 与六边形 B  , C 4 B 3   c 3 的六 

条边都相切 , 即0  为此六边形 的内切圆 .  
图2   图3  

因此 , 六边形 B   A , c   B , A   c 3 的三条主  对角线 B , B   、 c   c   、   共点 .  

( 2 ) 如图 3 .  


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