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必修4第二章2.2平面向量的线性运算


1 对 1 个性化教案
学 生 教 师 课 题 重 点 难 点 学 校 年 级 高一

授课日期 2.2 平面向量的线性运算

授课时段

1.向量加法运算及其几何意义 2.向量减法运算及其几何意义 3.向量数乘运算及其几何意义
知识点回顾: 1. 向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法 2. 向量的加法有三角形法则和平行四边形法则. 3. A1 A2 ? A2 A3 ? ? An?1 An ? A1 An

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4. 用“相反向量”定义向量的减法 (1) “相反向量”的定义:与 a 长度相同、方向相反的向量.记作 ?a. (2) 规定:零向量的相反向量仍是零向量.?(?a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (?a) = 0. 如果 a、b 互为相反向量,则 a = ?b, b = ?a, a + b = 0. (3) 向量减法的定义:向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差. 即:a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 5.用加法的逆运算定义向量的减法:向量的减法是向量加法的逆运算: 若 b + x = a,则 x 叫做 a 与 b 的差,记作 a ? b 6.向量减法的几何表示:三角形法则, 即 a ? b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点 的向量. 7.实数与向量的积:实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a . (1)|λ a |=|λ|| a |(2)λ>0 时 λ a 与 a 方向相同;λ<0 时 λ a 与 a 方向相反;λ=0 时 λ a = 0 . 8. 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线,当且仅当只有一个非零实数 λ,使 b =λ a 要点解析:

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教 学 步 骤 及 教 学

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1. | a + b | ≤ | a | + | b |,当且仅当方向相同时取等号; 2.几何中向量加法是用几何作图来定义的,一般有两种方法,即向量加法的三角形法则(“首尾 相接,首尾连”)和平行四边形法则(对于两个向量共线不适应) 课本中采用了三角形法则来 定义,这种定义,对两向量共线时同样适用,当向量不共线时,向量加法的三角形法则和平行 四边形法则是一致的
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3. 向量加法有如下规律: a + b = b + a (交换律); a+(b+c)=(a+ b)+c (结合律) ; a +0= a , a +(- a )=0. 因此,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.

内 容

4. 以 向 量 AB = a 、 AD = b 为 邻 边 作 平 行 四 边 形 ABCD , 则 两 条 对 角 线 的 向 量

AC = a + b , BD = b - a , DB = a - b
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且有︱ a ︱-︱ b ︱≤︱ a ? b ︱≤︱ a ︱+︱ b ︱

5.若有向量 a ( a ? 0 )、b ,实数 λ, 使 b =λ a ,则 a 与 b 为共线向量;反之若 a 与 b 共线( a ? 0 ) 且| b |:| a |=μ,则当 a 与 b 同向时 b =μ a ;当 a 与 b 反向时 b =?μ a 从而得向量 b 与非零向量
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? ? ? a 共线,当且仅当只有一个非零实数 λ,使 b =λ a
考点探究 考点 1 向量的加法运算

王新敞
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【例 1】 化简或计算:(1) CD + BC + AB =________. (2) AB + DF + CD + BC + FA =________. (3)在平行四边形 ABCD 中(如图),对角线 AC、BD 交于点 O.则:① AD + AB =________; ② CD + AC + DO =________; ③ AB + AD + CD =________; ④ AC + BA + DA =________. 【变式 1】 如图,E、F、G、H 分别是梯形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点,化简下列 各式: ① DG + EA + CB ; ② EG + CG + DA + EB .

考点 2 利用向量证明几何问题 【例 2】 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 的延长线及反向延长线上,取点 F、E,使 BE= DF(如图).用向量的方法证明:四边形 AECF 也是平行四边形.

【变式 2】 已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,且 AO = CO , DO = OB . 用向量法证明:四边形 ABCD 是平行四边形.

考点 3 向量加法的实际应用 【例 3】 如图所示,在抗震救灾中,一架飞机从 A 地按北偏东 35° 的方向飞行 800 km 到达 B 地接到受伤人员,然后又从 B 地按南偏东 55° 的方向飞行 800 km 送往 C 地医院,求这架飞机 飞行的路程及两次位移的和.

【变式 3】 已知小船在静水中的速度与河水的流速都是 10 km/h,问: (1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少? (2)如果小船在河南岸 M 处,对岸北偏东 30°有一码头 N,小船的航向如何确定才能直线到达 对岸码头?(河水自西向东流)

考点 4 向量加减法的基本运算 【例 4】 化简:(1) AB - AD - DC ; (2)( AB - CD )-( AC - BD ).

【变式 4】 化简: (1) MN - MP + NQ - PQ ; (2) BD + DC + AB - AC .

考点 5 用已知向量表示其他向量 【例 5】 如图,解答下列各题: (1)用 a,d,e 表示 DB ; (2)用 b,c 表示 DB ; (3)用 a,b,e 表示 EC ; (4)用 d,c 表示 EC .

【变式 5】 如图,在五边形 ABCDE 中,若四边形 ACDE 是平行四边形,且 AB =a, AC =b,

AE =c,试用 a,b,c 表示向量 BD , BC , BE , CD 及 CE .

考点 6 向量加、减法的综合应用 【例 6】 已知任意四边形 ABCD,E 为 AD 的中点,F 为 BC 的中点,求证: EF + EF = AB + DC .

【变式 6】 已知两个非零向量 a 和 b,求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是:a 的方向与 b 的方 向垂直.

考点 7 向量的数乘运算 【例 7】 化简下列各式: (1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a); 1 (2) [2(2a+8b)-4(4a-2b)]. 6 1 ? ? 2 ? 【变式 7】 若向量 a=3i-4j,b=5i+4j,则? ?3a-b?-3?a+3b?+(2b-a)=________.

考点 8 用已知向量表示未知向量 【例 8】 如图所示,已知?ABCD 的边 BC,CD 上的中点分别为 K,L,且 AK =e1, AL =e2, 试用 e1,e2 表示 BC , CD .

【变式 8】 如图所示,D,E 分别是△ABC 中边 AB,AC 的中点,M,N 分别是 DE,BC 的中 点,已知 BC =a, BD =b,试用 a,b 分别表示 DE , CE , MN .

考点 9 共线向量定理的应用 【例 9】 已知非零向量 e1,e2 不共线. (1)如果 AB =e1+e2, BC =2e1+8e2, CD =3(e1-e2),求证:A,B,D 三点共线; (2)欲使 ke1+e2 和 e1+ke2 共线,试确定实数 k 的值.

【变式 9】 如图所示,已知在平行四边形 ABCD 中,点 M 为 AB 的中点,点 N 在 BD 上,且 3BN=BD.求证:M、N、C 三点共线.

易错点 1 因忽略特殊向量而出错 【示例】 下列命题: ①如果非零向量 a 与 b 的方向相同或相反,那么 a+b 的方向必与 a,b 之一的方向相同; ②在△ABC 中,必有 AB + BC + CA =0; ③若 AB + BC + CA =0,则 A、B、C 为一个三角形的三个顶点; ④若 a,b 均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等. 其中真命题的个数为( ).

易错点 2 对向量的减法法则理解不透彻 【示例】 如图,四边形 OADB 是以向量 OA =a, OB =b 为邻边的平行四边形,试用 a、b 表 示 BA .

达标训练 一.选择题 1.下列等式不成立的是( A.a+0=a

). C. AB + BA =2 AB D. AB + BC = AC ).

B.a+b=b+a

2.已知向量 a∥b,且|a|>|b|>0,则向量 a+b 的方向( A.与向量 a 方向相同 B.与向量 a 方向相反 C.与向量 b 方向相同 D.与向量 b 方向相反 3.化简 PM - PN + MN ,所得的结果是( A. MP B. NP C.0 D. MN ).

→ → → → 4.如图,在四边形 ABCD 中,设 A B =a,AD=b,BC=c,则DC=(
A.a-b+c B.b-(a+c) C.a+b+c D.b-a+c

).

5.化简 4(a-b)-3(a+b)-b=( ). A.a-2b B.a C.a-6b D.a-8b 6. 已知向量 a=e1-2e2, b=2e1+e2, 其中 e1、 e2 不共线, 则 a+b 与 c=6 e1-2 e2 的关系为( A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定 二.填空题 7.当非零向量 a,b 满足________时,a+b 平分 a 与 b 的夹角 8.若菱形 ABCD 的边长为 2,则| AB - CB + CD |=________.

).

9.梯形 ABCD 中,AB∥DC,AC 与 BD 交于点 O,则 AD - BD + BC - AO + CO =________.

10. 如图, 在四边形 ABCD 中, 设 AB =a,AD =b,BC =c, 则 DC 用 a, b, c 表示为________.

11.若|a|=3,向量 b 与 a 反向,且|b|=2,则 a=________b. 12.如图所示,D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量 CD =________.(填写正确的序号)

三.解答题 13.化简: (1) BC + AB ;(2) DB + CD + BC ;(3) PQ + OM + QO + MQ .

14.化简:(1)( BA - BC )-( ED - EC );(2)( AC + BO + OA )-( DC - DO - OB ).

15.计算: (1)(-7)×6a; (2)4(a+b)-3(a-b)-8a; (3)(5a-4b+c)-2(3a-2b+c).

教导处签字: 日期: 年 月 日


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