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通州市2009届高三第二次调研测试

届高三第二 通州市 2009 届高三第二次调研测试

数学(理科) 数学(理科)试卷
考试时间:120 分钟 满分 160 分
. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 填空题 本大题共 小题, 1.若集合 A = {x || x |= x},B = {x | x 2 x > 0} ,则 A∩B=

2 . 已 知 集 合 A = {1, 2, 3} , B = {1, 0,1} , 则 满 足 条 件 f (3) = f (1) + f (2) 的 映 射

f : A → B 的个数是
3.给出下列程序:

.

i←1 While i<7 i←i+2 s←2i+3 End While Print s End 其运行后,输出结果为 4.已知曲线 y = . .

1 2 x 3 ln x 的一条切线的斜率为 2 ,则切点的横坐标为 2
象限.

2i 3 5.在复平面中,复数 z = ( i 为虚数单位)所对应的点位于第 1+ i

6.给出 50 个数,1,3,7,13,21,…,其规律是:第 1 个数是 1,第 2 个数比第 1 个数 大 2,第 3 个数比第 2 个数大 4,第 4 个数比第 3 个数大 6,…,以此类推.以下流程图 给出了计算这 50 个数的和的一种算法, 那么在 (1) 处应该填写的内容是 .

7.如图,三棱柱的侧棱长和底边长均为 4,且侧棱 AA1 ⊥ 面A1 B1C1 ,正视图是边长为 4 的正 方形,该三棱柱的左视图面积为 8.若 z 1 = 2 ,则 z 3i 1 的最小值为 . .

9.曲线 y=x2 与直线 y=2x 所围成的面积为 . 10.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明 文(解密),已知加密规则如图所示,例如,明文 1, 2,3, 4 对应密文 5, 7,18,16 . 当接收方
高三数学理科试卷 第 1 页 ( 共 13 页 )

收到密文 9,10,22,24 时,则解密得到的明文为

.

开 始 i←1,p←1,s←0
否 开始 输入 a,b,c,d
A _ B A _ _ B _

i≤50


m ← a + 2b n ← 2b + c
A1 __ B1 __ A1 __

s←s + p (1) i←i +1
俯视图 正视图
B1 __

p ← 2c + 3d q ← 4d
输出 m,n,p,q 结束

输出 s 结 束
第 6 题图 第 7 题图 第 10 题图

11. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥, 所得小圆锥侧面积与原来大圆锥侧面积的比是 1∶ 2,那么小圆锥的高与原来大圆锥的高的比值是 12.规定符号 “ * ”表示一种运算,即 a b = 函数 f ( x ) = k x 的值域是_____ .

ab + a + b, a, b 是正实数,已知 1 k = 7 ,则
_. D1 A1 P D A
第 14 题图

13.若空间一点 P 到两两垂直的射线 OA, OB, OC 的距离分别 为 a, b, c , 则 以 OP 为 半 径 的 球 的 表 面 积 为 .

C1 B1

14.如右图所示,在单位正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的面对角 线 A1 B 上存在一点 P 使得 AP + D1 P 最短, AP + D1 P 则 的最小值为 .

C B

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二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答应写出文字说明 15. 本题满分 14 分)已知复数 z = (

a 2 7a + 6 + (a 2 5a 6)i (a ∈ R) ,试求实数 a a +1

分别为什么值时, z 分别为: (Ⅰ)实数; (Ⅱ)虚数; (Ⅲ)纯虚数

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16. 本题满分 14 分)如图,在四棱椎 P—ABCD 中,ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD, ( PA=AD=1,AB=2 , (1)若点 E 是 CD 上的动点,.求三棱椎 E—PAB 体积; (2)若 E 是 CD 的中点, F 是 PD 上一点, PE 与 AF 成 60°角,求

FD 的值. PD

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17. 本题满分 14 分)已知函数 f ( x) = ax 2 bx + 1 . ( (Ⅰ)若 f ( x) > 0 的解集是 (1,3) ,求实数 a, b 的值; (Ⅱ)若 a 为整数, b = a + 2 ,且函数 f ( x) 在 (2, 1) 上恰有一个零点,求 a 的值.

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18. 本题满分 16 分)如图已知在三棱柱 ABC——A1B1C1 中,AA1⊥面 ABC,AC=BC,M、 (本题满分 N、P、Q 分别是 AA1、BB1、AB、B1C1 的中点. (Ⅰ)求证:面 PCC1⊥面 MNQ; (Ⅱ)求证:PC1∥面 MNQ. C1 C Q B P A M A1 N B1

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19. 本题满分 16 分)已知函数 y = f ( x ) = (本题满分 (Ⅰ)求函数 y = f (x ) 的图像在 x = (Ⅱ)求 y = f (x ) 的最大值;

ln x . x

1 处的切线方程; e

(Ⅲ) 设实数 a > 0 ,求函数 F ( x ) = af ( x ) 在 [a,2a ] 上的最小值.

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20. 本题满分 16 分)已知函数 f ( x ) = x + (本题满分 切线 PM、PN,切点分别为 M、N.

t (t > 0), 过点P (1,0)作曲线y = f ( x) 的两条 x

(I)当 t = 2 时,求函数 f (x ) 的单调递增区间; (II)设|MN|= g (t ) ,试求函数 g (t ) 的表达式; (III)在(II)的条件下,若对任意的正整数 n ,在区间 [ 2, n +

64 ] 内,总存在 m+1 n

个数 a1 , a 2 , L , a m , a m +1 , 使得不等式 g ( a1 ) + g ( a 2 ) + L + g ( a m ) < g ( a m +1 ) 成 立,求 m 的最大值.

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高三理科数学参考答案 高三理科数学参考答案 理科数学
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 填空题 本大题共 小题, 1、 、 (1, ∞ ) + 8、 、1 9、 、 2、 、 7 3、 、 17 4、 、 3 11、 、 5、 、 三 12、[4, + ∞) 、 6、 、 p←p+2i 13、2(a 、
2

7、8 3 、

4 3

10、 、1,4,2,6

2 2

+ b2 + c2 ) π

14、 2 + 、

2

解答应写出文字说明, 二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. 15.解: (Ⅰ)当 z 为实数时,则

a 2 5a 6 = 0 a + 1 ≠ 0
5分

∴ a = 1 或 a = 6 ,且 a ≠ 1,∴ 当 a = 6 时, z 为实数.

a 2 5a 6 ≠ 0 (Ⅱ)当 z 为虚数时,则 a + 1 ≠ 0
∴ a ≠ 1 且 a ≠ 6 , z 为虚数. a 2 5a 6 ≠ 0 2 (Ⅲ)当 z 为纯虚数时,则 a 7 a + 6 = 0 a + 1 ≠ 0 ∴ a = 1 , z 为纯虚数.
16.解: (Ⅰ)Q PA ⊥ 平面 ABCD ,△ABE 是定值, ∴ VE PAB = VP ABE = 10 分

14 分

1 1 1 1 S ABE PA = × × 1× 2 × 1 = 3 3 2 3
z P

6分

(Ⅱ)分别以 AB、AD、AP 为 x、y、z 轴建立 坐标系(如图) ,则由题知:A(0,0,0) ,P (0,0,1) 为 CD 中点,CD=2,E(1,1, ,E

uuu r
0) PE =(1,1,-1) , 设 8分 F A E B
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FD =m,F(0,1-m,m)(0≤m≤1) PD uuu r AF =(0,1-m,m)…………10 分

D C

y

x

uuu uuu r r PE AF 1 r PE 与 AF 成 60°角,则 | uuu uuur |= | PE | | AF | 2
即|

1 2m 3 (1 m) 2 + m 2
2

|=

1 2

化简得 10m 10m + 1 = 0

m=

1 15 ± 2 10

…………13 分

经检验,均满足 0≤m≤1,故

FD 1 15 = ± PD 2 10

…………14 分

17.解: (Ⅰ)Q 不等式 ax 2 bx + 1 > 0 解集是 (1,3) ,故方程 ax 2 bx + 1 = 0 的两根 是 x1 = 1 , x 2 = 3 ,

1 b = x1 x2 = 3 , = x1 + x2 = 2 . a a 1 2 所以 a = , b = . 3 3 1 (Ⅱ)当 a=0 时,f(x)=0,x= ,不合题意. 2
当 a≠0 时,

4分 6分 8分

Q b = a + 2,∴ f ( x) = ax 2 (a + 2) x + 1, = (a + 2) 2 4a > 0
函数 f ( x) = ax 2 bx + 1 必有两个零点, 又函数 f ( x) 在 (2, 1) 上恰有 一个零点,故 f (2) f (1) < 0 , 9分 11 分

(6a + 5)(2a + 3) < 0 ,
3 5 <a< 2 6,
又 a ∈ Z ,∴ a = 1 . 18. . (Ⅰ)∵AC=BC, P 是 AB 的中点 ∴AB⊥PC ∵AA1⊥面 ABC,CC1∥AA1, ∴CC1⊥面 ABC 而 AB 在平面 ABC 内 ∴CC1⊥AB, ∵CC1∩PC=C
高三数学理科试卷

13 分 14 分 C B P A
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C1 Q N M A1 B1

∴AB⊥面 PCC1; 5分 又∵M、N 分别是 AA1、BB1 的中点,四边形 AA1B1B 是平行四边形,MN∥AB, ∴MN⊥面 PCC1 ∵MN 在平面 MNQ 内, ∴面 PCC1⊥面 MNQ; 8分 (Ⅱ)连 PB1 与 MN 相交于 K,连 KQ, ∵MN∥PB,N 为 BB1 的中点, ∴K 为 PB1 的中点. 又∵Q 是 C1B1 的中点 ∴PC1∥KQ 14 分 而 KQ 平面 MNQ,PC1 平面 MNQ 16 分 ∴PC1∥面 MNQ. 19.解(Ⅰ)Q f (x ) 定义域为 (0,+∞ )

∴ f / (x) =

1 - lnx x2

2分

1 Q f ( ) = e e / 1 2 又 Q k = f ( ) = 2e e 1 ∴ 函数 y = f (x) 的在 x = 处的切线方程为: e 1 y + e = 2e 2 ( x ) ,即 y = 2e 2 x 3e e
(Ⅱ)令 f / ( x) = 0 得 x = e

4分

5分 6分

Q 当 x ∈ (0, e) 时, f / ( x) > 0 , f (x) 在 (0, e) 上为增函数
当 x ∈ (e,+∞ ) 时, f / ( x) < 0 ,在 (e,+∞) 上为减函数 8分 10 分

∴ f max ( x) = f (e) =

(Ⅲ)Q a > 0 ,由(2)知:

1 e

F (x) 在 (0, e) 上单调递增,在 (e,+∞) 上单调递减. ∴ F (x) 在 [a,2a ] 上的最小值 f min ( x) = min{F (a ), F (2a )}

Q F ( a ) F (2a ) =

1 a ln 2 2
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12 分

高三数学理科试卷

∴ 当 0 < a ≤ 2 时, F (a ) F (2a ) ≤ 0, f min ( x) = F (a ) = ln a
当 2 < a 时 F ( a ) F ( 2a ) > 0 , f min ( x) = F ( 2a ) =

14 分 16 分

1 ln 2a 2

20. 解: (I)当 t = 2时, f ( x ) = x +

2 , x

f ′( x) = 1

x2 2 2 = >0 x2 x2

1分

解得x > 2 , 或x < 2 .则函数 f (x) 有单调递增区间为 (∞, 2 ), ( 2 ,+∞) 4 分
(II)设 M、N 两点的横坐标分别为 x1 、 x 2 ,

Q f ′( x) = 1

t t t ,∴ 切线PM的方程为 : y ( x1 + ) = (1 2 )( x x1 ). 2 x1 x x1 t t ) = (1 2 )(1 x1 ). x1 x1

又 Q 切线PM 过点P (1,0),∴ 有0 ( x1 + 即x12 + 2tx1 t = 0.
(1)

2 同理,由切线 PN 也过点(1,0) ,得 x 2 + 2tx 2 t = 0. (2)

6分

由(1)(2) 、 ,可得 x1 , x 2 是方程x 2 + 2tx t = 0 的两根,

x + x 2 = 2t ∴ 1 x1 x 2 = t.

(*)

8分

| MN |= ( x1 x 2 ) 2 + ( x1 +

t t t 2 x 2 ) 2 = ( x1 x 2 ) 2 [1 + (1 ) ] x1 x2 x1 x 2 t 2 ) ] x1 x 2

[( x1 + x 2 ) 2 4 x1 x 2 ][1 + (1
把(*)式代入,得 | MN |=

20t 2 + 20t , 20t 2 + 20t (t > 0)
10 分

因此,函数 g (t )的表达式为g (t ) = (III)易知 g (t )在区间[ 2, n +

64 ] 上为增函数, n

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∴ g (2) ≤ g (ai )(i = 1, 2,L , m + 1). 则m g (2) ≤ g (a1 ) + g (a2 ) + L + g (am ). Q g (a1 ) + g (a2 ) + L + g (am ) < g (am +1 )对一切正整数n成立,
∴ 不等式m g (2) < g (n + 64 )对一切的正整数n恒成立 n
13 分

m 20 × 2 2 + 20 × 2 < 20(n +
即m < Qn + ∴m <

64 2 64 ) + 20(n + ) , n n

1 64 64 [(n + ) 2 + (n + )]对一切的正整数n恒成立 6 n n 1 2 136 [16 + 16] = . 6 3

64 1 64 64 ≥ 16,∴ [(n + ) 2 + (n + )] ≥ n 6 n n 136 . 3

由于 m 为正整数,∴ m ≤ 6 .

15 分

又当 m = 6时, 存在a1 = a 2 = L = a m = 2, a m +1 = 16, 对所有的n满足条件. 因此,m 的最大值为 6. 16 分

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