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4、高二数学-函数专题


高中数学专题

函数

函数内容回顾
?
?

1、定义域
一、定义域 根据函数的基本性质求定义域 注意两种情况:根号、分母

?

二、值域与最值
直接法、配方法、反函数法、判别式法、分离常数法、换 元 法、不等式法、单调性法、求导法、数形结合法 例、求y=2x?-4x+5(-2≤x≤2)

函数的单调性
(1)增函数 ? 设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内 的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当 x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间 D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
?

函数的单调性
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1, x2,当x1<x2 时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x) 在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单 调减区间. ? 注意:函数的单调性是函数的局部性质;
?

图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单 调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是 上升的,减函数的图象从左到右是下降的.

?

函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法: ? 1 任取x1,x2∈D,且x1<x2; ? 2 作差f(x1)-f(x2); ? 3 变形(通常是因式分解和配方); ? 4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); ? 5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单 调性). ? (B)图象法(从图象上看升降)
?

观察下列函数图象,写出单调区间. 1、y
1
o

y=x-1

2、
? 2

y 2

y=-x2+2
2

o

-1

x

x

3、
-1

y

1 y? x

1、单调增区间:(-∞,+∞) 2、单调增区间:(-∞,0],
x

1
o

-1

1

函数的单调性是函数 单调减区间:[0, +∞) 的局部性质

3、单调减区间:

(-∞ ,0), (0, +∞)

[例]根据函数单调性定义,证明函数

上是增函数。
【证明】设x2>x1≥2,则

函数的奇偶性(整体性质)
?

(1)偶函数 ? 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. ? (2).奇函数 ? 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.

具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关 于原点对称.

?

利用定义判断函数奇偶性的步骤:
1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于 原点对称; ? 2确定f(-x)与f(x)的关系; ? 3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x) +f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
?

利用定义判断函数奇偶性的步骤:
注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇 偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关 于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数. 若对称: ? (1)再根据定义判定; ? (2)由 f(-x)〒f(x)=0或f(x)/f(-x)=〒1来判定; ? (3)借助函数的图象判定 .
?

1、偶函数

2、非奇非偶函数

3、奇函数

2、已知f(x)=x+9/x 在x>0时的图像如图所示,则当x<0时,请画出 f(x)的 图像 y

6

-3

o 3

x

-6

函数考点强化
?

一、奇偶性

设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=- f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于( ) ? A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5
?

函数单调性和奇偶性的综合应用

1、如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且有最小值是5,那 么f(x)在区间[-7,-3]上 ( D ) B、最小值是-5 A、最小值是5
C、最大值是-5 D、最大值是5

2、设函数f(x)是(-∞,+ ∞)上的偶函数且在[0,+ ∞)上 ( A ) 为增函数则 A、f(-π)>f(3)>f(-2) C、f(-π)<f(3)<f(-2) B、f(-π)>f(-2)>f(3) D、f(-π)<f(-2)<f(3)

3、定义在 [-1 , 1 ] 上的函数 f ( x ) 是奇函数,并且在 [-1 , 1 ] 上 f ( x )是增函数,求满足条件 f ( 1-a ) + f ( 1 -a 2 ) ≤ 0 的 a 的取值 范围。 解:由 f ( 1-a ) + f ( 1 -a 2 ) ≤ 0 得 f ( 1 -a 2 ) ≤ -f ( 1-a ) ∵ f ( x )是奇函数 ∴ f ( 1 -a 2 ) ≤ f ( a - 1 )

∵ f ( x ) 在 [-1 , 1 ] 上是增函数

?? 1 ? 1 ? a 2 ? 1 ? ?? ?1 ? a ?1 ? 1 ? 1 ? a2 ? a ? 1 ?
?? 2 ? a ? 2 ? ?? 0?a? 2 ? a ? ?2或a ? 1 ?
?1? x ? 2

?? 2 ? ?a 2 ? 0 ? ?? 0?a? 2 ?a 2 ? a ? 2 ? 0 ?

? 0 ? a2 ? 2 ? ?? 0?a?2 ?(a ? 2)( a ? 1) ? 0 ?

-2

?

? 2

?

?

0

1

?

?
2

?

2

故 a 的取值范围为 [1, 2 ]

二次函数
? 1、二次函数的解析式(待定系数法)

? ①一般式:y=ax2+bx+c(a≠0)
? ②顶点式:y=a(x-h)2+k,a≠0,其中(h,k)为

抛物线的顶点坐标。
? ③零点式(两根式):y=a(x-x1)(x-x2),a≠0

其中x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标。

2、二次函数研究的四元素:

开口a;对称轴-b/2a;顶点;与坐标 轴的交点
1、配方法 b 4ac ? b 2 2、顶点公式 (? 2a , 4a ) 3、对称代入法

1、与y轴的交点:(0,c) 2、与x轴的交点:y=0时 ,转化成一元二次方程

3、二次函数的相关量
1)单调性的相关量:开口;对称轴

2)最值相关量:
定义域R: 定义域[m,n]:

3)对称轴相关量:
1:对称轴x=-b/2a

2:f(a)=f(b)(a≠b)对称轴x=(a+b)/2

二次函数的解析式
【例1】 已知函数f(x)=ax2+a2x+2b-a3,当x∈(- 2,6)时,f(x)>0,当x∈(-∞,-2)∪(6,+∞) 时,f(x)<0,且f(0)=48,求f(x).

【解析】依题意知函数f ? x ?的图象是抛物 线,且开口向下,故a ? 0,且x=-2和x =6是f ? x ?=0的两个根, 则设函数f ? x ?=a ( x+2)( x-6)=ax 2-4ax-12a, ?a 2 ? ?4a ? a ? ?4 ? 比较得 ? ,解得 ? . 3 ?2b ? a ? ?12a ?b ? ?8 ? 2 所以f ? x ?=-4x +16x+48.

三个“二次”的基本关系:

? ? b 2 ? 4ac
y ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0)的图象
O
方程ax 2 ? bx ? c=0的根
二 次 不 等 式 的 解 集

??0
y
x1 x 2

??0
y y

??0

x

O

x

O
无实根

x

? b ? b 2 ? 4ac x =x ? ? b x1、= 1 2 2 2a 2a

ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集
ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

b? ? ?x | x ? x1或x ? x2 ? ?x | x ? R, x ? ? 2a ? ? ?

R
?

?x | x1 ? x ? x2 ?

?

重要题型

二次函数的区间最值

求解二次函数f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0在区间 ?m, n? 上最 ) 值,注意分顶点横坐标在区间的左、中、右三种情况进 行讨论。 y 类 别 最小值 最大值
b ? ?m -b/2a<m f ( x) min ? f (m) f ( x) max ? f (n) 2a b b m ? ? ? n f ( x) min ? f (? ) f (m)与f (n)最大者 2a 2a b ? ? n f ( x) min ? f (n) f ( x) max ? f (m) 2a
n

m O

x

?

若函数 f (x)=x2 + 2(a -1)x +2在(-∞,4] 上是减函数, 则a的范 围是( )

A . a≥3

B. a≤-3

C. a≤5

D. a≥5

【练习4】 已知二次函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区 间[0,1]上有最大值为2,求实数a的值. 【解析】根据对称轴x=a与区间[0,1]的关 系讨论: ①当a<0时,[f(x)]max=f(0)=1-a=2,所 以a=-1; ②当0≤a≤1时,[f(x)]max=f(a)=2,无实数 解; ③当a>1时,[f(x)]max=f(1)=a=2,所以 实数a的值是-1或2.

三类重要题型:

二次方程根的分布问题

(一)符号根问题: 从△、x1+x2、 x1x2三方面列不等式(组)
?? ? 0 ?两正根 ? ? x1 ? x 2 ? 0 ?两负根? ? ?x ? x ? 0 ? 1 2

?? ? 0 ?? ? 0 c ? ?异号根 ? ? 或 ?0 ? x1 ? x2 ? 0 ? x1 ? x2 ? 0 a ?x ? x ? 0 ?1 2

(二)区间根问题: 从△、顶点横坐标、 端点值三方面列不等式(组) x1 , x 2 有且仅有一个 类 x ? x2 ? k k ? x1 ? x2 x1 ? k ? x2 x1 , x2 ? (k1 , k 2 ) 根在区间(k1 , k 2 )内 别 1

y

y

y

y

y

图 象

x1 x 2 k x O

k x1 x 2
O

x

O

x1 k x 2

x

k1 x1 x 2 k 2 x O

k1

O

k2

x

充 要 条 件

? ?? ? 0 ? ? f (k ) ? 0 ? b ?? ?k ? 2a

? ?? ? 0 ? ? f (k ) ? 0 ? b ?? ?k ? 2a

?? ? 0 ? f (k ) ? 0 ? 1 ? f (k ) ? 0 ? f (k 2 ) ? 0 f (k1 ) ? f (k 2 ) ? 0 ? ? k1 ? ? b ? k 2 ? 2a ?

突现函数图象,研究二次方程ax2+bx+c=0的根 的分布问题: ①二次项系数a的符号; ②判别式的符号; ③区间端点函数值的正负; ④对称轴x=-b/2a与区间端点的关系

注:方程、不等式问题等价转化图形问题 等价转化简单不等式组

二次函数的零点分布 【例】 已知函数f(x)=x2+2mx+2m+1 的零点都在区间(0,1)上,求实数 m的取值范围.

【解析】函数f ? x ?=x 2+2mx+2m+1的零点都在 区间? 0,1? 上,即函数f ? x ?=x 2+2mx+2m+1的图 象与x轴的交点都在 ? 0,1? 上,根据图象列出不等 ? ?? ? 0 ?m ? 1 ? 2或m ? 1 ? 2 ?0 ? ? m ? 1 ? ? 式组 ? ,解得 ??1 ? m ? 0 , ? f (0) ? 0 ? 1 ? f (1) ? 0 ?m ? ? ? ? 2 1 所以- ? m ? 1- 2, 2 1 所以实数m的取值范围是(- ,1- 2] 2

二次函数的零点分布也即二次方程实根分布,若两个零点分 布在同一区间,则其充要条件包含三个方面,即判别式大于等于0 、对称轴在该区间上、区间端点的函数值的符号(根据图象判断); 若两个零点分布在两个不同区间,则其充要条件包含一个方面, 即区间端点的函数值的符号(根据图象判断).


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