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高三数学3.2.2导数的几何意义 课件 (北师大选修1-1)_图文

2.2导数的几何意义 回 顾 定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim . ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x 我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作: f ( x ? ? x ) ? f ( x ) ? y 0 0 f ?( x0 )或y? | x ? x0 , 即:f ?( x0 ) ? lim ? lim . ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x 由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导 数的基本方法是: ?y f ( x 0 ??x) ? f ( x0 ) (2)求平均变化率 ? ; ?x ?x ? y (3)取极限,得导数f ?( x0 ) ? lim . ?x ? 0 ? x (1)求函数的增量?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ); 例1:设f ( x) ? x , 求f ' ( x), f ' (?1), f ' (2) 2 思路:先根据导数的定义求f ' ( x), 再将自变量 的值代入求得导数值。 解:由导数的定义有 f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x) 2 ? x 2 f ' ( x)= lim ? lim ?x?0 ?x?0 ?x ?x ?x(2 x ? ?x) ? lim ? 2x ?x?0 ?x ? f ' (?1)=f ' ( x) x??1 ? 2 ? (?1) ? ?2 f ' ( 2) ? f ' ( x ) x ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 例2:求函数y ? x在x ? 1处的导数。 解法一:?y ? 1 ? ?x ? 1 1 ?y 1 ? ?x ? 1 ? ? 1 ? ?x ? 1 ?x ?x 解法二:?y ? x ? ?x ? x ?y ? ?x x ? ?x ? x ? ?x ?x?0 lim 1 1 ? 1 ? ?x ? 1 2 ?y lim ? lim ?x?0 ?x ?x?0 1 ? y' ? 2 x 1 x ? ?x ? x 1 1 ? x ? ?x ? x 2 x 1 ? y ' x?1 ? 2 什么是导函数? 由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到, 当x=x0时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变 化时, f’(x0)便是x的一个函数,我们叫它为f(x) 的导函数.即: ?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) f ?( x) ? y? ? lim ? lim ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x 在不致发生混淆时,导函数也简称导数. 函数y ? f ( x)在点x0处的导数f ?( x0 ) 等于函数f ( x)的导(函)数f ?( x)在点x0处的 函数值. 下面来看导数的几何意义: 如图,曲线C是函数y=f(x) 的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+Δ x,y0+Δ y) 为P邻近一点,PQ为C的割线, PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的 倾斜角.则 : MP ? ?x , MQ ? ?y, ?y ? tan ? . ?x y y=f(x) Q Δy P O β Δx M x ?y 请问: 是割线PQ的什么? ?x 斜 率! 请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着 点P逐渐转动的情况 . y y=f(x) 割 线 Q T 切线 P ? x o 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时, 割线PQ有一个确定位置PT.则我们把直线PT称为曲线 在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜 率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一 种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数. f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim 即: k切线 ? f ( x0 ) ? lim ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x ' 导数的几何意义 函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲 线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率. 即: k切线 ? f 故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是: '( x0 ) y ? f ( x0 ) ? f ?( x 0 )( x ? x0 ) 注:(1)若曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0 ))处的导数f / (x0 ) 不存在,就是切线与y轴平行。 (2)f / (x0 )>0,切线与X轴正方向夹角为锐角,切线 的斜率为正,f / (x0 )<0,切线与X轴正方向夹角为钝角, 切线的斜率为负。 例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) 解 : k ? lim ?x ? 0 ?x (1 ? ?x ) 2 ? 1 ? (1 ? 1) 2 ? lim y = x +1 ?x ? 0 ?x 2 ?x ? ( ?x ) 2 ? lim ? 2. ?x ? 0 ?x 因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x. 1 y Q ?y P ?x j M 求切线方程的步骤: O (1)求出函数在点x0处的变化率 f ?( x0 )-1 , 得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 (2)根据直线方程的点斜式写出切线方程, 即 y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ). x 1 1 3 8 练习:已知曲线y = x 上一点P(2, ),求: 3 3 (1) 点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程 1 1 3 3 ( x ? ?x ) ? x 1 3 ?y 3 解: (1) y ? x ,? y? ? lim ? lim 3 ?x ? 0

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