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第1章-集合与函数概念-必修1-新课标(RJA)-数学


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第一章

集合与函数概念

1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示 1.1.2 集合间的基本关系式 1.1.3 集合的基本运算 第1课时 集合的并集、交集 第2课时 集合的全集、补集 1.2 函数及其表示

第一章

集合与函数概念

1.2.1 函数的概念 1.2.2 函数的表示法 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性 第2课时 函数的最大(小)值 1.3.2 奇偶性 本章总结提升

第一章

集合与函数概念

1.1 集



1.1.1 集合的含义与表示

1.1.1 │ 三维目标 三维目标
1.知识与技能 通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关 系,了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集 及其专用符号. 2.过程与方法 从实际生活现象出发,引导学生自主探索集合的概念;应 用列举法和描述法表示不同的具体集合,让学生领会集合作为 一种语言的特点,培养学生运用集合表述问题的能力.

1.1.1 │ 三维目标

3.情感、态度与价值观 引导学生主动观察、分析、探究,鼓励学生积极参与课堂 教学活动,领会用集合的观点去观察分析事物的方法;培养学 生直觉观察、探索发现的良好的数学思维品质.

1.1.1 │ 重点难点 重点难点
[重点] 集合的基本概念与表示方法. [难点] 表示集合方法的选择.

1.1.1 │ 教学建议 教学建议
集合的初步知识与其他内容有着密切的联系,是学习、掌 握和使用数学语言的基础.课本从学生熟悉的集合(自然数的 集合、有理数的集合等)出发,结合实例给出元素、集合的含 义,此外还注重体现逻辑思维的方法,如抽象、概括等,这也 是高中学生认知水平的第一次提升.

1.1.1 │ 教学建议

由于本小节的新概念、新符号较多,建议教学时先引导学 生自我学习、合作交流,让学生在阅读与交流中理解概念并熟 悉新符号的使用,教师适时给出释疑和评价.这样做的目的是 使学生养成主动学习的习惯,提高阅读与理解、合作与交流的 能力.在处理集合问题时,根据需要,及时提示学生运用集合 语言进行表述,尤其要重视表示集合方法的选用.

1.1.1 │ 新课导入 新课导入
[导入一] “两个黄鹂鸣翠柳,一行白鹭上青天”.这是同学们耳熟 能详的两句唐诗,诗句中,两个黄鹂“集合”在柳枝上,一行 白鹭“集合”在蓝天上,请思考,怎样理解这里的“集合”? 这节课我们研究——集合的含义与表示.

1.1.1 │ 新课导入
[导入二] 1.到一个定点的距离等于定长的点的集合是什么? 2.回答:线段垂直平分线的定义.思考:集合的含义是 什么? 这就是我们这一堂课所要学习的内容——集合的含义与表 示.

1.1.1 │ 预习探究 预习探究
? 知识点一 集合的定义及元素的特征 1. 集合与元素的概念: 一般地, 我们把研究对象统称为________ 元素 , 把一些元素____________ 集 . 组成的总体 叫作集合,简称为________ 2.符号表示:集合常用大写字母 A,B,C,…表示,元素常用 a∈A ,a?A 的意 小写字母 a,b,c,…表示.a 属于集合 A,记作________ 元素 a 不属于集合 A . 义是____________________ 3.常用数集及其记法:自然数集记作 ________ ;正整数集记作 N Q N+ ________ 或________ ; 整数集记作________ ; 有理数集记作________ ; Z N* 实数集记作________ . R 确定性 、________ 无序性 . 互异性 、________ 4.集合中元素的三个特性为________

1.1.1 │ 预习探究

[思考] (1)期中考试成绩出来了,我们班的数学成绩较好的同 学能否组成一个集合吗? 120 分以上的同学能否组成一个集合 吗? (2)某中学 2015 级高一年级 20 个班构成一个集合 A.①高一(10) 班、 高二(6)班是集合 A 中的元素吗?②若 a∈A, b∈A, 则元素 a, b 有什么关系?为什么?
解:(1)“成绩较好”没有明确的标准,所以“数学成绩较好的同 学”不能组成集合; “120 分以上”是明确的标准,所以“120 分 以上的同学”能组成集合. (2)①高一(10)班是 A 中的元素,高二(6)班不是 A 中的元素.②a ≠b,这是因为集合 A 中的元素具有互异性.

1.1.1 │ 预习探究

? 知识点二 集合的表示法 { } 括起 1.列举法:把集合的元素一一列举出来,并用________ 来表示集合的方法叫作列举法.(注意元素间要用“, ”隔开, 如{-1,0,1,2}) 2.描述法:用集合所含元素的________ 共同特征表示集合的方法称为 描述法.(注意花括号内竖线前面的部分为集合的元素)

1.1.1 │ 预习探究

[讨论] (1)方程(x-1)(x+2)=0 的实数根组成的集合,怎样 表示较好? (2)平面直角坐标系中单位圆 x2+y2=1 内的点构成的集合 有多少个元素,怎样表示这个集合较好?

解:(1)列举法表示为{-2,1},描述法表示为{x|(x-1)(x+2) =0},列举法较好. (2)单位圆 x2+y2=1 内的点构成的集合有无数个元素, 用描述 法表示这个集合较好.

1.1.1 │ 备课素材 备课素材
1.集合概念的疑难点 (1)对于集合我们一定要从整体的角度来看待它; (2)构成集合的对象必须是确定的且不同的; (3)元素与集合的关系是“属于”或“不属于”的关系. 2.集合的表示法中的问题 (1)列举法表示集合时,不考虑元素的顺序,某些集合用描 述法表示时,形式不是唯一的; (2)一个集合用什么方法表示,要由集合元素的特点而定.

1.1.1 │ 考点类析 考点类析
? 考点一 集合中元素的“三性”

例 1 (1)以方程 x2-2x-3=0 和方程 x2-x-2=0 的解为元 素的集合中共有________个元素. (2)已知集合 M 含有两个元素 a-3 和 2a+1,若-2∈M,则 实数 a 的值是________. (3)用符号“∈”或“?”填空: ①2 3________R,2 3_______{x|x<11}; ②4________{x|x=n2+1,n∈N+}; ③ (1 ,3)________{y|y= 2x + 1} ,(1 , 3)________{(x , y)|y = 2x+1}.

1.1.1 │ 考点类析

(1)3

3 (2)1 或- (3)①∈ ? ②? ③? ∈ 2

[解析] (1)因为方程 x2-2x-3=0 的解是 x1=-1,x2=3,方程 x2-x-2=0 的解是 x3=-1,x4=2,所以以这两个方程的解为元素 的集合中的元素应为-1,2,3,共有 3 个元素. (2)因为-2∈M,所以 a-3=-2 或 2a+1=-2. 若 a-3=-2,则 a=1,此时集合 M 中含有两个元素-2,3, 符合题意; 3 若 2a+1=-2,则 a=-2,此时集合 M 中含有两个元素-2 或 9 - ,符合题意. 2 3 所以实数 a 的值是 1 或- .

1.1.1 │ 考点类析

(3)①2 3∈R,而 2 3= 12> 11,所以 2 3?{x|x< 11}. ②若 n2+1=4, 则 n=± 3?N+, 所以 4?{x|x=n2+1, n∈N+}. ③(1,3)是一个有序实数对,在坐标平面上表示一个点,而 {y|y=2x+1}表示一次函数的函数值构成的集合,故(1,3) ?{y|y =2x+1}.集合{(x,y)|y=2x+1}表示直线上的点构成的集合(点 集),因为(1,3)满足 y=2x+1,所以(1,3)∈{(x,y)|y=2x+1}.

1.1.1 │ 考点类析

?

考点二

用列举法表示集合

[导入] (1)用列举法表示由 10 以内的正整数构成的集合. 1 (2)当 x=-1,1,2 时,函数 f(x)=x+x 对应的函数值组成的 集合怎样表示最简洁?

解:(1){1,2,3,4,5,6,7,8,9}.(2)用列举法表示 比较好,也最简洁.

1.1.1 │ 考点类析
例 2 用列举法表示下列集合: (1)小于 10 的正偶数组成的集合; .方程 x(x2-1)=0 的所有实数根组成的集合; (2) (3)直线 y=x 与 y=2x-1 的交点组成的集合; (4)满足不等式 x2+y2≤2 的整数点(横坐标、纵坐标都是整 数的点)组成的集合.

1.1.1 │ 考点类析

解:(1)小于 10 的正偶数有 2,4,6,8,所求集合为{2,4, 6,8}. (2)方程 x(x2-1)=0 的根为 0,± 1,所求集合为{0,-1,1}.
? ? ?y=x, ?x=1, (3)方程组? 的解是? 所求集合为{(1,1)}. ? ? ?y=2x-1 ?y=1,

1.1.1 │ 考点类析

(4)满足不等式 x2+y2≤2 的整数点组成的集合是{(-1, -1), (1,-1),(1,1),(-1,1),(-1,0),(0,-1),(1,0),(0, 1),(0,0)}.

1.1.1 │ 考点类析

【变式】用列举法表示下列集合: (1)平方等于 5 的实数组成的集合为________________; |a| b (2) 由 a + |b| (a , b ∈ R , 且 ab ≠ 0) 所 确 定 的 实 数 集 为 ________________; (3)从正方形 ABCD 的四个顶点中任取三个作三角形,由这 些三角形组成的集合为_______________________________;
? ?x+y=0, (4)方程组? 2 的解集为________________. ? ?x +y=0

1.1.1 │ 考点类析

(1){- 5, 5} (2){-2, 0, 2} (3){△ABC, △BCD, △ACD, △ABD} (4){(0,0),(1,-1)} [解析] (1)因为(± 5)2=5,所以 平方等于 5 的实数组成的集合为{- 5, 5}. |a| b (2)设 x= a + ,当 a>0,b>0 时,x=2;当 a<0,b<0 |b| 时,x=-2;当 a,b 异号时,x=0.故用列举法表示为{-2,0, 2}. (3)满足条件的三角形一共有四个,分别是△ABC,△BCD, △ACD,△ABD,所以组成的集合为{△ABC,△BCD,△ACD, △ABD}. ? ? ?x=0, ?x=1, (4) 方程组的解为 ? 或? 所以方程组的解集为 ? ? ?y=0 ?y=-1, {(0,0),(1,-1)}.

1.1.1 │ 考点类析

[小结] 因为集合中元素都是确定的,所以在用列举法表示 集合时,要把集合中的元素分析清楚,如(1)中的元素,不能漏掉 -5,(4)中的元素是点,而不是数.

1.1.1 │ 考点类析

?
么?

考点三

用描述法表示集合

[导入] (1)用列举法能表示不等式 2x-3>5 的解集吗?为什 (2)由奇数构成的集合中,元素的公共特征是什么?

解:(1)不能,因为元素有无数个,不能一一列出. (2)元素的公共特征是 x=2k+1(k∈Z).

1.1.1 │ 考点类析

例3

用描述法表示下列集合: 1 (1)使 y= 2 有意义的实数 x 的集合; x +x-6 (2)坐标平面上第一、三象限内点的集合; (3)函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图像上所有点的集合; (4)斜边长为 5 的直角三角形组成的集合.

1.1.1 │ 考点类析

1 解:(1)要使 y= 2 有意义,则 x2+x-6≠0,即 x≠2 且 x x +x-6 ≠-3,故可写成{x∈R|x≠2 且 x≠-3}. (2)第一、三象限内点的特征是横、纵坐标符号相同,因此可 写成{(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R}. (3)易知集合可写成{(x,y)|y=ax2+bx+c(a≠0),x∈R}. (4)易知集合可以写成{斜边长为 5 的直角三角形}.

1.1.1 │ 考点类析
【变式】用描述法表示下列集合: (1) 满足不等式 3x + 2 > 2x + 1 的实数 x 组成的集合为 ________________; (2)面积为 2 的矩形组成的集合________________; (3)所有正奇数组成的集合为________________.

(1){x|x>-1} (2){面积为 2 的矩形} (3){x|x=2k-1, k∈N*} [小结] 描述法表示集合, 关键是弄清元素的属性和集合表示 的规范,如变式(1)中的集合是数集,用不等式表示其属性较为简 洁,(2)中的元素是图形,用图形的名称表示其属性较为简洁.

1.1.1 │ 考点类析
【拓展】已知集合 A={x|ax2+2x+1=0}. (1)若 A 中没有任何元素,求 a 的取值范围; (2)若 A 中只有一个元素,求 a 的取值范围.

1.1.1 │ 考点类析

解:(1)若 A 中没有任何元素,则关于 x 的方程 ax2+2x +1=0 无实数根. 1 当 a=0 时,x=-2,不符合题意;当 a≠0 时,Δ=4- 4a<0,即 a>1. 所以当 a>1 时,A 中没有任何元素. (2)A 中只有一个元素,即关于 x 的方程 ax2+2x+1=0 只有一个实数根或有两个相等的实数根. 1 当 a=0 时,x=-2;当 a≠0 时,Δ=4-4a=0,得 a =1,此时 x=-1. 所以当 a=0 或 a=1 时,A 中只有一个元素.

1.1.1 │ 备课素材 备课素材
1.元素的分析法: 集合离不开元素,分析元素是解决集合问题的核心,元素分析 法就是抓住元素进行分析,即元素是什么. [例] 分别指出下列集合中的元素:(1){x|y=x2-1,x∈R}; (2){y|y=x2-1,x∈R};(3){(x,y)|y=x2-1,x∈R}. 解:(1)中的集合是由函数的自变量组成的;(2)中的集合是由 函数的函数值组成的;(3)中的集合是由抛物线上的点组成 的.

1.1.1 │备课素材

2. 利用集合中元素的特性解决与方程有关的问 题. 集合与方程有密切联系, 利用集合中元素的特 性,即元素的互异性,可以求出集合中参数的值. [例] 若集合 A={-1,3},集合 B={x|x2+ ax+b=0},且 A=B,求实数 a,b.

解:因为 A=B,所以方程 x2+ax+b=0 的解 2 集是{-1,3},那么-1,3 是方程 x +ax+b=0
? ? ?-1+3=-a, ?a=-2, 的根,则? 解得? ? ? 3=b, ?-1× ?b=-3.

1.1.1 │ 当堂自测 当堂自测
1.对于以下说法: ①接近于 0 的数的全体构成一个集合; ② 2016 年新课标高考数学全国卷中的选择题构成一个集 合; ③高科技产品构成一个集合; ④不大于 3 的所有自然数构成一个集合; ⑤1,0.5,32,12 组成的集合含有 4 个元素. 其中正确的是( ) A.①②④ B.②③⑤ C.③④⑤ D.②④

1.1.1 │ 当堂自测

D [解析] ①③中集合的元素不能确定,⑤中的 集合含有 3 个元素,②④中集合的元素是确定的,所 以②④正确.

1.1.1 │ 当堂自测

2.由 a2,2-a,4 组成一个集合 A,A 中含有 3 个元素, 则实数 a 的取值可以是( ) A.1 B.-2 C.6 D.2

C [解析] 因为 A 中含有 3 个元素,即 a2,2-a,4 互不 相等,所以将选项中的数值代入验证知选 C.

1.1.1 │ 当堂自测

3.由 10 到 20 之间的质数组成的集合为________________.

{11,13,17,19} [解析] 10 到 20 之间的质数是 11,13, 17,19,所以组成的集合为{11,13,17,19}.

1.1.1 │ 当堂自测

4.已知 A 是由两个元素 a-3,2a-1 组成的集合,则由 a 的取值组成的集合是________.

{a|a∈ R,且 a≠-2} [解析] 由集合的互异性知 a-3≠2a -1,即 a≠-2,所以 a 的取值范围为 a∈R,且 a≠-2,所以 由 a 的取值组成的集合是{a|a∈R,且 a≠-2}.

1.1.1 │ 备课素材

备课素材
本节课小结 知识 方法 1. 集 合 的 含 1. 根据集合中 义 元素的性质判 2 .集合中元 断一些元素能 素的确定性、 否组成集合 互异性、 无序 2.表示集合常 性 用列举法和描 3 .元素与集 述法 合的从属关 3.利用元素的 系 互异性和确定 4 .常用数集 性求参数的值 的专用符号 易错 1. 由 于 对 集 合 中 元 素的属性理解不透 而判错元素与集合 的关系 2.由于选择表示方 法的不当而不能正 确表示集合 3.由于忽略元素的 互异性而求错参数 的值或范围

1.1.1 │ 备课素材

下节课预习问题: 1.集合之间包含与相等的含义; 2.集合的子集、真子集,集合间关系的判断; 3.空集的含义.

1.1.2 集合间的基本关系

1.1.2 │ 三维目标 三维目标
1.知识与技能 理解集合之间包含和相等的含义;能识别给定集合的子集;能 使用维恩图表达集合之间的包含关系. 2.过程与方法 通过复习元素与集合之间的关系,对照实数的相等与不相等的 关系,联系元素与集合之间的从属关系,探究集合之间的包含 和相等关系;初步经历使用最基本的集合语言表示有关的数学 对象的过程,体会集合语言,发展运用数学语言进行交流的能 力.

1.1.2 │ 三维目标

3.情感、态度与价值观 了解集合的包含、相等关系的含义,感受集合语言在描述客观 现实和数学问题中的意义;探索利用直观图示(维恩图)理解抽 象概念,体会数形结合的思想.

1.1.2 │ 重点难点 重点难点
[重点] 认识集合与集合之间的关系;如何确定集合之间的关系. [难点] 集合间关系与其特征性质之间的关系,理解空集的含义.

1.1.2 │ 教学建议 教学建议
建议从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等) 出发,通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系,同时, 结合相关内容介绍子集等概念.在安排这部分内容时,课本注 重体现逻辑思考的方法,如类比等. 值得注意的问题:在集合间的关系教学中,建议重视使用 维恩图,这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念;随 着学习的深入,集合符号越来越多,建议教学时引导学生区分 一些容易混淆的关系和符号:例如“∈”与“?”的区别.

1.1.2 │ 新课导入 新课导入
[导入一] 实数与实数之间有“相等”“不相等”的关系;元素与集 合有“属于”“不属于”的关系.那么集合与集合之间有怎样 的关系呢?——这一节我们来探讨集合与集合之间的关系.

1.1.2 │ 新课导入

[导入二] 方程 M={x|(x-1)(x+3)=0},N={-3,1}. 你能通过分析集合的元素之间的关系,弄清(1)中 A,B,C 间 的关系以及(2)中 M 与 N 的关系吗?——这一节我们来探讨集合与 集合之间的包含关系以及相等关系.

1.1.2 │ 预习探究

预习探究
? 知识点一 子集与真子集的概念 类别 文字语言 图形语言 集合 A 中 ________ 元素 任意一个 都是集合 B 中的 元素,就说两个 子集 集合有________ 包含 关系,称集合 ____ A 为集合____ B 的子集 如果集合 A?B, 但存在元素 真子集 x∈B,且 x?A, 称集合 A 是集合 B 的真子集 符号表示

A?B 或 ______ ______ B?A

______或 ______

1.1.2 │ 预习探究

[思考] (1)正整数集 N 与自然数集 N 之间是什么关系?自然数 集 N 与有理数集 Q 之间是什么关系? (2)A={小明书柜里的藏书},B={小明书柜里的高中教材}, C={小明书柜的小说},集合 B,C 与集合 A 是什么关系?

*

解:(1)N*是 N 的子集,也是真子集;N 是 Q 的子集,也是真 子集. (2)B,C 都是 A 的子集,也都是真子集.

1.1.2 │ 预习探究

? 知识点二 集合的相等关系 1.条件:________ B?A . A?B 且________ 2.表示:A=B. 3.维恩图:如图 111 所示.

图 111

1.1.2 │ 预习探究

[讨论] (1)M={x|(x-1)(x+2)=0},N={1,-2},P={(x- 1)(x+2)=0},这三个集合中,具有相等关系的是________. (2)集合{x||x-1|≤1}与集合{x|0≤x≤2}相等吗?
(1)M,N (2)解:相等.

1.1.2 │ 预习探究

? 知识点三 空集 不含任何元素 的集合叫作空集. 1.定义:________________ ? 2.符号表示:________ . 子集 3.规定:空集是任何集合的________________ .

1.1.2 │ 预习探究

[思考] (1)集合{0,1}的子集是________. (2)0,{0},?,{?}四者之间有什么关系?

解:(1){0},{1},{0,1},? (2)

1.1.2 │ 备课素材 备课素材
1.子集概念解读 若 A?B,则有以下三种情况 (1)A 是空集; (2)A 是由 B 的部分元素构成的集合; (3)A 是由 B 的全部元素构成的集合. 2.从两个角度看集合相等 (1)从元素的角度看:集合 A 中的元素与集合 B 中的元素相 同,则 A=B; (2)从集合的包含关系看:若 A?B 且 A?B,则 A=B.

1.1.2 │ 备课素材

3.对空集的理解 (1)空集首先是集合,只不过空集中不含任何元素; (2)规定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. (3)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,在 解决形如 A?B 类问题时, 需分类讨论 A ? ? 与 A ? ? 两种情况.

1.1.2 │ 考点类析 考点类析
? 考点一 集合与集合之间的包含关系

例 1 观察下面几个例子,请写出两个集合间的关系: (1)若 A={0, 1, 2}, B={-1, 0, 1, 2, 3}, 则____________. (2)若 A=N,B=R,则____________. (3)若 A={x|x 为篮球、足球、排球},B={x|x 为球类运动器 材},则____________.

1.1.2 │ 考点类析
例 2 (1)下列关系中,正确的个数是( )

1.1.2 │ 考点类析

(1)B (2)① ② [解析] (1)对于①, 集合{0}中含有 1 个元素 0,所以 0∈{0}正确;对于②,由于空集是任何非空集 合的真子集,所以?{0}正确;对于③,{0,1}是数集,{(0,1)} 是点集,所以③错误;对于④,{(a,b)}与{(b,a)}是不同的点 集,所以④错误. (2)①集合 A 是由偶数构成的集合,集合 B 是 4 的倍数构成 的集合,所以 A B. ②集合 M 是第四象限内的点构成的集合,集合 N 是第二、 四象限内的点构成的集合,所以 M N.

1.1.2 │ 考点类析

?

考点二

集合与集合之间的相等关系

[导入] (1)两个集合相等,这两个集合中的元素是什么关系? (2)集合 A 中的元素都是集合 B 中的元素, 那么 A 与 B 相等吗?

解:(1)这两个集合的元素相同.(2)A 与 B 不一定相等.

1.1.2 │ 考点类析

例3



? ? b a,b∈R,集合{1,a+b,a}=?0,a,b?,则 ? ?

b-a

等于( ) A.1 B.-1

C.2 D.-2

b C [解析] 因为 a≠0,所以 a+b=0,所以a=-1,所以 b= 1,a=-1.故 b-a=2.

1.1.2 │ 考点类析

【变式】设集合 A={x,y},B={0,x2},若 A=B,则实 数 x=________,y=________.

1 0 [解析] 因为 A=B,所以 x=0 或 y=0.若 x=0,则 x2 =0,此时集合 B 中的元素不满足互异性,舍去;若 y=0,则 x =x2,得 x=0(舍去)或 x=1,此时 A=B={0,1}.所以 x=1,y =0.

[小结] 在使用两个集合相等的关系时, 要考虑集合中元素的 互异性.

1.1.2 │ 考点类析

【 拓展 】设集合 A = {x| - 2<x ≤ m - 3} , B = {x|3n + 4<x ≤ 2}.若 A=B,求实数 m,n 的值.

解 :由 A= B 知,两个集合中的不等式的端点值相等,即 ? ? ?-2=3n+4, ?m=5, ? 解得? ? ? ?m-3=2, ?n=-2.

1.1.2 │ 考点类析

?

考点三

集合的子集与真子集

[导入] (1)集合{1}有几个子集,几个真子集?集合{1,2}呢? (2)若集合 A 是集合{a, b, c}的子集, 则集合 A 中有几个元素?

解:(1)集合{1}有 2 个子集,分别为?,{1};1 个真子集, 为?.集合{1,2}有 4 个子集,分别为?,{1},{2},{1,2}; 3 个真子集,分别为?,{1},{2}. (2)集合 A 中可能有 1 个,2 个,3 个元素,也可能没有元 素.

1.1.2 │ 考点类析

例4 A.

写出满足{1,2}

A?{1,2,3,4,5}的所有的集合

解:①当集合 A 含有 3 个元素时,A 为{1,2,3},{1,2, 4},{1,2,5}; ②当集合 A 含有 4 个元素时,A 为{1,2,3,4},{1,2,3, 5},{1,2,4,5}; ③当集合 A 含有 5 个元素时,A 为{1,2,3,4,5}. 故满足条件的集合 A 为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5}, {1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}, 共有 7 个.

1.1.2 │ 考点类析

【变式】设 P 件的所有集合 P.

A={x|(x-6)(x2+5x+4)=0},写出满足条
2

解:由(x-6)(x +5x+4)=0,得(x-6)(x+1)(x+4)=0,则方 程的根为 x=-4 或 x=-1 或 x=6,故集合 A={-4,-1,6}. 有 0 个元素的真子集为?; 有 1 个元素的真子集为{-4},{-1},{6}; 有 2 个元素的真子集为{-4,-1},{-4,6},{-1,6}. 所以集合 P 为?,{-4},{-1},{6},{-4,-1},{-4, 6},{-1,6}.

1.1.2 │ 考点类析

[小结] 求集合的子集问题的一般方法: 求给定集合的子集(真 子集)时,一般按照子集所含元素的个数分类,再依次写出符合要 求的子集(真子集).在写子集时,注意不要忘记空集和集合本身.

1.1.2 │ 考点类析
【拓展】 (1)已知集合 A={-1, 3, m2}, 且 B={3, 4}, B?A, 则 m=________. (2)已知 A={x|2x-a=0},B={x|-1<x<3},若 A ? B,则 实数 a 的取值范围是________.
(1)± 2 (2)-2<a<6 [解析] (1)由于 B?A,所以 m2=4,解得 ?a? a a ? ? m=± 2.(2)由 2x-a=0 得 x=2, 即 A= 2 , 由题意知需满足-1<2 ? ? <3,解得-2<a<6.

1.1.2 │ 备课素材 备课素材
1.集合间关系的判断的一般程序: (1)分析、化简每个集合; (2)借助维恩图或数轴表示集合,要注意端点处的元素是否属 于集合; (3)根据图形确定关系. [例] A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},则 A 与 B 是否有包含 关系或相等关系?

解:在数轴上表示出这两个集合,可知,A 与 B 不具有包含 关系,当然也不相等.

1.1.2 │ 备课素材

2.集合的子集与真子集的几个结论: 设集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 的子集有 2n 个,真子集 有 2n-1 个,非空真子集有 2n-2 个. 3.由集合间的关系求参数的一般方法: (1)若集合中的元素是一一列举的,依据集合间的关系,可 转化为解方程(组)求解,此时要注意集合中元素的互异性. (2)若集合表示的是不等式的解集,常借助于数轴转化为不 等式(组)求解,此时要注意端点能否取到. (3)对子集是否为空集要进行分类讨论,做到不漏解.

1.1.2 │ 备课素材

1.1.2 │ 当堂自测 当堂自测
1.集合 A={-1,0,1},则 A 的子集中含有元素 0 的子集共有( ) A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个

B [解析] 集合 A 的子集中含有 0 的子集为{0},{-1,0}, {0,1},{-1,0,1},共 4 个.

1.1.2 │ 当堂自测

2.已知集合 M={x|x 是平行四边形},N={x|x 是矩形}, P={x|x 是正方形},Q={x|x 是菱形},则( ) A.M?N B.P?N C.Q?P D.Q?N
B [解析] 矩形是平行四边形,所以 A 错误;正方形是菱 形,所以 C 错误;菱形不一定是矩形,所以 D 错误;正方 形是矩形,所以 B 正确.

1.1.2 │ 当堂自测
3.下列说法中正确的是( )

A.①② B.②③ C.①③ D.①②③④

C [解析] ②不正确,如{1,2}?{1,2},但{1,2}?{1, 2}不成立;④不正确,如{1}?{1,2},但二者不相等;①③正 确.故选 C.

1.1.2 │ 当堂自测

4.集合 A={x|0≤x<4,且 x∈N}的真子集的个数是( A.16 B.8 C.15 D.4

)

C [解析] A={x|0≤x<4,且 x∈N}={0,1,2, 3},故其真子集有 24-1=15(个).

1.1.2 │ 备课素材 备课素材
本节课小结 知识 方法 1. 根据集合中元 素的特性判断集 1. 集 合 的 包 含 关 合与集合之间的 系 关系 2 .集合的子集与 2 .利用维恩图、 真子集 数轴判断集合之 3 .集合的相等关 间的关系 系 3 .利用集合之间 4.空集的含义 的关系求参数的 值或范围 易错

1. 判 断 集 合 关 系时, 易忽略集 合中元素的互 异性 2 .在讨论集合 关系时, 易忽略 对空集的讨论

1.1.2 │ 备课素材

下节课预习问题: 1.交集与并集的含义; 2.交集与并集的运算.

1.1.3 集合的基本运算

第1课时 集合的并集、交集

1.1.3 │ 三维目标 三维目标
1.知识与技能 理解并集与交集的定义,掌握并集和交集的表示法以及 求解两个集合的并集与交集的方法. 2.过程与方法 通过观察和类比,借助维恩图理解集合的基本运算.体 会直观图示对理解抽象概念的作用,培养数形结合的思想. 3.情感、态度与价值观 通过对并集、交集定义的学习,引导学生积极主动参与 学习的过程,培养自主探究与合作交流的意识.

1.1.3 │ 重点难点 重点难点
[重点] 并集和交集的定义、符号,以及各自的区别与联系. [难点] 并集和交集定义的概括,并集和交集的求解.

1.1.3 │ 教学建议 教学建议
建议从学生熟悉的集合出发,结合实例,通过类比实数 加法运算引入集合间的运算,同时,结合相关内容介绍并集和 交集等概念.在安排这部分内容时,课本继续注重体现逻辑思 考的方法,如类比等.教学中,教师引导学生采用自主探究的 方法进行学习,让学生在自己的发现中学到知识,并使学生不 断提高学习兴趣.

1.1.3 │ 新课导入 新课导入
[导入一] 我们知道,实数与实数之间有加、减、乘、除等运 算,那么,集合与集合之间也有类似的运算吗?若两个 集合可以“相加”,那么当 A={a,b},B={b,c,d} 时,“A+B”等于什么?如果不能“相加”,那么根据 集合中元素的特点,进行怎样的运算才合理?

1.1.3 │ 新课导入

[导入二] 请同学们观察下列各个集合,你能说出集合 C 与集合 A, B 之间的关系吗? (1)A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7},C={3,4}; (2)A={锐角三角形},B={钝角三角形},C={非直角三 角形}. 引导学生通过观察、类比、思考和交流,得出结论.教师 强调集合也有运算,这就是我们本节课所要学习的内容.

1.1.3 │ 预习探究 预习探究
? 知识点一 集合的并集 并集的三种语言表示: ①文字语言:由所有属于集合 A____ 或 属于集合 B 的元素组成的集 合,称为集合 A 与 B 的________ 并集 . {x|x∈A 或 x∈B} . ②符号语言:A∪B=__________________ ③图形语言:如图 112 所示.

图 112

1.1.3 │ 预习探究

[思考] (1)若 A={1,2},B={2,3},C={0,1,2,3},则 A∪B=________,B∪C=________. (2)集合 A∪B 的元素个数是否等于集合 A 与集合 B 的元素个 数和?
(1){1,2,3} {0,1,2,3} (2)解:A∪B 的元素个数小于或等于集合 A 与集合 B 的元素 个数和.

1.1.3 │ 预习探究

?

知识点二 集合的交集 交集的三种语言表示: 且 属于集合 B 的所有元 ①文字语言: 由属于集合 A________ 交集 . 素组成的集合,称为集合 A 与 B 的________ {x|x∈A 且 x∈B} ②符号语言:A∩B=______________. ③图形语言:如图 113 所示.

图 113

1.1.3 │ 预习探究

[思考] (1)若 A={一次函数}, B={二次函数}, 则 A∩B =________ ? . (2) 若 A = { 五边形 } , B = { 正五边形 } ,则 A∩B = {正五边形 }. ________

1.1.3 │ 预习探究

? 知识点三 集合的并集、交集的常用运算性质 A∪A=____ A ;A∪B____ A ;A∪?=____ = B∪A; (A∪B)∪C____ ? A; = A∪(B∪C);A∪B____ A∪B=A?B____ ? A;A∩B=A?A?B; A∩B=A∪B?A=B.

1.1.3 │ 备课素材 备课素材
1.对并集的理解: (1)对“或”的理解:“x∈A 或 x∈B”包含三种情况:x∈A 但 x? B;x?A 但 x∈B;x∈A 且 x∈B.维恩图表示如下:

(2)对“所有”的理解:不能简单地认为 A∪B 是由 A 的所有元 素和 B 的所有元素简单拼凑构成的集合,还应注意,元素的互异 性,相同的元素只算一次.

1.1.3 │ 备课素材
2.对交集的理解: (1)并不是任何两个集合都有公共元素,当两个集合 A 与 B 没有公共元素时,A∩B=?; (2)对“所有”的理解: 不仅 A∩B 中的所有元素都是 A 和 B 的公共元素,同时,A 和 B 的公共元素都属于 A∩B. (3)集合 A 与 B 的交集的三种情况用维恩图表示如下:

1.1.3 │ 考点类析 考点类析
? 考点一 并集及其运算

例 1 (1)已知集合 A={0,1,2},B={1,2,3,4},则 A ∪B=________. (2)设集合 A={钝角三角形},B={锐角三角形},则 A∪B= ________________. (3)设集合 A={m|m-2>0},B={m|-1≤m<5},则 A∪B= ________.

1.1.3 │ 考点类析

(1){0,1,2,3,4} (2){x|x 是钝角三角形或锐角三角形} (3){m|m≥-1} [解析] (1)A∪B={0,1,2}∪{1,2,3,4}={0,1,2,3, 4}.

(2)A∪B 的元素是钝角三角形或锐角三角形,即 A∪B={x|x 是钝角三角形或锐角三角形}. (3)A={m|m-2>0}={m|m>2},将集合 A,B 表示在数轴上, 如图所示,由图可知 A∪B={m|m≥-1}.

1.1.3 │ 考点类析

?

考点二

交集及其运算

[导入] 已知集合 A={x∈R|0<x<10},B={0 到 11 之间的偶 数},怎样求 A∩B?

解:先用列举法将集合 B 表示出来,明确集合中的元素, 再找出公共元素.

1.1.3 │ 考点类析

例2 求 A∩B.

已知集合 A={x∈R|3x+2>0},B={x|x<-1 或 x>3},

? ? 2? 2 解:由 3x+2>0,得 x>- ,所以 A=?x?x>-3?. 3 ? ? ? 又 B={x|x<-1 或 x>3}, 因此, 结合数轴可知, A∩B={x|x>3}.

1.1.3 │ 考点类析

【变式】(1)设集合 A={x|x∈N,x≤4},B={x|x∈N,x>1}, 则 A∩B=________. (2)集合 A={x|x≥2 或-2<x≤0}, B={x|0<x≤2 或 x≥5}, 则 A∩B =________.

(1){2,3,4} (2){x|x≥5 或 x=2} [解析] (1)因为 A={x|x∈ N,x≤4}={0,1,2,3,4},B={x|x∈N,x>1},所以 A∩B={2, 3,4}. (2)易知 A∩B={x|x≥5 或 x=2}.

1.1.3 │ 考点类析

[小结] (1)两个集合求交集,结果还是一个集合,而且是由 集合 A 与 B 的公共元素组成的集合, 当两个集合没有公共元素时, 两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集. (2)求两个集合交集的一般方法: ①明确集合中的元素; ②元 素个数有限时,利用定义或维恩图求解,元素个数无限时,借助 数轴求解;③当所给集合中有一个不确定时,要注意分类讨论, 分类的标准取决于已知集合.

1.1.3 │ 考点类析

【拓展】设集合 A={x|-1<x≤1},集合 B={x|0<x-a<3,a ∈R}.如果 A∩B=?,求实数 a 的取值范围.

解: 因为 A={x|-1<x≤1}, B={x|0<x-a<3, a∈R}, 且 A∩B =?, 所以 a+3≤-1 或 a≥1,所以 a 的取值范围是 a≤-4 或 a≥1.

1.1.3 │ 考点类析

?

考点三

并集、交集的性质

[ 导 入 ] (1) 若 A ∪ {1 , 2} = {1 , 2} , 则 集 合 A 可 以 是 ?,{1},{2},{1,2} _____________________________ . (2) 若 A∩{0 , 1} = A , 则 集 合 A 可 以 是 ?,{0},{1},{0,1} _________________________ .

1.1.3 │ 考点类析
例 3 (1)若 A={x|x2-2x-3=0}, B={x|ax-2=0}, 且 A∩B =B,则由实数 a 组成的集合 C=________. (2)已知 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},若 A∪B=A,则实数 a 的值为________.
? 2? (1)?-2,0,3? ? ?

(2)2 或 3

[解析] (1)由 A={x|x2-2x-3=

0},得 A={-1,3}.因为 A∩B=B,所以 B?A.当 B≠?时,有 B ={-1}或 B={3}. 当 B={-1}时,由 a× (-1)-2=0,得 a=-2;当 B={3} 2 时,由 a× 3-2=0,得 a= . 3 当 B=?时, 方程 ax-2=0 无解, 得 a=0.故由实数 a 组成的 ? 2? 集合 C=?-2,0,3?. ? ?

1.1.3 │ 考点类析

(2)因为 A={1,2},A∪B=A,所以 B?A,所以 B=?或 B ={1}或 B={2}或 B={1,2}. ? ?Δ =0, ? 当 B=?时, Δ<0, a 不存在; 当 B={1}时, ? ?1-a+a-1=0, 得 a=2; ? ?Δ =0, 当 B={2}时,? a 不存在;当 B={1,2} ? ?4-2a+a-1=0, ? ?1+2=a, 时,? 得 a=3. ? 2=a-1, ?1× 综上所述,a=2 或 a=3.

1.1.3 │ 考点类析
【变式】已知集合 A={x|2a≤x≤a+1},B={x|-2≤x≤3}, 若 A∩B=A,求实数 a 的取值范围.

解:因为 A∩B=A,所以 A?B.

当 A=?时,2a>a+1,即 a>1,满足 A?B. 当 A≠?时,2a≤a+1,即 a≤1 时,由图可知, ? ?2a≥-2, ? 解得-1≤a≤2.又 a≤1,所以-1≤a≤1. ? ?a+1≤3, 综上知,实数 a 的取值范围是{a|a≥-1}.

1.1.3 │ 考点类析
[小结] (1)在利用集合的交集、并集性质解题时,常常会遇 到 A∩B=A,A∪B=B 这类问题,解答时常借助于交、并集的 定义及上节学习的集合间的关系去分析,如 A∩B=A?A?B,A ∪B=B?A?B 等,解答时应灵活处理. (2)当集合 B?A 时, 如果集合 A 是一个确定的集合, 而集合 B 不确定,运算时要考虑 B=?的情况,切不可漏掉.

1.1.3 │ 考点类析
【拓展】设 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1 =0}.若 A∩B=B,求 a 的取值范围.

1.1.3 │ 考点类析

解:由已知得 A={-4,0},又 A∩B=B,所以 B?A,则 B =?或{-4}或{0}或{-4,0}. ①若 B=?,则 Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8(a+1)<0,得 a< -1. ②若 B={-4},则方程 x2+2(a+1)x+a2-1=0 有两个相 等的实根 x1=x2=-4, 2 ? (-4)+a2-1=0, ?(-4) +2(a+1)· 所以? 方程组 ? ?Δ=8(a+1)=0, 无解.

1.1.3 │ 考点类析

③若

2 ? ?a -1=0, B={0},则? 得 ? ?Δ=8(a+1)=0,

a=-1.

?-2(a+1)=-4, ? 2 ④若 B={-4,0},则?a -1=0, 解得 a=1. ?Δ=8(a+1)>0, ? 综上可知,a=1 或 a≤-1.

1.1.3 │ 备课素材 备课素材
1.求集合的并集、交集的一般方法: (1)当集合中的元素有限时,可根据并集、交集的定义或维恩图 表示集合运算的结果,但一定要注意集合中元素的互异性. (2)与不等式有关的集合的并集、交集的运算,利用数轴分析法 直观清晰,易于理解.建立不等式时,要特别注意端点值是否能 取到,最好是把端点值代入题目验证. [例] 已知集合A={x|(x-1)(x+2)=0},B={x|(x+2)(x-3)=0}, 则集合A∪B,A∩B分别是________.
[答案] {-2,1,3},{-2} [解析] A={1,-2},B={-2,3},所以 A∪B={-2,1,3}, A∩B={-2}.

1.1.3 │ 备课素材

2.利用并集、交集的性质解题的方法与注意 点:(1)利用集合的并集、交集的性质解题时, 常常遇到 A∪B=B,A∩B=A 等问题,解答时 常借助于并集、交集的定义及集合间的关系去分析,如 A∩B =A?A?B,A∪B=B?A?B. (2)注意点:当集合 A?B 时,若集合 A 不确定,运算时要考 虑 A=?的情况,否则易漏解.

1.1.3 │ 备课素材

[例] 已知集合 A={x|-2≤x≤5}, B={x|2a≤x≤a+3}, 若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围. 解:因为 A∪B=A,所以 B?A. 若 B=?时,2a>a+3,即 a>3; ?2a≥-2, ? 若 B≠?时,?a+3≤5, ?2a≤a+3, ? 解得-1≤a≤2, 综上所述,a 的取值范围是{a|-1≤a≤2 或 a>3}.

1.1.3 │ 当堂自测 当堂自测
1.设集合 A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4}, 则(A∩B)∪C 等于( ) A.{1,2,3} B.{1,2,4} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4}

D [解析] 因为 A={1,2},B={1,2,3},所以 A∩B ={1,2},所以(A∩B)∪C={1,2}∪{2,3,4}={1,2,3, 4}.

1.1.3 │ 当堂自测

2. 满足条件 M∪{0}={-1, 0, 1}的集合 M 的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4

)

B [解析] 由已知得 M={-1,1}或 M={-1,0,1},共 2 个.

1.1.3 │ 当堂自测

3.若集合 A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-1 或 x>4},则 A∩B= ________.

{x|-2≤x<-1}

[解析] 如图所示,A∩B={x|-2≤x<-1}.

1.1.3 │ 当堂自测

4.若集合 A,B,C 满足 A∩B=A,B∪C=C,则 A 与 C 之 间的关系是________.

A?C [解析] 因为 A∩B=A,所以 A?B.
因为 B∪C=C,所以 B?C,所以 A?C.

1.1.3 │ 备课素材 备课素材
本节课小结 知识

方法

易错

1.求两个集合的并集、交集 1.集合的并集及其 的方法:定义法、数形结合 1.求两集合并集、交集时, 运算 法(维恩图或数轴表示集合) 忽视空集致误 2 .集合的交集及 2 .求两个集合的并集、交 2.分类讨论不当致误 其运算 集的分类讨论思想 下节课预习问题: 1.全集和补集的概念; 2.求给定集合的补集.

第2课时 集合的全集、补集

1.1.3 │ 三维目标 三维目标
1.知识与技能 理解全集和补集的含义,会求给定集合的补集;能够使用维恩 图表达两个集合的运算,体会直观图像对抽象概念理解的作 用. 2.过程与方法 进一步体会类比的作用,树立数形结合的思想. 3.情感、态度与价值观 感受集合作为一种语言,在表示数学内容时的简捷和准确,进 一步提高类比的能力.

1.1.3 │ 重点难点 重点难点
[重点] 全集与补集的含义. [难点] 理解全集与补集的概念,符号之间的区别与联系.

1.1.3│ 教学建议 教学建议
对于全集的教学,建议讲解时突出强调全集是相对于 研究的问题而言的,如我们只在整数范围内研究问题则 Z 为全集,而当问题扩展到实数集时,则 R 为全集. 对于补集的教学,建议讲解时:(1)充分利用维恩图的 直观性引入概念,讲清概念的含义.(2)语言表述要确切无 误. 补集是一个相对概念, 说补集时一定会有全集出现. “? UA 是 A 在全集 U 中的补集”,不能把它简单地说成?UA 是 A 的补集.

1.1.3 │ 新课导入 新课导入
[导入一] 给出集合U={x|0≤x≤10,x∈Z},M={0,2,4,6,8}, N = {1 , 3 , 5 , 7} ,则由 U 中的元素但不是 M 中的元素组成的 集合M1=________,由U中的元素但不是N中的元素组成的集 合N1=________.

1.1.3 │ 新课导入
[导入二] 已知集合I={整数},A={偶数},B={奇数},若用集合I 和集合 A 及其关系来描述集合 B ,怎样的描述比较好呢? —— 这就是这一节我们要学习的内容:全集和补集.

1.1.3 │ 预习探究 预习探究
? 知识点一 全集 (1) 定 义 : 如 果 一 个 集 合 含 有 我 们 所 研 究 问 题 中 涉 及 的 _____________ 所有元素 ,那么就称这个集合为全集. (2)记法:全集通常记作________ . U

1.1.3 │ 预习探究

[思考] (1)为了研究集合 A={1,2,3,4,5,6},B={1,2, 3},C={1,3,5}之间的关系,要从中选一个集合作为全集,这 个集合应该是________. (2)全集一定包含任何一个元素吗?若全集是数集,则一定是 实数集 R 吗? (1)A (2)解:全集仅包含我们研究问题所涉及的全部元素,而非任 何元素.我们研究的问题并不一定是实数集,也有可能为整数集、 自然数集或有理数集等.

1.1.3 │ 预习探究

?

知识点二

补集

不属于集合 A 对于一个集合 A,由全集 U 中____________ 文字语 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全 言 ?UA 集 U 的补集,记作________
符号语 言 图形语 言

x|x∈U 且 x?A} ?UA={ ______________

1.1.3 │ 预习探究

[思考] (1)?AC 与?BC 相等吗? (2)集合 A 与集合 A 在全集 U 中的补集有公共元素吗?

解:(1)不一定相等.当 A=B 时,二者相等,否则不 相等. (2)没有,A∩(?UA)=?.

1.1.3 │ 预习探究

? 知识点三 常用的运算性质 (?UA)∪A=U,(?UA)∩A=?,?UU=?,?U?=U, ?U(?UA)=________ . A

1.1.3 │ 备课素材

备课素材
1.全集并不是一个包罗万象含有任何元素的集合,它仅 含我们研究问题所涉及的所有元素,问题不同,全集也 不尽相同. 2.补集运算是集合间的一种运算,求集合A相对于全集U 的补集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的, 因此,它们是相互依存、不可分割的两个概念. 3.?UA的三层含义:①?UA是一个集合;②A是U的子集, 即A?U;③?UA是U中不属于A的所有元素组成的集合.

1.1.3 │ 考点类析 考点类析
? 考点一 补集的简单运算

例 1 (1)若全集 M={-1,0,1,2,3},N={x|x2=1,x∈ Z},则?MN=( ) A.? B.{0,2,3} C.{-1,1} D.{0,1,2,3} (2)已知全集 U={a,b,c,d,e},集合 A={b,c,d},B ={c,e},则(?UA)∪B=( ) A.{b,c,e} B.{c,d,e} C.{a,c,e} D.{a,c,d,e}

1.1.3 │ 考点类析
(3)已知全集 U,集合 A={1,3,5,7,9},?UA={2,4, 6,8},?UB={1,4,6,8,9},则集合 B=________.
(1)B (2)C (3){2,3,5,7} [解析] (1)因为 M={-1,0,1, 2,3},N={x|x2=1,x∈Z}={-1,1},根据补集的定义,得?MN ={0,2,3}. (2)由 U={a,b,c,d,e},A={b,c,d},得?UA={a,e}, 又 B={c,e},所以(?UA)∪B={a,c,e}. (3)借助图示法,如图所示,得 U={1,2,3,4,5,6,7,8, 9},因为?UB={1,4,6,8,9},所以 B={2,3,5,7}.

1.1.3 │ 考点类析

?

考点二

补集的应用

[导入] 当集合中的元素不确定时,如何处理补集问题?

解:对元素中的参数进行分类讨论,利用补集的性质将问 题转化为关于参数的不等式(或方程)求解.

1.1.3 │ 考点类析
例 2 (1)若全集 U={2,4,a2-3a+2},A={a+2,4},? UA={6},则实数 a=________. (2)已知全集 U=R,集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|a+1≤x≤2a -1},且 A??UB,求实数 a 的取值范围.

1.1.3 │ 考点类析

(1)-1 [解析] 因为?UA={6},所以 6∈U 且 6?A,所以 a2 -3a+2=6,解得 a=-1 或 a=4.当 a=4 时,A={4,6},与 6 ?A 矛盾,经检验 a=-1 满足题意,所以 a=-1. (2)解:若 B=?,则 a+1>2a-1,a<2,此时?UB=R,所以 A??UB.

若 B≠?, 则 a+1≤2a-1, 即 a≥2, 此时?UB={x|x<a+1 或 x>2a -1}. 由于 A??UB,如图,则 a+1>5,所以 a>4. 所以实数 a 的取值范围为 a<2 或 a>4.

1.1.3 │ 考点类析

【变式】(1)设 U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0}, 若?UA={1,2},则实数 m=________. (2)已知全集 U=R,A={x|x<a},B={x|1<x<2},A∪(?UB) =R,则实数 a 的取值范围是________.

(1)-3 (2)a≥2 [解析] (1)因为 U={0,1,2,3},?UA={1, 2},所以 A={0,3},所以 0,3 是方程 x2+mx=0 的两根,所以 m=-3. (2)因为 B={x|1<x<2},所以?UB={x|x≤1 或 x≥2}.因为 A∪ (?UB)=R,所以 a≥2.

1.1.3 │ 考点类析

[小结] 解答有关补集问题的关键在于合理使用补集运算的 性质,必要时对含有参数的集合进行分类讨论,转化为与之等价 的不等式(组)求解.不等式中的等号在补集中能否取到,要引起 重视,注意检验.

1.1.3 │ 考点类析

?

考点三

并集、交集、补集的综合运算

[导入] (1)求集合交、并、补运算的一般方法是怎样的? (2)求不等式解集的补集时需注意什么问题? 解:(1)当集合是无限集时,常借助数轴根据交、并、 补集的定义求解;当集合是有限集时,常用图示法或将元 素一一列举出来,再根据交、并、补集的定义求解. (2) 先解不等式,再在数轴上将不等式的解集表示出 来,取补集时,注意实虚点的变化.如 M={x|-2<x≤1}, 则?RA={x|x≤-2 或 x>1}.

1.1.3 │ 考点类析

例 3 (1)已知 M, N 为集合 I 的非空真子集, 且 M≠N, 若 N∩(?IM) =?,则 M∪N=( ) A.M B.N C.I D.? (2)设 A={x|2x2+ax+2=0},B={x|x2+3x+2a=0},A∩B ={2}. ①求 a 的值及 A,B; ②设全集 U=A∪B,求(?UA)∪(?UB); ③写出(?UA)∪(?UB)的所有子集.

1.1.3 │ 考点类析

(1) A [解析] 如图,因为 N∩(?IM)=?,所以 N?M,所以 M∪N=M.

(2)解:①因为 A∩B={2},所以 2∈A,且 2∈B,代入可求得 a=-5,所 ?1 ? 2 以 A={x|2x -5x+2=0}=?2,2?,B={x|x2+3x-10=0}={-5,2}. ? ? ? ? ?1? 1 ②由①可知 U=?-5,2,2?,所以?UA={-5},?UB=?2?, ? ? ? ? ? 1? ? ? - 5 , 所以(?UA)∪(?UB)= 2?. ? ?1? ? 1? ? ? ? ? - 5 , ③由②可知(?UA)∪(?UB)的所有子集为?,{-5}, 2 , 2?. ? ? ?

1.1.3 │ 考点类析

【变式】(1)已知全集 U={1,2,3,4,5},M={1,2}, N={2,5},

图 114 则如图 114 所示的阴影部分表示的集合是( ) A.{3,4,5} B.{1,3,4} C.{1,2,5} D.{3,4} (2)设全集 U={x|x 是三角形},A={x|x 是锐角三角形},B = {x|x 是 钝 角 三 角 形 } , 则 A∩B = ________ , ? U(A ∪ B) = __________________.

1.1.3 │ 考点类析

(1)D (2)? {x|x 是直角三角形} [解析] (1)由图可知,阴 影部分表示的集合是?U(M∪N).因为 M∪N={1,2,5},U= {1,2,3,4,5},所以?U(M∪N)={3,4}. (2)根据三角形的分类可知 A∩B=?,A∪B={x|x 是锐角三 角形或钝角三角形},所以?U(A∪B)={x|x 是直角三角形}. [小结] (1)解决与不等式有关的集合问题时,画数轴(这也是 集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观,要 注意求解时端点的值是否能取到. (2)解决集合的混合运算时,一般先运算括号内的部分,如 求(?UA)∩B 时,可先求出?UA,再求交集;求?U(A∩B)时,可先 求出 A∩B,再求补集.

1.1.3 │ 考点类析

【拓展】设全集 U={x|x≤7,x∈N},已知(?UA)∩B={1,6}, A∩(?UB)={2,3},?U(A∪B)={0,5},则集合 A=________,B =________. {2,3,4,7} {1,4,6,7} [解析] 如图所示,由图可得 A={2,3,4,7},B={1,4,6,7}.

1.1.3 │ 备课素材

备课素材
1.进行集合的交、并、补运算时应紧扣定义,适当借 助维恩图及数轴等工具. [例] 设 U=R,A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求 A∩B,A∪B,?UA,?UB,?U(A∪B),(?UA)∩(?UB). 解: A∩B={x|1<x<2}, A∪B={x|-1<x<3}, ?UA={x|x≤ -1 或 x≥2},?UB={x|x≤1 或 x≥3},?U(A∪B)={x|x≤-1 或 x≥3},(?UA)∩(?UB)={x|x≤-1 或 x≥3}.

1.1.3 │ 备课素材

2.补集思想的应用 有些数学问题, 若直接从正面解决, 或解题思路不明朗, 或需要考虑的因素太多,可用补集思想考虑其对立面,即从 结论的反面去思考,探索已知和未知之间的关系,从而化繁 为简,化难为易,开拓解题思路. [例] 已知集合 A={y|y>a2+1 或 y<a},B={y|2≤y≤4}, 若 A∩B≠?,求实数 a 的取值范围.

1.1.3 │ 备课素材

解:因为 A={y|y>a2+1 或 y<a},B={y|2≤y≤4},我们 不妨先考虑当 A∩B=?时 a 的取值范围,如图所示.

? ? ?a≤2, ?a≤2, 由? 2 得? ? ?a≥ 3或a≤- ?a +1≥4 ?

3,

故 a≤- 3或 3≤a≤2.

因此当 A∩B≠?时,a>2 或- 3<a< 3.

1.1.3 │ 当堂自测 当堂自测
1. 已知全集 U=R, 集合 A={x|1≤2x+1<9}, 则?UA=( A.{x|x<0 或 x>4} B.{x|x≤0 或 x>4} C.{x|x≤0 或 x≥4} D.{x|x<0 或 x≥4} )

D [解析] 因为 U=R,A={x|0≤x<4},所以?UA={x|x<0 或 x≥4}.

1.1.3 │ 当堂自测

2.已知集合 A={x∈R|-2<x<6},B={x∈R|x<2},则 A∪ (?RB)=( ) A.{x|x<6} B.{x|-2<x<2} C.{x|x>-2} D.{x|2≤x<6}

C [解析] 由 B={x∈R|x<2},得?RB={x|x≥2}.又 A= {x∈R|-2<x<6},所以 A∪(?RB)={x|x>-2}.

1.1.3 │ 当堂自测

3.已知全集 U={2,5,8},且?UA={2},则集合 A 的真子 集有________个.

3 [解析] 因为 U={2,5,8},?UA={2},所以 A={5, 8},故 A 的真子集为{5},{8},?,共 3 个.

1.1.3 │ 当堂自测

4.已知全集 U={x|x∈N,且 x 是不大于 20 的素数},M?U, N?U,且 M∩(?UN)={3,5},(?UM)∩N={7,19},(?UM)∩(?UN) ={2,17},则集合 M=________,N=________.
{3,5,11,13} {7,11,13,19} [解析] 用图示法表 示集合 U,M,N(如图).由图可知,M={3,5,11,13}, N={7,11,13,19}.

1.1.3 │ 备课素材

备课素材
本节课小结 知识

方法 1. 利用定义求 两个集合的交 1.全集的概念 集、 并集、 补集 2.补集的概念 2.利用维恩图 3. 补集的性质及 和数轴求两个 运算 集合的交集、 并集、补集

易错 1. 利 用 数 轴 进 行 集合运算时, 易取 错端点的值 2.在进行集合运 算时, 易忽视空集 的讨论

1.1.3 │ 备课素材

下节课预习问题: 1.函数的概念; 2.了解函数的定义域、值域、对应关系; 3.求简单函数的定义域.

1.2 函数及其表示

1.2.1 函数的概念

1.2.1 │ 三维目标 三维目标
1.知识与技能 掌握函数的概念;初步了解函数的定义域、值域、对应法 则的含义. 2.过程与方法 通过对具体问题的分析,引导学生抽象概括出函数的定义, 培养学生抽象概括的能力. 3.情感、态度与价值观 通过师生共同探索出函数的定义,总结出函数的特征,激 发学生学习数学的兴趣,培养学生刻苦钻研的精神.

1.2.1 │ 重点难点 重点难点
[重点] 函数的概念. [难点] 函数概念的理解.

1.2.1 │ 教学建议 教学建议
通过以前的学习,学生已有一定的分析、推理和概括能力, 初步具备了学习函数概念的基本能力.在学习的过程中学生主 要存在以下困惑、困难: (1)对“重新定义函数”存在困惑.我们已经定义过函数了, 为什么要重新定义函数? (2)由实例抽象概括出函数的概念时存在困难.在通过 “观 察、分析、比较、归纳、概括”得出函数的概念时,学生在任 何一个环节出了问题都可能得不出函数的概念.

1.2.1 │ 教学建议

(3)对抽象符号f(x)的理解存在困难. 针对以上三点,在本节课的教学中,以学生作为活动的主体, 让学生做课堂的主人,充分发表自己的意见.这样既有利于化 解难点、突出重点,也有利于充分发挥学生的主体作用,使课 堂气氛更加活跃,让学生在生生互动、师生互动中掌握知识, 提升能力.通过本节课的教学,希望对学生的思维品质的培养 ﹑数学思想的建立﹑心理品质的优化起到良好的作用.

1.2.1 │ 新课导入 新课导入
[导入一] 汽车以 60 千米/小时的速度匀速行驶,行驶里程为 s 千 米,行使时间为 t 小时,请同学们考虑下面的问题: 1.填写下表,再用含 t 的表达式表示 s. t(小时) 1 2 3 4 5 6 7 8 … s(千米)… 2.这一事件中有几个数值发生改变的量?有几个数值不 变的量? 3.变量与常量如何定义?

1.2.1 │ 新课导入
[导入二] 放学后骑自行车回家,在此实例中存在哪些变量?变量 之间有什么关系?回顾初中函数的定义:在一个变化过程中, 有两个变量x和y,对于x的每一个确定的值,y都有唯一的值与 之对应,此时y是x的函数,x是自变量,y是因变量,由此引出 本节内容.

1.2.1 │ 预习探究 预习探究
? 知识点一 函数的有关概念

函数的定义

非空的数集 ,如果按照某种确 设 A,B 是_____________ 定的对应关系 f,使对于集合 A 中的 ___________________ ,在集合 B 中都有 任意一个数 x ___________________ 唯一确定的数 f(x) 和它对应,那么就称 ______________ f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个 函数

1.2.1 │ 预习探究

(续表) 函数的记 法 _____________
y=f(x),x∈A

取值范围 A x 叫作自变量, x 的_______________ 定义域 叫作函数的定义域

值域

{f(x)|x∈A} 函数值的集合_________________ 叫作函数的值域

1.2.1 │ 预习探究

[思考] (1)如果值域记作 C,上述定义中,集合 B,C 有什么 关系? (2)若已知函数 y=f(x),则 f(x)与 f(a)有什么关系?

解:(1)C?B. (2)f(a)是 f(x)值域中的一个值,即 x=a 时的函数值.

1.2.1 │ 预习探究

? 知识点二 函数相等 对应关系和________ 值域 1.函数的三要素:________ . 定义域 、________ 2 . 如 果 两 个 函 数 的 定义域相同 ________ , 并 且 对应关系完全一致 __________________________ ,我们就称这两个函数相等.

1.2.1 │ 预习探究

[ 思考 ] 定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数 吗?

解:不一定.因为定义域和值域不能确定函数的对应关系.如 y =x+1 与 y=x-1, 两个函数的定义域和值域均为实数集 R, 但这 两个函数不是同一函数.

1.2.1 │ 预习探究

? 知识点三 区间表示 设 a,b 是两个实数,且 a<b,我们规定: (1)满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的集合叫作____ 闭 区间,表示 为________ [a,b] ; 开 区间,表示 (2)满足不等式 a<x<b 的实数 x 的集合叫作____ (a,b) ; 为________ (3) 满足不等式 a≤x<b 或 a<x≤b 的实数 x 的集合叫作 半开半闭 [a,b),(a,b] ________________ 区间,表示为___________________ .

1.2.1 │ 预习探究

?

知识点四

常见函数的值域

R 1.一次函数 y=kx+b(k≠0)的值域为________ .

2.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0).
2? ? ? ? ? 4 ac - b ? ?y y≥ ? ? ? ? ? ; 4a ? 当________ 时,值域为______________ ? a>0
2? ? ? ? ? 4 ac - b ?y? ? y ≤ ? ? 4a ? a<0 时,值域为______________ 当________ ? ? ?.

k (-∞,0)∪(0,+∞) . 3.反比例函数 y=x(k≠0)的值域为____________________

1.2.1 │ 备课素材 备课素材

1.对函数概念的理解:函数的定义域、值域、对应关系 三者缺一不可,f(x)的含义:f(x)是一个符号,不是f与x的 乘积,其中“f”表示对应关系. 2.对区间的认识:(1)区间实际上是一类特殊的数集(连续 的)的符号表示,是集合的另一种表达形式;(2)在用区间 表示集合时,开和闭不能混淆,能取到端点值用“闭”, 不能取到端点值用“开”,用“∞”作为区间端点时,要 用开区间符号.

1.2.1 │ 考点类析 考点类析
? 考点一 函数概念的理解 例 1 (1)下列对应关系式中是 A 到 B 的函数的是( A.A?R,B?R,x2+y2=1 B.A={-1,0,1},B={1,2},f:x→y=|x|+1 1 C.A=R,B=R,f:x→y= x-2 D.A=Z,B=Z,f:x→y= 2x-1

)

1.2.1 │ 考点类析

(2)下列等式中不能表示为函数 y=f(x)的是( ) A.x(y-1)=1 B.x3-1+2y=0 C.x-3y=1 D.x2-y2=1 (3)下列函数中与函数 y=x 相等的是________. 2 x 3 ①y=( x)2;②y= x3;③y= x2;④y= x .

1.2.1 │ 考点类析

(1)B (2)D (3)② [解析] (1)对于 A,x2+y2=1 可化为 y =± 1-x2, 显然对任意 x∈A, y 值不唯一, 故不符合; 对于 B, 符合函数的定义;对于 C,2∈A,但在集合 B 中找不到与之相 对应的数,故不符合;对于 D,-1∈A,但在集合 B 中找不到 与之相对应的数,故不符合. (2)选项 D 中,由 x2-y2=1 得 y=± x2-1,当 x>1 或 x<- 1 时,任意一个 x 对应两个 y 值,所以 x2-y2=1 不能表示为函 数 y=f(x).其余三个都可以表示为函数 y=f(x).故选 D. (3)①y=( x)2=x(x≥0),y≥0,定义域不同且值域不同,所以 两函数不相等;

1.2.1 │ 考点类析

3 ②y= x3=x(x∈R),y∈R,对应关系相同,定义域和值域 都相同,所以相等; ③y= x x<0 时, 它的对应关系与函数 y=x 的对应关系不相同,所以不相等;④y 2 x = x 的定义域为{x|x≠0},与函数 y=x 的定义域不相同,所以不 相等.
2

? ?x,x≥0, =|x|=? y≥0,值域不同,且当 ? ?-x,x<0,

1.2.1 │ 考点类析

?

考点二

函数的定义域

[导入] (1)对于一个函数,其自变量的取值有没有什么限制或 要求? (2)在初中已学过函数的定义域和值域,请同学们回忆一次函 数和二次函数以及反比例函数的定义域.

解: (1)对于一个函数, 自变量的取值应使函数有意义, 例如, f(x)= x的自变量 x 应满足 x≥0, 实际问题中的函数, 其自变量还应使实际问题有意义. (2)一次函数 f(x)=ax+b(a≠0)的定义域是 R, 二次函数 k 2 f(x)=ax +bx+c(a≠0)的定义域是 R,反比例函数 f(x)=x (k≠0)的定义域是{x|x≠0}.

1.2.1 │ 考点类析

例 2

(x+1)2 (1) 函 数 y = - x +1

1-x 的 定 义 域 是

______________________________________________. x +1 (2) 函 数 y = 的 定 义 域 |x|-x _______________________________________________.



1.2.1 │ 考点类析

(1){x|x≤1 且 x≠-1}

(2){x|x<0}

[解析 ] (1) 要使函数有意 且

? ?x+1≠0, ? ?x≠-1, 义,需满足? 即? 所以函数的定义域为{x|x≤1 ? ? ?1-x≥0, ?x≤1,

x≠-1}. (2)要使函数有意义,必须满足|x|-x≠0,即|x|≠x,所以 x<0, 所以函数的定义域为{x|x<0}.

1.2.1 │ 考点类析

【变式】(1)函数 f(x)= x-1· 4-x+3 的定义域是( ) A.{x|1<x<4} B.{x|1<x≤4} C.{x|1≤x≤4} D.{x|1≤x<4} 1 (2)若 f(x)= x 的定义域为 M,g(x)=|x|的定义域为 N,令 全集 U=R,则 M∩N=( A.M B.N C.?UM D.?UN )

1.2.1 │ 考点类析

(1)C

(2)A

[解析]

? ?x-1≥0, (1)要使函数有意义,需满足? ? ?4-x≥0,

解得 1≤x≤4,所以函数 f(x)的定义域为{x|1≤x≤4}. (2)函数 f(x)= 1 x 的定义域为 M={x|x>0},函数 g(x)=|x|

的定义域为 N=R,所以 M∩N={x|x>0}=M.

1.2.1 │ 考点类析

[小结] (1)求函数的定义域,其实质是以能使函数的表达式 所含运算有意义为准则,其原则有:①分式中分母不为零;② 偶次根式中,被开方数非负;③对于 y=x0 要求 x≠0;④实际问 题中函数定义域,要考虑实际意义. (2)如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商 的形式构成时, 定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合. (3)函数的定义域一定要用集合或区间的形式表示.

1.2.1 │ 考点类析
【拓展】(1)已知函数 f(x)的定义域为(0,1),则 f(x2)的定义 域是________________. (2)已知函数 f(2x+1)的定义域为(0,1),则 f(x)的定义域是 ________.

(1){x|-1<x<0 或 0<x<1} (2){x|1<x<3} [解析] (1)因为 f(x) 的定义域为(0, 1), 所以要使 f(x2)有意义, 需使 0<x2<1, 即-1<x<0 或 0<x<1,所以函数 f(x2)的定义域为{x|-1<x<0 或 0<x<1}. (2)因为 f(2x+1)的定义域为(0,1),即其中的函数自变量 x 的取值范围是 0<x<1,令 t=2x+1,所以 1<t<3,所以 f(t)的定义 域为{t|1<t<3},所以函数 f(x)的定义域为{x|1<x<3}.

1.2.1 │ 考点类析

?

考点三

求函数值与简单函数的值域

[导入] (1)对于函数 f(x),f(a)(a 为定义域内的一个常数)与 f(x) 是什么关系?怎样求 f(a)? (2)请同学们回忆一下,在初中我们是怎样求二次函数的最大 值和最小值的.

解:(1)f(a)是函数 f(x)当 x=a 时的函数值,只需将 x =a 代入 f(x)即可求得 f(a). (2)对于二次函数,我们可以用顶点坐标法、图像法求 出二次函数的最大值和最小值.

1.2.1 │ 考点类析

例 3 (1)已知函数 f(x)=3x2-2x-1,则 f(-2)=________, f(m-1)=________,f[f(-1)]=________. (2) ① 函 数 y = x2+16 的 值 域 为 ______________________________________. ② 函 数 y = - x2 + 2x - 2 的 值 域 为 _______________________________.

1.2.1 │ 考点类析

(1)15 3m2-8m+4 39 (2)①{y|y≥4} ②{y|y≤-1} [解析] (1)f(-2)=3× (-2)2-2× (-2)-1=15, f(m-1)=3(m-1)2-2(m-1)-1=3m2-8m+4. 因为 f(-1)=3× (-1)2-2× (-1)-1=4,所以 f[f(-1)]=f(4) =3× 42-2×4-1=39. (2)①因为 x2≥0,所以 x2+16≥16,所以 x2+16≥4,所以函 数 y= x2+16的值域为{y|y≥4}.②y=-x2+2x-2=-(x-1)2- 1,因为-(x-1)2≤0,所以 y≤-1,所以函数 y=-x2+2x-2 的值域为{y|y≤-1}.

1.2.1 │ 考点类析

1 【变式】(1)已知 f(x)= (x∈R,且 x≠-1),g(x)=x2+ 1+x 2(x∈R), 则 f(3)=________; g(3)=________; f[g(3)]=________; f[g(x)]=________. 1 (2)函数 y=1+x 的值域是________; 函数 y=x2+4x 的值域 是________.

1.2.1 │ 考点类析
1 (1) 4 (1)f(3) = 1 12 1 x2+3

11

(2){y|y≠1}

{y|y≥ - 4}

[解析]

1 1 1 = , g(3) = 32 + 2 = 11 , f[g(3)] = = 4 1+3 1+g(3)

1 1 1 1 1 = ,f[g(x)]= = = . 1+32+2 12 1+g(x) 1+x2+2 x2+3 1 1 1 (2)因为x ≠0,所以 y=1+x ≠1,所以函数 y=1+x 的值域 为{y|y≠1}.y=x2+4x=(x+2)2-4,因为(x+2)2≥0,所以 y≥ -4,所以函数 y=x2+4x 的值域为{y|y≥-4}.

1.2.1 │ 考点类析

[小结] (1)函数值的求法及注意事项: ①已知 f(x)的表达式时,只需用 a 替换表达式中的 x 即得 f(a) 的值; ②求 f[g(a)]的值应遵循由里往外的原则; ③用来替换表达式中 x 的数 a 必须是函数定义域内的值,否 则函数无意义. (2)简单函数的值域的求法:目前我们学过的函数主要有一次 函数、二次函数、反比例函数,一次函数的值域为 R,二次函数 的值域可用公式法、配方法或图像法求得,反比例函数的值域可 用图像法求得.注意:在求值域时,一定要考虑定义域,如求 y =x2-2x(-1≤x<2)的值域时,公式法就不可用,要根据定义域结 合图像求解.

1.2.1 │ 备课素材 备课素材
1.关于函数的概念 (1)函数的本质:函数是两个非空数集间的一种确定 的对应关系.由于函数的定义域和对应关系一经确定,值 域随之确定, 所以判断两个函数是否相等只需两个函数的 定义域和对应关系一样即可. (2)在 y=f(x)中 f 表示对应关系, 不同的函数其含义不 一样;f(x)不一定是解析式,有时可能是“表格”“图像”.

1.2.1 │ 备课素材

[例]

下列四个图像中是函数图像的是(

)

A.(1) C.(1)(2)(3)

B.(1)(3)(4) D.(3)(4)

[答案] B [解析] 由任意一个变量 x 仅有一个 f(x)与之对应得,(2)不是函 数图像.

1.2.1 │ 备课素材

2. 求函数定义域的原理: 使函数表达式有意义的自变量 的取值范围. 已知函数 y=f(x): (1)若 f(x)为整式,则定义域为 R; (2)若 f(x)为分式,则定义域是使分母不为零的实数的集 合; (3)若 f(x)是偶次根式,那么函数的定义域是根号内的式 子不小于零的实数的集合;

1.2.1 │ 备课素材

(4)若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的 定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合 ( 即使每个部 分有意义的实数的集合的交集); (5)若 f(x)是由实际问题列出的,那么函数的定义域是使 解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合. 3.求解函数问题,要保持定义域优先的原则.化简函数 的解析式容易引起函数的定义域发生变化,因此对函数式的 化简必须是等价变形.

1.2.1 │ 备课素材

2 [例] 函数 y=-x (x∈[2,5])的值域是________.
2 [答案] -1,-5 2 [解析] 作出函数 y=-x (x∈[2,5])的图像(图略), 2 注意定义域的作用,可知,y∈-1,-5.所以函数的值 2 域是-1,- . 5

1.2.1 │ 当堂自测

当堂自测
1.设 M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图像, 其中能表示从集合 M 到 N 的函数关系的有( )

图 121 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

C[解析] 由函数的定义, M 中任意一个 x, 在 N 中都有唯一 的 y 与之对应,故(1)(2)(4)正确.

1.2.1 │ 当堂自测

2.设 f:x→x2 是集合 A 到集合 B 的函数,若集合 B={1}, 则集合 A 不可能是( ) A.{1} B.{-1} C.{-1,1} D.{-1,0}
D [解析] 由函数的定义可知,x=0 时,集合 B 中没有元素 与之对应,所以集合 A 不可能是{-1,0}.

1.2.1 │ 当堂自测
3.下列各组函数中,表示同一个函数的是( x 2 -1 A.y=x-1 和 y= x+1 B.y=x0 和 y=1 C.f(x)=x2 和 g(x)=(x+1)2 ( x)2 x D.f(x)= x 和 g(x)= ( x)2 )

D [解析] A 中的函数定义域不同; B 中 y=x0 的 x 不能取 0; C 中两函数的对应关系不同,故选 D.

1.2.1 │ 当堂自测

3 4.函数 y= x+2- 2 的定义域是________. x -x-6

(-2,3)∪(3,+∞)

[解析] 要使函数有意义,x 必须满足 x>-2 且 x≠3,所以函数的定

? ? ?x+2≥0, ?x≥-2, ? 2 即? 即 ? ? x - x - 6≠0 , x ≠ - 2 且 x ≠3 , ? ?

义域为(-2,3)∪(3,+∞).

1.2.1 │ 备课素材 备课素材
本节课小结 知识 易错 1.由于对函数概念 1. 利用函数的概念判 了解不透,导致错 1. 函数的概念:函数 断两个函数是否相等 误判断一个表达 的三要素,定义域和 2.根据根式、分式、 式( 或图像)是否为 对应关系是关键 整式的性质求函数的 函数 2.函数相等的条件 定义域 2 .求函数定义域 3. 求函数的定义域和 3. 根据一次函数、 二 或值域时,忘记将 简单函数的值域 次函数、反比例函数 结果表示为区间 求函数的值域 方法

1.2.1 │ 备课素材

下节课预习问题: 1.函数的三种表示法; 2.函数表示法之间的转化; 3.分段函数的概念.

1.2.2 函数的表示法

1.2.2 │ 三维目标 三维目标
1.知识与技能 掌握函数的三种表示方法,明确每种方法的特点,尤其是解析 法;通过学习函数的三种表示法及其之间的相互转化,提升对 函数概念的理解;认识分段函数,并会初步应用,了解映射的 概念. 2.过程与方法 通过丰富的实例进一步体会函数是描述变量与变量之间的依赖 关系的重要的数学模型,体会对应关系在刻画函数概念中的作 用;在实际情景中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函 数;通过具体的实例,了解简单的分段函数.

1.2.2 │ 三维目标

3.情感、态度与价值观 从学生熟知的实际问题入手,能使学生积极参与数学学习活动, 对数学有好奇心和求知欲;把数学和实际问题相联系,使学生 初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用; 通过学生之间互相交流合作,让学生学会与人合作,并能与他 人交流思想,培养合作意识.

1.2.2 │ 重点难点 重点难点
[重点] 函数的三种表示方法,分段函数和映射的概念. [难点] 分段函数的表示及其图像,映射概念的理解.

1.2.2 │ 教学建议 教学建议
课本从引进函数概念开始就注重函数的不同表示方法:解 析法,图像法,列表法. 在研究函数时,要充分发挥图像的直 观作用,同时要注意代数刻画,以求思考和表述的精确性.这 样,学生通过函数的学习就能更好地体会数形结合这种重要的 数学思想方法.课本将映射作为函数的一种推广,这与传统的 处理方式有了逻辑顺序上的变化.这样处理,主要是想较好地 衔接初中的学习,让学生将更多的精力集中在理解函数的概念, 同时,也体现了从特殊到一般的思维过程.

1.2.2 │ 教学建议

在具体教学中,可以考虑以下方法:①问题解决法,让学 生主动的参与,在实践中得到知识和体验,培养学生将课堂教 学和自己的行动结合起来的能力,引导学生全面的看待问题, 发展思辨能力,激发学生的学习兴趣.②集体讨论法,针对学 生提出的问题,组织学生进行集体和分组讨论,促使学生的独 立探索性得到充分的发挥,培养学生的团结协作精神.

1.2.2 │ 新课导入

新课导入
[导入一] 下表列出的是正方形面积变化情况,回答下列问题: 边长 1. 2. 1 2 3 x(m) 5 5 面积 2. 6. 1 4 9 2 y(m ) 25 25 (1)这份表格表示的是函数关系吗? (2)当 x 在(0,+∞)上变化时,面积怎么表示? 在研究函数的过程中,采用不同的方法表示函数,可以 帮助我们从不同的角度理解函数的性质,同时也是研究函数 的重要手段.——这是我们这一节课要学习的内容.

1.2.2 │ 新课导入

[导入二] 请同学们回忆一下初中学过的函数有哪些常用的表 示法?

1.2.2 │ 预习探究 预习探究
? 知识点一 函数的三种表示方法 表示 定义 法 数学表达式 表示两个变量 解析 用______________ 法 之间的对应关系 图像 表示两个变量之间的 图像 用________ 法 对应关系 列表 列出________ 表格 来表示两个变量之 法 间的对应关系

1.2.2 │ 预习探究

[思考] (1)任何一个函数都可以用解析法、列表法、图像法三 种形式表示吗? (2)判断一个图形是不是函数图像的关键是什么?

解:(1)不一定.如函数的对应关系是:当 x 为有理数时,函 数值等于 1,当 x 为无理数时,函数值等于 0.此函数就无法用图像 法表示. (2)判断一个图形是不是函数图像,关键是分析定义域中的任 意一个自变量是否有唯一的一个函数值与之对应.

1.2.2 │ 预习探究

?

知识点二 分段函数 对 于 一 个 函 数 来 说 , 对 应 关 系 由几个解析式共同组成 ,它的图像由几条曲线共同 __________________________ ______________ 组 成,这样的函数我们称为“分段函数”.

1.2.2 │ 预习探究

[思考] 分段函数的对应关系不同, 那么分段函数是由几个 不同的函数构成的吗?

解:不是.分段函数的定义域只有一个,只不过在定义域的 不同区间上对应关系不同,所以分段函数是一个函数.

1.2.2 │ 预习探究

? 知识点三 映射的概念 设 A,B 是两个____________ 非空的集合 ,如果按某一个确定的对应 任意一个 元素 x,在集合 B 中 关系 f,使对于集合 A 中的____________ 都有__________ 唯一确定 的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A→B A 到集合 B 的一个映射. 为从集合 ________________

1.2.2 │ 预习探究

[思考] (1)从映射 f:A→B 的角度理解函数,A 就是 ________,函数的值域 C________B. (2)映射一定是函数吗?

(1) 定义域 ? [ 解析 ] A 就是函数的定义域,函数的值域 C?B. (2)解:映射是函数的推广,而函数是映射的特殊情况.函数 是非空数集 A 到非空数集 B 的映射,对映射而言,A,B 不一定 是非空数集,所以映射不一定是函数,函数一定是映射.

1.2.2 │ 备课素材 备课素材
1.函数三种表示法的比较 优点 缺点 函数关系清楚,容易由自变 不直观,涉及具体自 量的值求出其对应的函数 解析法 变量所对的函数值时 值,便于用解析式研究函数 还要进行计算 的性质 变化规律不明显,不 不计算就可得出当自变量取 能或不太好推出取任 列表法 某些值时函数的对应值 意一个自变量时的函 数值 能直观形象地表示出函数的 自变量所对的函数值 图像法 变化情况 不能准确地得出

1.2.2 │ 备课素材

函数的三种表示法互相兼容和补充,许多函数是可以用三种方法表示的, 但在实际操作中,仍以解析法为主. 2.分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集,其值域是各段上“值 域”的并集.

1.2.2 │ 考点类析 考点类析
? 考点一 函数的图像
|x| 例 1 (1)函数 y= x +x 的图像是( )

图 122 (2)作出函数 y=x2-2x-2(0≤x≤3)的图像并求其值域.

1.2.2 │ 考点类析

(1)D [解析] 函数的定义域为{x|x≠0},可排除 C;当 x=1 时, y=2,可排除 B;当 x=-1 时,y=-2,可排除 A.故选 D.

(2)解:y=x2-2x-2 是一元二次函数,定义域为{x|0≤x≤3}, 所以该函数图像为抛物线的一部分.先画出 y=x2-2x-2 的图像, 再截取需要的部分,如图所示. 由图可知,函数的最小值在顶点处取得,此时 x=1,最大值在 x=3 处取得, 当 x=1 时, y=-3; 当 x=3 时, y=1.所以函数的值域为[- 3,1].

1.2.2 │ 考点类析

【变式】作出下列函数的图像: (1)y=x+1(x∈Z);(2)y=x2-2x(x∈(-1,2]).

解:(1)该函数的图像由一些点组成,这些点都在直线 y=x +1 上,如图(1)所示.

(2)因为 x∈(-1,2],所以这个函数的图像是抛物线 y=x2- 2x 介于-1<x≤2 之间的一部分,如图(2)所示.

1.2.2 │ 考点类析

[小结] 作函数图像的三个步骤: (1)列表:取有代表性的 x 的值,分别求出对应的 f(x)的值, 列成表格. (2)描点: 把表格中的一系列点(x, f(x))在坐标平面上描出来. (3)连线:用平滑的曲线将这些点自左至右连接起来,得到 函数的图像.

1.2.2 │ 考点类析

【拓展】 如图 123 所示, 函数 y=ax2+bx+c 与 y=ax+b(a≠0) 的图像可能是________(填序号).

图 123

1.2.2 │ 考点类析

④ [解析] ①由抛物线的对称轴是 y 轴可知 b=0,而此时 直线应该过原点,故①不可能;②由抛物线图像可知,a>0,- b y 轴负半轴相交,故②不可 2a>0,所以 b<0,而此时直线应该与 b 能;③由抛物线图像可知,a<0,-2a>0,所以 b>0,而此时直 线应该与 y 轴正半轴相交,故③不可能,由此可知④可能是两个 函数的图像.

1.2.2 │ 考点类析

?

考点二

函数解析式的求法

[导入] (1)对于一次函数和二次函数,在一定条件下,如何求 函数的解析式? (2)若 f(x-1)=x,则 f(x)=________;f(x+1)=________.

(1)解: 通常利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析 式. (2)x+1 x+2 [解析] 用换元法可得 f(x)=x+1,f(x +1)=x+2.

1.2.2 │ 考点类析

例 2 (1)已知 f(x)是一次函数,且 f[f(x)]=4x+3,则 f(x)的解 析式为( ) A.f(x)=-2x-3 B.f(x)=2x+1 C.f(x)=2x+3 D.f(x)=-2x-3 或 f(x)=2x+1 (2)求下列函数的解析式: ①已知 f(x)=x2+2x,求 f(2x-1). ②已知 f( x-1)=x+2 x,求 f(x). ③ 设 f(x) 是 定 义 在 区 间 (1 , + ∞) 上 的函 数 , 且 有 f(x) =

1.2.2 │ 考点类析
(1)D [解析] 设 f(x)=ax+b,则 f[f(x)]=f(ax+b)=a(ax+b) +b=a2x+ab+b=4x+3, 所以 a2=4 且 ab+b=3, 解得 a=-2, b=-3 或 a=2,b=1. 故 f(x)=-2x-3 或 f(x)=2x+1. (2)解:①易知 f(2x-1)=(2x-1)2+2(2x-1)=4x2-1. ②令 t= x-1,t≥-1,则 x=t+1,所以 f(t)=(t+1)2+2(t +1)=t2+4t+3. 故 f(x)=x2+4x+3(x≥-1). 1 1 1 1 ③f(x)=2 xfx -1,用x 代替 x,得 fx =2 x f(x)-1. 1 2 1 消去 f x,得 f(x)=4f(x)-2 x-1,所以 f(x)=3 x+3. 2 1 又因为 x∈(1,+∞),所以 f(x)= x+ ,x∈(1,+∞).

1.2.2 │ 考点类析

(

【变式】(1)已知 f(x)+3f(-x)=2x+1,则 f(x)的解析式是 ) 1 1 A.f(x)=x+4 B.f(x)=-2x+4 1 C.f(x)=-x+4 1 D.f(x)=-x+2 )

1-x2 (2)若 g(x)=1-2x,f[g(x)]= x2 ,则 f(x)=( 4 A. 2+1 (1-x) 4 B. 2-1 (1-x)

4 2 C. D. -1 (1-x)2 (1-x)2

1.2.2 │ 考点类析

(1)C (2)B [解析] (1)因为 f(x)+3f(-x)=2x+1,① 所以把①中的 x 换成-x 得 f(-x)+3f(x)=-2x+1.② 1 由①②解得 f(x)=-x+ . 4 1-t2 1- 2 1-t (2)令 g(x)=1-2x=t,则 x= 2 ,所以 f(t)= = 1-t2 2 4 2-1, (1-t) 4 所以 f(x)= 2-1. (1-x)

1.2.2 │ 考点类析

[小结] 求函数解析式的几种常用方法: (1)待定系数法:当已知函数类型时,常用待定系数法. (2)代入法: 已知 y=f(x)的解析式, 求函数 y=f[g(x)]的解析式 时,可直接用新自变量 g(x)替换 y=f(x)中的 x. (3)换元法:已知 y=f[g(x)]的解析式,求 y=f(x)的解析式,可 用换元法,即令 g(x)=t,反解出 x,然后代入 y=f[g(x)]中,求出 f(t),即得 f(x). (4)构造方程组法:当同一个对应关系中的两个自变量之间有 互为相反数或者互为倒数关系时,构造方程组求解.

1.2.2 │ 考点类析

?

考点三

分段函数

[导入] (1)分段函数在实际生活中有广泛的应用,你能举出一 些例子吗? (2)分段函数怎样表示?怎样解决分段函数问题?

解:(1)出租车的收费,个人收入调节税等. (2) 分段函数的表示:根据定义域内自变量的不同范 围,将函数用不同的解析式或图像分段表示.解决分段函 数的问题时,要考虑自变量的取值情况,在“每一段上”解 决问题.

1.2.2 │ 考点类析
考向一 例3 A.2 (2)已知 分段函数求值 2 ? ?x (x≥0), (1)若 f(x)=? 则 f[f(-2)]=( ? ?-x(x<0), B.3 C.4 D.5
2 ? ?x +1(x≥0), f(x)=? 若 ? - 2 x ( x <0 ), ?

)

f(x)=10,则 x=________.

(1)C (2)-5 或 3 [解析] (1)因为-2<0, 所以 f(-2)=-(- 2)=2,所以 f[f(-2)]=f(2)=22=4. (2)当 x≥0 时,f(x)=x2+1=10,解得 x=-3(舍去)或 x=3; 当 x<0 时,f(x)=-2x=10,解得 x=-5.综上知 x=-5 或 x=3.

1.2.2 │ 考点类析
?1 ?2x-1,x≥0, 【变式】设函数 f(x)=? 若 f(a)=a,则实数 a 1 ? ,x<0, ?x 的值是________.

a -1 [解析] 当 a≥0 时,f(a)=2-1=a,得 a=-2(舍去); 1 当 a<0 时,f(a)=a=a,得 a=-1 或 a=1(舍去).综上知 a =-1.

1.2.2 │ 考点类析
考向二 求分段函数的解析式 例 4 (1)函数 y=f(x)的图像如图 124 所示,则 y=f(x)的解 析式为 f(x)=________________. (2)若某汽车以 52 km/h 的速度从 A 地驶向 260 km 远处的 B 3 地,在 B 地停留2 h 后,再以 65 km/h 的速度返回 A 地,则汽车 离开 A 地后行走的路程 s 关于时间 t 的函数解析式为 s = __________________.

图 124

1.2.2 │ 考点类析
?52t,0≤t<5, ?2x,0≤x<1, ? ?260,5≤t≤13, ? 2 (1) ?2,1≤x<2, (2) ? ?3,x≥2 ? 13 13 21 ? ?260+65t- , <t≤ 2 2 2 ? 当 0≤x<1 时,f(x)=2x;当 1≤x<2 时,f(x)=2; ?2x,0≤x<1, ? 当 x≥2 时,f(x)=3.故 f(x)=?2,1≤x<2, ?3,x≥2. ?

[ 解析 ] (1)

1.2.2 │ 考点类析

(2) 因 为 260÷ 52 = 5(h) , 260÷ 65 = 4(h) , 所 以 s = ?52t,0≤t<5, ? ?260,5≤t≤13, ? 2 ? 13 13 21 ?260+65t- , <t≤ . 2 2 2 ?

1.2.2 │ 考点类析
【变式】已知函数 f(x)的图像如图 125 所示,则 f(x)的解 析式是________________.

图 125
? ?x+1,x∈[-1,0), f ( x) = ? ? ?-x,x∈[0,1]

[解析] 因为函数的图像由两条线

段组成,所以

? ?x+1,x∈[-1,0), f(x)=? ? ?-x,x∈[0,1].

1.2.2 │ 考点类析

[小结] (1)求分段函数的函数值时, 一般应先确定自变量的 取值在哪个子区间上,然后用与这个区间相对应的解析式求函数 值. (2)已知分段函数的函数值, 求自变量的值, 要进行分类讨论, 逐段用不同的函数解析式求解,最后检验所求结果是否适合条 件. (3)实际问题中的分段函数, 以自变量在不同区间上的对应关 系不同进行分段, 求出在各个区间上的对应关系(解析式或图像).

1.2.2 │ 考点类析

?
A.

考点二

映射的概念

[导入] 某校高一(6)班有 40 名同学, 同学们的“姓名”构成集合 (1)若同学们的“姓氏”构成集合 B,对于 A 中的任意一个同学, 在 B 中是否会存在唯一的姓与之对应吗? (2)若 C={男,女},那么 A,C 之间怎样对应? (3)若同学们某次的成绩构成集合 D,那么从集合 D 到集合 A 的对应与上面的对应一样吗? (4)若同学们的座位构成集合 E,那么 A,E 之间如何对应?

1.2.2 │ 考点类析

解:(1)是. (2)对于 A 中任意一个同学,C 中都有唯一的性别与之对应. (3)不一样,某个成绩可能有几名同学与之对应. (4)一人一个座位,是一一对应关系.

1.2.2 │ 考点类析
例5 (1)已知集合 A=R,B={(x,y)|x,y∈R},f:A→B 是

从集合 A 到集合 B 的映射,即 f:x→(x+1,x2+1),则集合 A 中 3 的元素 2对应集合 B 中的元素为________;集合 B 中的元素2, 5 4对应集合 A 中的元素为__________. (2)如图 126 所示, 箭头标明 A 中元素与 B 中元素的对应关 系,它们中为映射的有________;为函数关系的有________.

1.2.2 │ 考点类析

(1)( 2+1,3)

1 2

(2)③④

③④

[解析] (1)将 x= 2代入

3 ? x + 1 = ? 2, 1 ? 对应关系得( 2+1,3).由 解得 x= .故 2对应集合 2 5 ?x2+1= , 4 ? 3 5 1 B 中的元素为( 2+1,3), , 对应集合 A 中的元素为 . 2 4 2 (2)只有③④满足映射和函数的条件.

1.2.2 │ 考点类析

【变式】集合 A={a,b},B={-1,0,1},从 A 到 B 的 映射 f:A→B 满足:f(a)+f(b)=0,那么这样的映射 f:A→B 的 个数是( ) A.2 B.3 C.5 D.8 B [解析] 由 f(a)=0, f(b)=0 得 f(a)+f(b)=0; f(a)=1, f(b) =-1 得 f(a)+f(b)=0;由 f(a)=-1,f(b)=1 得 f(a)+f(b)=0, 共 3 个.

1.2.2│ 考点类析

[小结] 判断某种对应法则是否为集合 A 到集合 B 的映射的 方法: (1)明确集合 A,B 中的元素. (2)判断 A 中的每一个元素是否在集合 B 中有唯一的元素与之 对应.若进一步判断是否为一一映射,还需注意 B 中的每一个元 素在 A 中是否都有元素与之对应, 集合 A 中的不同元素对应 B 中 的元素是否不相同.

1.2.2 │ 备课素材 备课素材
1.函数三种表示法的内在联系 使用的前提 解析法 变量间的对应关系明确 图像法 函数的变化规律清晰 列表法 函数值与自变量对应清楚 在已知函数的解析式研究函数的性质时,可以先由解析 式确定函数的定义域,然后通过取一些有代表性的自变量的 值与对应的函数值列表,描点连线作出函数的图像,利用函 数图像形象直观的优点,了解函数概念和有关性质.


1.2.2 │ 备课素材

2.函数图像的理解:画函数的图像一般还是采用列表、描点、 绘图的描点法,主要解决两个问题:位置和形状.函数图像位置的 确定是以它的定义域为主要依据;函数图像形状的刻画是依据对应 法则而定的. 函数的图像也可以是一些点、 一些线段、 一段曲线等, 从函数的图像可以直观地指出函数的定义域和值域. 3.理解分段函数应注意的问题 (1)分段函数是一个函数,其定义域是各段“定义域”的并集, 其值域是各段“值域”的并集.写定义域时,区间的端点需不重不 漏. (2)求分段函数的函数值时,自变量的取值属于哪一段,就用 哪一段的解析式.

1.2.2 │ 备课素材

(3)研究分段函数时,应根据“先分后合”的原则,尤其是 作分段函数的图像时,可将各段的图像分别画出来,从而得 到整个函数的图像. [例] ________. 函数 y=
2 ? ?x -1,x∈(-2,0], ? ? ?2x+1,x∈(0,2]

的值域是

[答案] [-1,5] [解析] 当 x∈(-2,0]时,y∈[-1,3);当 x∈(0,2]时,y∈(1, 5],所以函数的值域为[-1,3)∪(1,5]=[-1,5].

1.2.2 │ 备课素材

4.映射概念的理解 (1)映射包括非空集合 A,B 以及对应法则 f,其中集合 A,B 可以是数集,可以是点集,也可以是其他任何非空的集合. (2)集合 A,B 是有先后次序的,即 A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是不同的. (3)集合 A 中每一个元素在集合 B 中必有唯一的元素与之对 应(有,且唯一),但允许 B 中的元素在 A 中没有元素与之对应. (4)A 中元素与 B 中元素对应,可以是“一对一”“多对一”,但 不能是“一对多”.

1.2.2 │ 当堂自测 当堂自测
1.设 f:A→B,则下列命题中,正确的是( ) A.A 中每个元素在 B 中必有唯一元素与其对应 B.B 中每个元素在 A 中必有元素与其对应 C.B 中每个元素在 A 中对应的元素唯一 D.A 中不同的元素在 B 中对应的元素必不同
A [解析] f: A→B 表示 A 中的任一元素在 B 中都有唯 一元素与之对应,而 B 中的部分元素可以不参与对应.故 选 A.

1.2.2 │ 当堂自测

2.已知 f( x+4)=x+8 x,则 f(x2)=( A.x4-16(x≤-2 或 x≥2) B.x4-16(-2≤x≤2) C.x2-16(x≤-2 或 x≥2) D.x2-16(-2≤x≤2)

)

A [解析] 因为 f( x+4)=x+8 x=( x+4)2-16,所以 f(x)=x2-16(x≥4),所以 f(x2)=x4-16(x≤-2 或 x≥2).故选 A.

1.2.2 │ 当堂自测
?x+4,-3≤x≤0, ? 2 3.已知函数 f(x)=?x -2x,0<x≤4, 则 f{f[f(5)]}=________. ?-x+2,4<x≤5, ?

-1 [解析] 因为 4<5≤5,所以 f(5)=-5+2=-3,所以 f[f(5)] =f(-3)=-3+4=1.又因为 0<1≤4,所以 f{f[f(5)]}=f(1)=1-2=- 1.

1.2.2 │ 当堂自测

4 .设 abc>0 ,则二次函数 f(x) =ax2 + bx +c 的图像可能是 ________.(填序号)

图 127

1.2.2 │ 当堂自测



[解析] ①不正确, 由图①可知 a<0, f(0)=c<0,

b -2a<0,所以 abc<0,与 abc>0 相矛盾;②不正确,由图 b ②可知 a<0,f(0)=c>0,-2a>0,所以 abc<0,与 abc>0 b 相矛盾;③不正确,由图③可知 a>0,f(0)=c<0,-2a<0, 所以 abc<0,与 abc>0 相矛盾;④正确,由图④可知 a>0, b f(0)=c<0,-2a>0,所以 abc>0,符合题意.

1.2.2 │ 备课素材 备课素材
本节课小结 知识 1. 函 数 的 三 种 表 示 法及其优缺点 2 .函数图像的作法 及识图用图 3.求函数解析式 4.映射的概念 5.分段函数 方法 1. 求 函 数解 析 式 的几种常用方法 2.根据映射的定 义 判 断 两个 集 合 之 间 的 对应 关 系 是否为映射 易错 1. 求 函 数 解 析 式 易忽视定义域 2 .分段函数求值 时忽视自变量的 取值区间 3 .图像应用中由 于对图像的认识 不清致误

1.2.2 │ 备课素材

下节课预习问题: 1.函数的单调性;2.函数的增减区间; 3.利用单调性定义证明函数的单调性.

1.3 函数的基本性质

1.3.1 单调性与最大(小)值

第1课时 函数的单调性

1.3.1 │ 三维目标 三维目标
1.知识与技能 理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图像特 征;能根据图像写出函数的单调区间,并能利用定义进行证 明. 2.过程与方法 由一元一次函数、一元二次函数、反比例函数的图像, 让学生从图像获得“上升”“下降”的感性认识.根据函数 的自变量与函数值的关系,用自然语言描述图像的“上升” 与“下降”,再转化为数学符号的描述,完成函数单调性概 念的形成过程.

1.3.1 │ 三维目标

3.情感、态度与价值观 在形与数的结合中感知数学的内在美, 在图形语言、 自然 语言、 数学语言的转化中感知数学的严谨美, 在潜移默化中培 养化归与转化能力.

1.3.1 │ 重点难点 重点难点
[重点] 理解函数单调性的概念,用定义法证明函数的单调性. [难点] 单调性概念的形成与应用.

1.3.1 │ 教学建议 教学建议
建议从学生较熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数 图像出发,先利用图像直观了解函数值随变量的变化情形, 在此基础上用自然语言给出函数单调性的定义,实现一种由 特殊到一般、 由感性认识上升到理性认识的一个感知过程. 建议在讲解函数单调性这一概念时,注意把握概念中要 求的几个字眼:“任意性”“都有”“在区间 I 上”,且最好在讲完 概念后,让学生自己举几个单调性的例子,并指明单调区间, 真正理解此概念. 建议在讲函数的单调区间时,提醒学生注意“函数的单调 递增区间是 I”与“函数在区间 I 上递增”这两个概念的区别与联 系.

1.3.1 │ 新课导入 新课导入
[导入一] 图 13是某地区一天 24 小时内的气温图.x 轴表示时间, y 轴表示温度,温度是时间的函数.

图 13思考:(1)说出气温在哪些时间段内是升高的?在哪些时 间段内是降低的? (2)怎样用数学语言描述“随着时间的推移气温逐步提高, 随着时间的推移气温逐步降低”这一特征?

1.3.1 │ 新课导入

[导入二] 观察图像,如图 13. (1)指出 y 随着 x 的变化而变化的关系.

图 13(2)怎样用数学语言描述函数“y 值随着 x 的增大而减小; y 值随着 x 的增大而增大”这一特征? 这些问题我们会在今天“函数的单调性”的学习中得到 解决.

1.3.1 │ 预习探究 预习探究
? 知识点一 增函数与减函数的定义 设函数 f(x)的定义域为 I: 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 中的任 意两个自变量的值 x1,x2. f(x1)<f(x2) . (1)条件:x1<x2 时,都有____________ 结论:函数 f(x)在区间 D 上是增函数. f(x1)>f(x2). (2)条件:x1<x2 时,都有____________ 结论:函数 f(x)在区间 D 上是减函数.

1.3.1 │ 预习探究

[探究] (1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗? (2)在增函数和减函数定义中,能否把“任意 x1,x2∈D”改为 “存在 x1,x2∈D”?

解:(1)不一定.如函数 y=x2 在定义域 R 上不是单调函数. (2)不能.如函数 f(x)=x2,虽然 f(-1)<f(2),但 f(x)=x2 在 R 上不具备单调性.

1.3.1 │ 预习探究

?

知识点二 单调性与单调区间 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,那么就 单调性 ,区间 D 叫作 y 说函数 f(x)在这一区间具有(严格的)________ 单调区间 =f(x)的________.

1.3.1 │ 预习探究

[探究] 若函数 f(x)在定义域内的两个区间 D1, D2 上都 是增函数,那么 f(x)的增区间能写成 D1∪D2 吗?
解:不一定.如 y=2x-1 在区间[1,2],[2,3]上都是增函 1 数,它在区间[1,3]上仍是增函数,但 y=-x 在区间(-∞,0), (0,+∞)上都是增函数,但在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上不是增 函数.

1.3.1 │ 备课素材 备课素材
1.理解增函数、减函数定义的注意事项 (1)单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在定义域的 不同区间内可以有不同的单调性,即单调性是函数的一个“局部” 性质. (2)定义中的 x1, x2 有以下三个特征: ①任意性, 即“任意取 x1, x2”中“任意”二字不能去掉,证明时不能以特殊代替一般;②有大 小;③属于同一个单调区间. (3)单调性可使自变量取值的不等关系与函数值的不等关系相 互转化.

1.3.1 │ 备课素材

2.理解单调函数需明确的三点 (1)有些函数在定义域上是单调的, 有些函数在定义域内的子区 间上是单调的,有些函数是常数函数,不具有单调性.如 y=-2x 在定义域 R 上单调递减;y=(x-1)2 在(-∞,1)上单调递减,在(1, +∞)上单调递增,在定义域 R 上不具有单调性;y=4 是常数函数. (2)函数在定义域的某几个子区间上具有的单调性, 也不一定在定义 域上是单调的.如(1)y=(x-1)2 在(-∞,1)上单调递减,在(1, +∞)上单调递增,在定义域 R 上不具有单调性; (2)函数 y ? ?
1 x



(??, 0) 和 (0, ??) 上都是增函数,但它在定义域上不具有单调性.

1.3.1 │ 备课素材

(3)注意定义域是否含有端点,如 y=x2 的减区间为(-∞,0), 1 也可以写为(-∞,0],但 y= x的递减区间只能写成(-∞,0)和(0, +∞).

1.3.1 │ 考点类析 考点类析
? 考点一 由函数图像确定单调区间 例 1 (1)如图 131 所示的是定义在区间[-5,5]上的函数 y

=f(x)的图像,则函数的单调递减区间是________、________,在 区间________、________上是增函数.

1 (2)函数 y= 的单调递减区间是________________. x-1 (3)画出函数 y=x2-2|x|+2 的图像,并讨论函数的单调性.

1.3.1 │ 考点类析
(1)[-2,1) +∞) [3,5] [-5,-2) [1,3) (2)(-∞,1),(1,

[解析] (1)观察图像可知,y=f(x)的单调区间有[-5,-2), [-2,1),[1,3),[3,5].其中 y=f(x)在区间[-5,-2),[1, 3)上是增函数,在区间[-2,1),[3,5]上是减函数. 1 1 (2)y= 的图像可由函数 y= x 的图像向右平移一个单位 x-1 得到,如图所示,其单调递减区间是(-∞,1),(1,+∞).

1.3.1 │ 考点类析

2 ? x -2x+2,x≥0, ? 2 ? (3)解:y=x -2|x|+2= 2 的图像如图所 ? ?x +2x+2,x<0

示,由图可知,该函数在(-∞,-1),(0,1)上是减函数,在(- 1,0],[1,+∞)上是增函数.

1.3.1 │ 考点类析

【变式】作出下列函数的图像: (1)y=x+1(x∈Z);(2)y=x2-2x(x∈(-1,2]).

解:(1)该函数的图像由一些点组成,这些点都在直线 y=x +1 上,如图(1)所示.

(2)因为 x∈(-1,2],所以这个函数的图像是抛物线 y=x2- 2x 介于-1<x≤2 之间的一部分,如图(2)所示.

1.3.1 │ 考点类析

[小结] 作函数图像的三个步骤: (1)列表:取有代表性的 x 的值,分别求出对应的 f(x)的值, 列成表格. (2)描点: 把表格中的一系列点(x, f(x))在坐标平面上描出来. (3)连线:用平滑的曲线将这些点自左至右连接起来,得到 函数的图像.

1.3.1 │ 考点类析

?

考点二

函数单调性的证明

[导入] (1)如果画出函数的图像,我们就能够求出函数的单调 区间,如果不画函数的图像,怎样判断函数的单调性呢? (2)如何用函数单调性定义判断 f(x)=2x-1 在 R 上的单调性?

解:(1)利用函数单调性的定义判断. (2)第一步取值,取 x1,x2∈R,且 x1<x2;第二步作差 变形,f(x2)-f(x1);第三步定号,确定 f(x2)-f(x1)的符号; 第四步判断,根据定义得出结论.

1.3.1 │ 考点类析
2x 利用定义判断 f(x)= 在区间(0,+∞)上的单调性. x+3

例2

解:任取 x1,x2∈(0,+∞)且 x1<x2,则 2[x2(x1+3)-x1(x2+3)] 2x2 2x1 f(x2) - f(x1) = - = = x2+3 x1+3 (x1+3)(x2+3) 6(x2-x1) . (x1+3)(x2+3) 因为 x1<x2 且 x1,x2∈(0,+∞),所以 x2-x1>0,x1+3>0,x2 +3>0, 2x 所以 f(x2)-f(x1)>0,所以 f(x)= 在区间(0,+∞)上是增函 x+3 数.

1.3.1 │ 考点类析

【变式】证明:函数 f(x)=3x2-2x 在(-∞,-1]上是减函数.

2 2 证明:设 x1<x2≤-1,则 f(x2)-f(x1)=3x2 - 2 x - (3 x - 2 x ) = 3( x 2 2 1 1 2 -x2 1)-2(x2-x1)=(x2-x1)[3(x2+x1)-2]. 因为 x1<x2≤-1,所以 x2-x1>0,3(x2+x1)-2<0, 所以 f(x2)-f(x1)<0,所以 f(x)在(-∞,-1]上是减函数.

1.3.1 │ 考点类析

[小结] 证明函数 f(x)在区间 D 上的单调性应遵循以下步骤: ①设元:设 x1,x2∈D,且 x1<x2. ②作差:将函数值 f(x1),f(x2)作差. ③变形:将上述差值变形(因式分解、配方等). ④判号:对上述变形结果的正负加以判定. ⑤定论:根据定义对 f(x)的单调性作出结论.

1.3.1 │ 考点类析

?

考点三

函数单调性的应用

[导入] 给出函数 f(x)=kx+1. (1)当 k=2 时,f(x)是单调函数吗? (2)当 k 变化时,f(x)的单调性如何?

解:(1)f(x)是单调递增函数.(2)k>0 时,f(x)是定义在 R 上的增函数,k<0 时,f(x)是定义在 R 上的减函数,k=0 时,f(x)是定义在 R 上的常数函数.

1.3.1 │ 考点类析
例3 2k+1 (1)若函数 f(x)= x 在(-∞,0)上是增函数,则 a 的

取值范围是________. (2)已知 y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且满足 f(a- 1)>f(1-4a),求 a 的取值范围.

1.3.1 │ 考点类析
1 (1)k<- 2 [解析] 要使函数在(-∞,0)上是增函数,只需 2k

1 +1<0,得 k<-2.
? ?-1<a-1<1, (2)解:由题意知? 解得 ? - 1<1 - 4 a <1 , ?

1 0<a<2.①

又因为 y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且 f(a-1)>f(1 -4a), 2 所以 a-1<1-4a,得 a<5.② 2 2 由①②得 0<a<5,所以 a 的取值范围是(0,5).

1.3.1 │ 考点类析
【变式】函数 f(x)=-x2+2ax+1 在(-∞,2)上是增函数, 则实数 a 的取值范围是________.

a≥2 [解析] f(x)=-x2+2ax+1=-(x-a)2+1+a2,抛物线 开口向下,对称轴 x=a≥2 时,f(x)在(-∞,2)上是增函数,所以 实数 a 的取值范围是 a≥2.

1.3.1 │ 考点类析
[小结] (1)对于一次函数、二次函数、反比例函数的单调性 问题中所涉及的参数问题,要根据这些函数的图像、性质进行 讨论. (2)解决与抽象函数有关的变量的取值范围问题,关键是利 用单调性“脱去”函数符号“f”,从而转化为熟悉的不等式.具体 做法是:①若函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数,对任意 x1,x2 ∈D,且 f(x1)<f(x2),则有 x1<x2;②若函数 y=f(x)在区间 D 上是 减函数,对任意 x1,x2∈D,且 f(x1)<f(x2),则有 x1>x2.但需要注 意的是,不要忘记函数的定义域.

1.3.1 │ 考点类析
ax+1 1 【拓展】 讨论函数 f(x)= a≠2在(-2, +∞)上的单调性. x+2
ax+1 1-2a 解:f(x)= =a+ ,设 x1,x2∈(-2,+∞)且 x1<x2, x+2 x+2 1-2a 1-2a (1-2a)(x2-x1) 则 f(x1)-f(x2)= - = . x1+2 x2+2 (x1+2)(x2+2) 因为 x1<x2,所以 x2-x1>0,又(x1+2)(x2+2)>0, 1 所以当 a>2时,1-2a<0,则 f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2),所以 f(x)在(-2,+∞)为增函数; 1 当 a< 时,1-2a>0,则 f(x1)-f(x2)>0, 2 即 f(x1)>f(x2),所以 f(x)在(-2,+∞)上为减函数.

1.3.1 │ 备课素材 备课素材
1.求函数单调区间的两种方法: (1)定义法:求函数的定义域,再依据单调性定义进行判断求 解. (2)图像法:先画函数图像,根据图像写出函数的单调区间. [例] 画出函数 y=|-x2+2x+3|的图像,并写出函数的单调 递减区间. 解:图像如图所示,单调递减区间是(-∞,-1)和(1,3).

1.3.1 │ 备课素材
2.函数单调区间认识的误区 (1)正确理解“单调区间”和“在区间上单调”的含义,函数的单调 区间是函数单调的最大范围,而函数在某一区间上单调,则指此区 间是相应单调区间的子区间. (2)函数如果有多个单调区间,这些区间之间要用逗号隔开,不 能用集合的“∪”连接. [ 例 ] 已知函数 f(x) = x2 - 2x - 3 ,则 f(x) 的单调递增区间是 ________ ;若 f(x) 在 (a ,+ ∞) 上单调递增,则 a 的取值范围是 ________. [答案] [1,+∞) [1,+∞) [解析] f(x)的单调递增区间是[1,+∞);由图像可知 a≥1,即当 a≥1 时,f(x)在(a,+∞)上单调递增.

1.3.1 │ 当堂自测 当堂自测
1.函数 y=x2-6x 的单调递减区间是( A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[3,+∞) D.(-∞,3] )

D [解析] 函数 y=x2-6x 图像的对称轴为 x=3,所 以函数的单调递减区间是(-∞,3].

1.3.1│ 当堂自测

2.下列说法中正确的是( ) A.定义在(a,b)上的函数 f(x),若存在 x1,x2∈(a,b),使 得当 x1<x2 时有 f(x1)<f(x2),则 f(x)在(a,b)上为增函数 B.定义在(a,b)上的函数 f(x),若有无穷多对 x1,x2∈(a, b),使得当 x1<x2 时有 f(x1)<f(x2),则 f(x)在(a,b)上为增函数 C.若 f(x)在区间 A 上为减函数,在区间 B 上也为减函数, 则 f(x)在 A∪B 上也为减函数 D. 若 f(x)在区间 I 上为增函数且 f(x1)<f(x2)(x1, x2∈I), 则 x1<x2
D [解析] 根据函数单调性定义可知选项 D 正确.

1.3.1 │ 当堂自测
? ?x+1,x≥0, f(x)=? 在 ? x - 1 , x <0 ?

3.函数

R 上是(

)

A.减函数 B.增函数 C.先减后增 D.无单调性

B [解析] 函数 f(x)的图像如图所示,由图像可知,该函数在 R 上是增函数.故选 B.

1.3.1 │ 当堂自测

4.函数 f(x)=1-|x|的单调递减区间是________.

[0,+∞)

[解析]

? ?1-x,x≥0, 函数 f(x)=? 的图像如图所 ? ?1+x,x<0

示,易知单调递减区间为[0,+∞).

1.3.1 │ 备课素材 备课素材
本节课小结 知识 方法 易错 1. 对 单 调 性 概 念理解不透致 使函数的单调 性判断错误 2 .不能灵活应 用函数单调性 概念, 致使求错 参数的值或范 围

1. 利用函数的单调性 定义判断或证明函数 1. 函 数 单 调 的单调性 性的概念 2. 利用函数的图像求 2.函数的单 函数的单调区间 调区间 3. 利用函数的单调性 求参数的范围(或值)

1.3.1│ 备课素材

下节课预习问题: 1.函数的最大(小)值及其几何意义. 2.简单函数的最值的求法.

第2课时 函数的最大(小)值

1.3.1│ 三维目标 三维目标
1.知识与技能 理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义;理解函数的最大 (小)值是在整个定义域上研究函数;体会求函数最值是函数单 调性的应用之一. 2.过程与方法 结合函数图像,根据函数的单调性,形成函数最值的概念.培 养应用函数的单调性求解函数最值问题的能力.

1.3.1 │ 三维目标

3.情感、态度与价值观 在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想,感知数学 问题的求解途径与方法,探究解题的基本技巧,享受成功的快 乐.

1.3.1 │ 重点难点 重点难点
[重点] 函数的最大(小)值及其几何意义. [难点] 利用函数的单调性求函数的最大(小)值.

1.3.1│ 教学建议 教学建议
建议在给出最大(小)值定义后应注意以下两点: (1)对于任 意的 x∈A,都有 f(x)≤f(x0)成立,“任意”是说对给定区间的每 一个值都必须满足不等式.(2)最大值 f(x0)必须是一个函数值, 它是值域中的一个元素.例如函数 f(x) = x2 - 1 对于任意的 x∈R 都有 f(x)≥-2,但 f(x)的最小值不是-2,因为-2 不属 于 f(x)的值域. 建议在讲述本节内容时要将单调性与最值紧密结合起来, 要注意它们的联系与区别,特别要提醒学生注意,函数单调 性是针对函数定义域上的某个区间而言的,而最值则是整个 定义域上的性质.

1.3.1│ 新课导入 新课导入
[导入一] 按学习小组,让学生自己动手画出函数 y=-x2+1,y=- |x|,y=x2-1,y=|x|+2 的图像,引导学生观察函数图像的共同 点,启发学生发现这函数图像的最高点或最低点,然后进一步 提出问题:根据你对图像的观察,能否试着归纳出函数最大值 和最小值的定义?

1.3.1│ 新课导入

[导入二] (1)观察下列两个函数图像:

思考 1: 这两个函数图像有何共同特征?函数图像上最高点 的纵坐标叫什么名称? 思考 2:函数 y=f(x)图像上最高点的纵坐标为 M,则对函 数定义域内任意自变量 x,f(x)与 M 的大小关系如何?

1.3.1│ 新课导入
(2)观察下列两个函数图像:

思考 1: 这两个函数图像上各有一个最低点, 函数图像上最 低点的纵坐标叫什么名称? 思考 2:函数 y=f(x)图像上最低点的纵坐标为 m,则对函 数定义域内任意自变量 x,f(x)与 m 的大小关系如何? 这就是我们今天要学习的函数的最大值与最小值.

1.3.1 │ 预习探究 预习探究
? 知识点一 函数的最大(小)值及几何意义 最值 条件 对于任意 x∈I, f(x)≤M , 最大 都有________ 值 存在 x0∈I, 使得 f(x0)=M 对于任意 x∈I, f(x)≥M , 最小 都有________ 值 存在 x0∈I, 使得 f(x0)=M 几何意义 函数 y=f(x)图 像上最高点的 纵坐标 函数 y=f(x)图 像上最低点的 纵坐标

1.3.1 │ 预习探究

[思考] (1)函数 f(x)=x2+1≥-1 总成立,f(x)的最小值是-1 吗? (2)有位同学说:“因为函数 f(x)=1-|x|≤0,所以函数 f(x)的最 大值为 0.”这种说法对吗?
解:(1)f(x)=x2+1≥-1 总成立,但不存在 x 使 f(x)=-1,所 以 f(x)的最小值不是-1. (2)不对. 因为对于 x∈R, f(x)=1-|x|≤0 并不总成立, 所以 f(x) 的最大值不是 0.事实上,f(x)的最大值是 1.

1.3.1 │ 预习探究
? 知识点二 求函数最值的常用方法 (1)图像法:作出 y=f(x)的图像,观察最高点与最低点, 最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值. (2)运用已学函数的值域. (3)运用函数的单调性: f(b) , ①若 y=f(x)在区间[a, b]上是增函数, 则 ymax=________ f(a) . ymin=________ f(a) , ②若 y=f(x)在区间[a, b]上是减函数, 则 ymax=________ f(b) ymin=________ . ③若 y=f(x)是定义在区间(a,b)或 R 上的连续函数,则 函数 y=f(x)的最大(小)值要根据具体函数而定. (4) 分段函数的最大 ( 小 ) 值是指各段上的最大 ( 小 ) 值中的 最大(小)的那个.

1.3.1 │ 预习探究

[讨论] (1)二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的最值是什 么?常用哪些方法求二次函数的最值? (2)要确定 f(x)=ax+2(a≠0)在区间[-1,3]上的最值, 需要先确定什么? 4ac-b2
解:(1)当 a>0 时,ymin= 4a 4ac-b2 = 4a ,无最小值.

,无最大值;当 a<0 时,ymax

求二次函数最值的常用方法有公式法、配方法和图像法. (2)先判断该函数在区间[-1, 3]上的单调性或画出函数图像, 从而判断何时取得最大值,何时取得最小值.

1.3.1│ 备课素材 备课素材
1.最大(小)值定义的理解 (1)最大(小)值定义中具备的两个条件: ①对于定义域内的全部元素,都有 f(x)≤M(或 f(x)≥M)成立; ②M 首先是一个函数值,它是值域中的一个元素. (2)定义中的两个条件缺一不可.

1.3.1│ 备课素材

2.求最大(小)值时的三个注意点 (1)利用图像写出最值时,要写最高(低)点的纵坐标而 不是横坐标; (2)单调性求最值不要忽略了定义域; (3)求最值尤其是闭区间上的最值, 不判断单调性而直 接将两端点的横坐标代入求解是最容易出现的错误.

1.3.1 │ 考点类析 考点类析
? 考点一 利用函数的图像求最值

例 1(1)若函数 y=f(x),x∈[-2,2]的图像如图 132 所示,则函数的最 大值、最小值分别为( )

图 132 3 3 A.f2,f-2 C.f(0),f- 3 2 3 B.f(0),f2 D.f(0),f(2)

1.3.1 │ 考点类析

(

(2)函数 f(x)=x2-2x(x∈[-1, 1.5])的最大值和最小值分别是 ) A.2,-1 B.3,-1 C.2,-0.75 D.3,-0.75 (3)函数 f(x)=x+|x-1|的最值情况是( ) A.有最大值,没有最小值 B.最小值为 1,没有最大值 C.最大值为 1,没有最小值 D.最大值为 2,最小值为 1

1.3.1 │ 考点类析

(1)C

(2)B

(3)B

[解析] (1)由图可以看出,函数的最大值是 f(0),

3 最小值是 f(-2).

1.3.1 │ 考点类析

(2)作出函数 f(x)=x2-2x 在区间[-1,1.5]上的图像如图所 示,可知,函数的最大值为 f(-1)=(-1)2-2× (-1)=3,最小 值为 f(1)=12-2× 1=-1.故选 B. ? ?2x-1(x≥1), (3)f(x) =x +|x - 1| =? 作出函数的图像如图 ? ?1(x<1), 所示,由图像可知,f(x)的最小值为 1,没有最大值.故选 B.

1.3.1 │ 考点类析

?

考点二

分段函数求最值

[导入] 已知函数 f(x)=x2-|x|,如何求该函数的最值?

解:去掉绝对值,将函数化为分段函数,利用图像求 最值.

1.3.1 │ 考点类析
例2 (1)已知函数
2 ? ?x +2x+2,x≤0, y=? 则此函数的最小值 ? 3 x + 2 , x >0 , ?

为________. (2)某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P(元)与时间 t(天) 组成有序数对(t, P), 点(t, P)落在如图 133 所示的两条线段上. 该 股票在 30 天内的日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的部分数据如下表 所示:

1.3.1 │ 考点类析

①根据提供的图像,写出该股票每股交易价格 P(元)与时间 t(天)所满足的函数关系式; ②根据表中数据,确定该股票日交易量 Q(万股)与时间 t(天) 的函数关系式; ③用 y 表示该股票日交易额(万元), 写出 y 关于 t 的函数关系 式,并求出在这 30 天中第几天日交易额最大,最大是多少.

1.3.1 │ 考点类析
(1)1 [解析] 当 x≤0 时,y=x2+2x+2=(x+1)2+1,当 x= -1 时,ymin=1;当 x>0 时,y=3x+2>2,函数没有最小值.综 上知,函数的最小值为 1. (2)解:①由图像知,前 20 天满足递增的直线方程,且过(0, 1 2),(20,6)两点,易求得直线方程为 P=5t+2.从 20 到 30 天满 足递减的直线方程,且过(20,6),(30,5)两点,易求得直线方程 ?1 ?5t+2,0<t≤20,t∈N, 1 为 P=-10t+8.故函数关系式为 P=? ?- 1 t+8,20<t≤30,t∈N. ? 10

1.3.1 │ 考点类析

②由表易知,Q 与 t 满足一次函数关系式,即 Q=-t+40, 0<t≤30,t∈N. ? 1 2 - ( t - 15 ) +125,0<t≤20,t∈N, ? 5 ③由①②可知,y=? ? 1 (t-60)2-40,20<t≤30,t∈N. ?10 当 0<t≤20 且 t=15 时,ymax=125;当 20<t≤30 时,y 随 t 的 增大而减小. 故在 30 天中的第 15 天,日交易额取得最大值 125 万元.

1.3.1 │ 考点类析

[小结] (1)分段函数的最大值为各段上最大值的最大者, 最小 值为各段上最小值的最小者,故求分段函数的最大或最小值时, 应先求各段上的最值,再比较即得函数的最大、最小值. (2)如果函数的图像容易作出,画出分段函数的图像,观察图 像的最高点与最低点,并求其纵坐标即得函数的最大、最小值.

1.3.1 │ 考点类析

?

考点三

利用单调性求最值

[导入] 函数的单调性能够反映函数的变化趋势,能否利用这 种趋势求函数的最值?

解: 利用单调性求最值是求函数最值的重要方法之一, 可以根据图像或单调性定义求出函数的最值.

1.3.1 │ 考点类析

例 3 (1)已知函数 f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若 f(x)有最 小值-2,则 f(x)的最大值为( ) A.1 B.0 C.-1 D.2 x2+2x+3 (2)已知函数 f(x)= (x∈[2,+∞)). x ①求 f(x)的最小值; ②若 f(x)>a 恒成立,求 a 的取值范围.

1.3.1 │ 考点类析

A [解析] f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+4+a 在[0, 1]上为 增函数,最小值为 f(0)=-2,所以 a=-2,所以最大值为 f(1) =3+a=1.故选 A. 3 (2)解:①任取 x1,x2∈[2,+∞),且 x1<x2,f(x)=x+x +2, 3 则 f(x1)-f(x2)=(x1-x2)1-x x . 1 2 因为 x1<x2,所以 x1-x2<0,又因为 x1≥2,x2>2, 3 所以 x1x2>4,1-x x >0,所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 1 2

1.3.1 │ 考点类析

故 f(x)在[2,+∞)上是增函数,所以当 x=2 时,f(x)有最小 11 值,最小值为 f(2)= 2 . 11 ②因为 f(x)的最小值为 f(2)= 2 ,所以 f(x)>a 恒成立,只需 11 f(x)min>a,得 a< 2 .

1.3.1 │ 考点类析

[小结] (1)函数的最值与单调性的关系: ①若 f(x)在[a,b]上是减函数,则 f(x)在[a,b]上的最大值为 f(a),最小值为 f(b); ②若 f(x)在[a,b]上是增函数,则 f(x)在[a,b]上的最大值为 f(b),最小值为 f(a). (2)利用函数的单调性求最值,要熟练掌握一些常见函数的基 本性质.

1.3.1│ 考点类析
【拓展】求函数 f(x)=x2-2ax+2 在区间[-1,1]上的最小 值.

解:函数 f(x)图像的对称轴方程为 x=a,且函数图像开口向

上. ①当 a>1 时,f(x)在区间[-1,1]上单调递减,故 f(x)min=f(1) =3-2a; ②当-1≤a≤1 时,f(x)在区间[-1,1]上先减后增,故 f(x)min =f(a)=2-a2; ③当 a<-1 时,f(x)在区间[-1,1]上单调递增,故 f(x)min= f(-1)=3+2a. ?3-2a,a>1, ? 2 综上可知 f(x)的最小值为 f(x)min=?2-a ,-1≤a≤1, ?3+2a,a<-1. ?

1.3.1 │ 备课素材 备课素材
1.单调性定义是求最值的重要方法. 函数的最值与单调性直接相关,因此,函数单调性的最直 接应用就是求函数的最值. 1 [ 例 ] 函数 y = x - x (x∈[1 , 3]) 的最大值和最小值分别是 ________.
8 [答案] 3,0 1 [解析] 利用单调性定义容易证明 y=x-x (x∈[1,3])是增函 1 8 1 数,所以 ymax=3-3=3,ymin=1-1=0.

1.3.1│ 备课素材

2.最值问题中的分类讨论思想. 当函数中含有参数时,函数最值的取得要受参数的影响,因此 要对参数的变化进行合理的分类,讨论函数最值问题.二次函数在 一定限制条件下的最值是这类问题中的典型. [例] 若二次函数 y=x2-3x-4 的定义域为[0,m],最大值为 25 -4,最小值为- 4 ,则 m 的取值范围是________.

1.3.1│ 备课素材

3 [答案] [2,3] [解析] 函数 y=x2-3x-4 的图像如图所示, 因为 y=x2-3x-4 32 25 =x- - , 2 4 3 25 3 所以 f =- ,f(0)=f(3)=-4,所以结合图像知 ≤m≤3. 2 4 2

1.3.1 │ 当堂自测 当堂自测
1.函数 y=2x2+1,x∈N*的最值情况是( A.无最大值,最小值是 1 B.无最大值,最小值是 3 C.无最大值,也无最小值 D.不能确定最大值、最小值 )

B [解析] 因为 x∈N*,且函数在区间(0,+∞)上单调递 增, 故函数在 x=1 时取得最小值, 最小值为 3, 无最大值. 故 选 B.

1.3.1 │ 当堂自测

1 ? ? (0<x<1), 2.函数 f(x)=? x 的最值情况是( ? ?x(1≤x≤2) A.有最大值 1,无最小值 B.有最小值 1,无最大值 C.有最大值 2,有最小值 1 D.有最大值 2,无最小值

)

B [解析] 作出函数 f(x)的图像如图所示, 由图像可知 f(x) 的最小值为 f(1)=1,无最大值.故选 B.

1.3.1 │ 当堂自测
k 3. 若函数 y=x(k>0)在[2, 4]上的最小值为 5, 则 k=________.

20

k [解析] 因为 k>0,所以函数 y=x在[2,4]上是减函数,所以

k k 当 x=4 时,取得最小值,且最小值为4,由题意知4=5,k=20.

1.3.1 │ 当堂自测

4 .函数 f(x) = x2 + 3x + a 在区间 ( - 3 , 3) 上的最小值为 ________.

9 a- 4

32 9 [ 解析 ] f(x) = x + 3x + a = x + + a - ,因为- 2 4
2

3 9 3<x<3,所以 f(x)在(-3,3)上的最小值为 f-2=a-4.

1.3.1│ 备课素材 备课素材
本节课小结 知识 易错 1. 由 于 对 函 数 单 1. 函数最大 ( 小 ) 1. 利用函数图 调性判断不准致 值的定义 像求最值 使求错最值 2 .求最值的几 2. 利用函数单 2.由于分类不合 种常用方法 调性求最值 理而求错最值 下节课预习问题: 1.函数奇偶性的概念; 2.函数奇偶性的判断. 方法

1.3.2 奇偶性

1.3.2 │ 三维目标 三维目标
1.知识与技能 理解奇函数、偶函数的概念,会运用定义判断函数的奇偶性. 2.过程与方法 通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生观察、归纳、抽象 的能力,渗透数形结合的数学思想. 3.情感、态度与价值观 通过函数的奇偶性教学,培养学生从特殊到一般的概括归纳问 题的能力,培养学生善于探索的思维品质.

1.3.2 │ 重点难点 重点难点
[重点] 函数的奇偶性及其几何意义. [难点] 函数奇偶性的判断.

1.3.2 │ 教学建议 教学建议
对于函数奇偶性的概念的教学, (1)建议在引出概念时, 先要复习轴对称与中心对称图形,挖掘出两个引例图像中的 对称点坐标之间的关系,再得出定义. (2)要着重强调概念中 的“任意”二字,因为所取 x 为定义域中的任意数,又-x 也 在其定义域内,所以奇、偶函数的定义域关于坐标原点对称, 这是判断函数是奇函数或偶函数的前提条件.

1.3.2 │ 教学建议

对于奇函数与偶函数图像的对称性的教学,建议在讲解 这一知识点时,只要让学生观察图像得出结论即可,不必证 明.否则将增加教学上的难度.有兴趣且有余力的同学可以 利用平面几何中有关对称点坐标间的知识进行推证. 对关于函数奇偶性与单调性综合问题的教学,建议先用 奇偶性将问题转化为比较两个函数值的大小,再利用单调性 转化为比较自变量大小的问题,使抽象不等式转化为具体不 等式求解.

1.3.2│ 新课导入 新课导入
[导入一] “对称”是大自然的一种美, 这种“对称美”在数学中也有大 量的反映.观察下列函数的图像,总结各函数之间的共性.

图 1?3这四个函数中, 前两个的图像关于 y 轴对称, 后两个的图 像关于原点对称,这样的函数的定义域有什么特点?-x 与 x 对应的函数值有什么关系?

1.3.2 │ 新课导入

[导入二] 复习在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义, 同桌两人分别画出函数 f(x)=x3 与 g(x)=x2 的图像,讨论它们 图像的特点.

1.3.2 │ 预习探究 预习探究
? 知识点一 函数奇偶性的概念 一 般 地 , 如 果 对 于 函 数 f(x) 的 定 义 域 内 任 意 一 个 x , 都 有 f(-x)=f(x) ,那么函数 f(x)就叫作偶函数;如果对于函数 f(x)的定 ______________ f(-x)=-f(x),那么函数 y=f(x)就叫作奇函 义域内任意一个 x,都有______________ 数. 奇偶性 . 如果函数 f(x)是奇函数或偶函数, 我们就说函数 f(x)具有________

1.3.2 │ 预习探究

[思考] (1)为什么奇、偶函数的定义域一定要关于原点对称? (2)对于定义在 R 上的函数 f(x),若 f(-2)=f(2),则函数 f(x) 一定是偶函数吗?
解:(1)由定义知,若 x 是定义域内的一个元素,-x 也一定 是定义域内的一个元素,所以函数 y=f(x)具有奇偶性的一个必不 可少的条件是:定义域关于原点对称. (2)不一定,仅有 f(-2)=f(2),不足以确定函数的奇偶性,不 满足定义中的“任意”,故不一定是偶函数.

1.3.2 │ 预习探究

?

知识点二 奇偶函数的图像与性质 原点 对称.反过来,若一个函 1.奇函数的图像关于________ 奇函数 . 数的图像关于________ 原点 对称,那么这个函数是________ y 轴 对称. 偶函数的图像关于________ 反过来, 若一个函数的 y 轴 对称,那么这个函数是偶函数. 图像关于________ 2.重要性质 (1)奇函数在区间[a,b]和[-b,-a](b>a>0)上有相同的单 调性. (2)偶函数在区间[a,b]和[-b,-a](b>a>0)上有相反的单 调性.

1.3.2 │ 预习探究

[思考] 若函数 y=f(x)的图像关于原点对称, 则 y=f(x) 的图像是否一定过点(0,0).

解:不一定.因为定义域不一定包含 x=0.

1.3.2 │ 备课素材 备课素材
1.函数的奇偶性与单调性的区别 奇偶性反映了函数在定义域上的对称性,是相对于函数的 整个定义域来说的,单调性反映了函数在某一区间上的函数值 的变化趋势,此区间是定义域的子区间,因此,单调性是函数 的“局部”性质,奇偶性是函数的“整体”性质. 2.奇、偶函数定义中 f(x)与 f(-x)的关系 (1)偶函数:f(-x)=f(x)?f(x)-f(-x)=0; (2)奇函数:f(-x)=-f(x)?f(x)+f(-x)=0.

1.3.2 │ 备课素材

3.根据奇偶性将函数分类 函数 分类标准 奇偶性 奇函数 偶函数

既是奇函数又是偶函数 非奇非偶函数 4.奇、偶函数图像对称性与点对称的关系 若函数 y=f(x)是奇函数, 则函数 y=f(x)图像上任一点 M(x, f(x)) 关于原点的对称点 M′(-x,-f(x))也在 y=f(x)的图像上;若函数 y =f(x)是偶函数,则函数 y=f(x)图像上任一点 M(x,f(x))关于 y 轴的 对称点 M′(-x,f(x))也在 y=f(x)的图像上.

1.3.2 │ 考点类析 考点类析
? 考点一 函数奇偶性的判断
[ 导入 ] 给出一个函数的解析式,你如何判断函数的奇偶 性? 解:先判断定义域是否关于原点对称,再检验 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x)是否恒成立;也可以作出函数的图像,观察图像是 否关于原点对称或关于 y 轴对称.

1.3.2 │ 考点类析
1 例 1 (1)给出下列函数:①f(x)=x -2x;②f(x)=x +x ;③f(x)
2 3

= x2-1 + 1-x2 ;④ f(x) = 2 - |x|. 其中, ________ 是偶函数, ________是奇函数,________是非奇非偶函数,________既是奇 函数也是偶函数. (2)判断下列函数的奇偶性: ?x+1,x>0, ? 1-x· 1+x ①f(x)= ;②f(x)=?1,x=0, |x+2|-2 ?-x+1,x<0. ?

1.3.2 │ 考点类析

(1)④ ② ① ③ [解析] ①f(x)的定义域为 R,关于原点对 称. 因为 f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x≠f(x),且 f(-x)≠-f(x), 所以 f(x)为非奇非偶函数. ②f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 1 1 3 3 因为 f(-x)=(-x) + =-x +x =-f(x), 所以 f(x)为奇函数. -x ③f(x)的定义域为{-1,1},是两个具体数,关于原点对称. 又 f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0, 所以 f(x)= x2-1+ 1-x2既是奇函数,又是偶函数.

1.3.2 │ 考点类析
④f(x)的定义域为 R,关于原点对称.因为 f(-x)=2-|-x| =2-|x|=f(x),所以 f(x)是偶函数. ?1-x≥0, ? (2)解:①依题意?1+x≥0, 解得-1≤x≤1 且 x≠0,所以 ?|x+2|-2≠0, ? 函数的定义域为 [ - 1 , 0) ∪ (0 , 1] ,所以解析式化简为 f(x) = 1-x· 1+x ,满足 f(-x)=-f(x),所以 f(x)是奇函数. x ②函数的定义域为 R,当 x>0 时,-x<0,则 f(-x)=-(- x)+1=x+1=f(x);当 x=0 时,f(-x)=f(x)=1;当 x<0 时,- x>0,则 f(-x)=-x+1=f(x). 综上知,对任意 x∈R,都有 f(-x)=f(x),所以 f(x)是偶函数.

1.3.2 │ 考点类析
【变式】判断下列各函数的奇偶性: ?x+2,x<-1, ? 2+x (1)f(x)=(x-2) ;(2)f(x)=?0,|x|≤1, 2-x ?-x+2,x>1. ?

2+x 解:(1)由 ≥0,得定义域为[-2,2),不关于原点对称, 2-x

所以 f(x)是非奇非偶函数. (2)x<-1 时,f(x)=x+2,-x>1,所以 f(-x)=-(-x)+2=x +2=f(x); x>1 时,f(x)=-x+2,-x<-1,所以 f(-x)=-x+2=f(x); -1≤x≤1 时,f(x)=0,-1≤-x≤1,所以 f(-x)=0=f(x). 所以对定义域内的每一个 x 都有 f(-x)=f(x),所以 f(x)是偶 函数.

1.3.2 │ 考点类析

[小结] (1)用定义判断函数奇偶性的步骤:①先求定义域, 看是否关于原点对称;②再判断 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x)是 否恒成立. (2)若已知函数的图像,则观察图像是否关于原点或 y 轴对 称,依此判断函数的奇偶性.

1.3.2 │ 考点类析

?

考点二

利用函数奇偶性求参数的值

例 2 (1) 函数 f(x) = ax + 1 - 2a 是奇函数,则 a = ________. (2)若函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数,定义域为 [a-1,2a],则 a=________,b=________. (x+1)(x+a) (3) 函数 f(x) = 为奇函数,则 a = x ________.

1.3.2 │ 考点类析
1 (1)2 1 (2)3 0 (3)-1 [解析] (1)因为函数 f(x)=ax+1-2a

是奇函数, 所以 f(-x)=-f(x), 即 a(-x)+1-2a=-(ax+1-2a), 1 解得 a=2. (2)因为定义域[a-1,2a]关于原点对称,所以 a-1=-2a, 1 得 a=3. 1 2 1 2 又因为 f(-x)=f(x),所以 x -bx+1+b= x +bx+1+b. 3 3 由对应项系数相等,得-b=b,所以 b=0. (3)因为 f(x)是奇函数,所以 f(-x)=-f(x),所以 (-x+1)(-x+a) (x+1)(x+a) =- , x -x 即 2(a+1)x=0,x 不恒为 0,所以 a+1=0,得 a=-1.

1.3.2 │ 考点类析
? 考点三 函数单调性与奇偶性的关系

[导入] (1)观察下列两个偶函数的图像, 在 y 轴两侧的图像的变 化趋势有何不同?可得出什么结论?

图 134

1.3.2 │ 考点类析

(2)观看下列两个奇函数的图像,在 y 轴两侧的图像的变化趋 势有何不同?可得出什么结论?

图 135 解:(1)偶函数在 y 轴两侧的图像的升降方向是相反的,即偶 函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. (2)奇函数在 y 轴两侧的图像的升降方向是相同的,即奇函数

1.3.2 │ 考点类析
例 3 (1)函数 y=x|x|( ) A.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增 B.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减 C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 (2)已知函数 f(x)是奇函数, 其定义域为(-1, 1), 且在区间[0, 1)上为增函数.若 f(a-2)+f(3-2a)<0,试求 a 的取值范围.

1.3.2 │ 考点类析

(1)C [解析] 函数 y=x|x|是奇函数,当 x>0 时,y=x2, 在区间(0,+∞)上单调递增.故选 C. (2)解:因为 f(a-2)+f(3-2a)<0,所以 f(a-2)<-f(3-2a), 又因为 f(x)是奇函数,所以 f(a-2)<f(2a-3). 又因为 f(x)在区间[0,1)上为增函数,所以 f(x)在区间(-1, 1)上为增函数, ?a-2<2a-3, ?a>1, ? ? 所以?-1<a-2<1, 即?1<a<3,所以 1<a<2. ?-1<2a-3<1, ?1<a<2, ? ?

1.3.2 │ 考点类析
【变式】若偶函数 f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,则 a= 3 π f(- 2),b=f(2),c=f(2)的大小关系是( A.b<a<c B.b<c<a C.a<c<b D.c<a<b )

C

[解析] 由 f(x)为偶函数得 f(- 2)=f( 2). 3 π 又 f(x)在(0,+∞)上是增函数,且 2<2<2, 3 π 所以 f(- 2)<f(2)<f(2), 即 a<c<b.

1.3.2 │ 考点类析

[小结] 利用函数的奇偶性和单调性解不等式要注意两点: (1)奇函数在定义域内的关于 y 轴对称的两个区间上, 单调性 相同,偶函数在定义域内的关于 y 轴对称的两个区间上,单调性 相反. (2)确定单调区间,依据题设条件将不等式转化为具体不等 式,在这个区间上解不等式.

1.3.2 │ 考点类析
【拓展】奇函数 f(x)的定义域为[-5,5],其 y 轴右侧图像 如图 136 所示,则满足 f(x)<0 的 x 的取值集合是________.

图 136

1.3.2 │ 考点类析

(-2,0)∪(2,5) [解析] 由奇函数 f(x)的图像可知,当 x ∈(2,5)时,f(x)<0;当 x∈(0,2)时,f(x)>0.由于图像关于原点 对称, 所以当 x∈(-5, -2)时, f(x)>0; 当 x∈(-2, 0)时, f(x)<0. 所以满足条件的 x 的取值集合是(-2,0)∪(2,5).

1.3.2 │ 考点类析

?

考点四

利用函数奇偶性求解析式

[导入] 函数 f(x)是奇函数,若已知函数 f(x)在 x∈[a, b](a<b)上的解析式,如何求函数 f(x)在 x∈[-b,-a]上的 解析式? 解:设 x∈[-b,-a],则-x∈[a,b],再利用 f(-x) =-f(x)进行转化.

1.3.2 │ 考点类析

例4 (1)函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,当 x>0 时,f(x) =-x+1,则当 x<0 时,f(x)的解析式为 f(x)=________. (2)已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)=x2+x- 2,求 f(x),g(x)的解析式.

1.3.2 │ 考点类析

(1)-x-1

[解析] 设 x<0,则-x>0,所以 f(-x)=-(-x)

+1=x+1.又因为函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,所以 f(-x) =-f(x)=x+1,所以当 x<0 时,f(x)=-x-1. (2)解:因为 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以 f(-x)=f(x), g(-x)=-g(x). 由 f(x)+g(x)=x2+x-2, ①得 f(-x)+g(-x)=(-x)2-x-2, 即 f(x)-g(x)=x2-x-2.② 由①②得 f(x)=x2-2,g(x)=x.

1.3.2 │ 考点类析
【变式】已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时, f(x)=x2-2x,则函数 f(x)在 R 上的解析式是( ) A.f(x)=-x(x-2) B.f(x)=x(|x|-2) C.f(x)=|x|(x-2) D.f(x)=|x|(|x|-2)

D [解析] f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x<0 时,-x>0, f(x)=f(-x)=x2+2x=-x(-x-2),又当 x≥0 时,f(x)=x2-2x= x(x-2),所以 f(x)=|x|(|x|-2).

1.3.2 │ 考点类析

[小结] 利用奇偶性求函数解析式的注意事项: (1)求哪个区间的解析式就设 x 在哪个区间内; (2)将问题转化 代入已知区间的解析式;(3)利用函数 f(x)的奇偶性写出-f(-x) 或 f(-x),从而求出 f(x).

1.3.2 │ 备课素材 备课素材
1.数形结合思想在函数奇偶性讨论中的作用 奇偶函数具有较强的几何直观性,因此,在求解函数奇偶性问题上, 除了运用代数方法之外,不妨多考虑图像的应用. [例] y=f(x)是 R 上的奇函数, 且在(0, +∞)上单调递增, 若 f(2)=0, 则满足 f(x)<0 的 x 的集合是________. [答案] (-∞,-2)∪(0,2) [解析] 作出函数图像的示意图,如图可知满足条件的 x 的集合是(- ∞,-2)∪(0,2).

1.3.2 │ 备课素材

2.奇偶性图像的对称关系是函数的特殊对称关系 函数图像的对称关系除了奇偶函数的对称关系之外, 还有更一般的对称关系, 1 如 y=(x-1)2 的图像关于直线 x=1 对称,函数 y= 的图像关于点(1,0)成中心 x-1 对称.凡是具有对称关系的图像都可通过图像的平移转化为关于 y 轴对称或原点 对称,即只要图像具有对称关系的函数,都可以通过图像的平移,转化为偶函数 或奇函数. [例] 通过怎样的图像变换可以将函数 y=x2+2x-3 变为偶函数? 解: y=x2+2x-3=(x+1)2-4.只需将 y=x2+2x-3 的图像向右平移 1 个单位, 得到的图像就关于 y 对称,此时函数解析式为 y=x2-4,为偶函数.

1.3.2│ 当堂自测 当堂自测
1.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数 是( ) A.y=x3 B.y=|x|+1 2 2 C.y=-x +1 D.y=- x
B [解析] 对于函数 y=|x|+1,f(-x)=|-x|+1=|x| +1=f(x),所以 y=|x|+1 是偶函数,当 x>0 时,y=x+1, 所以在(0,+∞)上单调递增.故选 B.

1.3.2 │ 当堂自测

2.已设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则 下列结论恒成立的是( ) A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数
A [解析] 由 f(x)是偶函数,可得 f(-x)=f(x),由 g(x)是 奇函数可得 g(-x)=-g(x), 故|g(x)|为偶函数, 所以 f(x)+|g(x)| 为偶函数.故选 A.

1.3.2 │ 当堂自测

3.已知函数 y=f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x- x2,则 f(-2)=________.

2 [解析] 因为当 x>0 时,f(x)=x-x2,所以 f(2)=2-22 =-2.又 f(x)是奇函数,所以 f(-2)=-f(2)=2.

1.3.2 │ 当堂自测

4.已知 y=f(x)是 R 上的奇函数,且当 x<0 时,f(x)=x2-1, 则函数 f(x)的解析式为________.
?x2-1,x<0, ? [答案] f(x)=?0,x=0, ?-x2+1,x>0 ? [解析] 因为 y=f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(-x)=-f(x), f(0)=0.当 x>0 时,-x<0,所以 f(x)=-f(-x)=-x2+1. ?x2-1,x<0, ? 所以函数 f(x)的解析式为 f(x)=?0,x=0, ?-x2+1,x>0. ?

1.3.2 │ 备课素材 备课素材
本节课小结 知识 方法 1. 函 数 奇 1. 根据奇偶性的定义判 偶 性 的 概 断函数的奇偶性 念 2.根据函数奇偶性和单 2 .奇偶函 调性的关系解不等式 数 的 图 像 3.利用函数的奇偶性求 和性质 函数解析式 下节课预习问题:章结复习. 易错 1.在判断函数奇偶性 时忽视定义域的对 称性致误 2 .在求解析式时, 在 x 与-x 在不同区 间的转换上出错

本章总结提升

本章总结提升 │ 单元回眸 单元回眸
【知识网络】

本章总结提升 │ 知识辨析
【知识辨析】 判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或“×”)

1.集合A={-1,0,1,3,5},B={-1,0,2,3,4},则 A∪B={-1,0,1,2,3,4,5}.( ) √ [解析] 由并集定义知,结果正确. 2.集合A={x|x>a},B={x|-2≤x<3},若A∩B=?,则a∈(3,+ ∞ ) .( ) × [解析] 正确结果是a∈[3,+∞). 3.集合M={1,2},N={-1,0},则从集合M到集合N的映射 “f”有3个.( ) × [解析] 这样的映射有4个:“1→-1,2→-1”,“1→0 ,2→0”,“1→0,2→-1”,“1→-1,2→0”.

本章总结提升 │ 单元回眸

? ? ? ? x-1 ? ? ?,则?RA={x|x<1 4.A=?x?y= 2 ? x -2x-3? ? ? ?

或 x=3}.(

)

√ [解析] A={x|x≥1 且 x≠3},所以?RA={x|x<1 或 x=3}.
1 5.函数 y=-x 在[1,3)上是增函数.( )



[解析] 由图像知结论正确.
)

?x-1,x≤1, ? 3 6.函数 f(x)=? 2 则 f[f(2)]=5.( ,x>1, ? 2 x + 1 ?

×

2 2 3 [解析] f(2)= ,所以 f[f(2)]= -1=- . 5 5 5

本章总结提升 │ 单元回眸

7.函数 f(x),g(x)都是偶函数,则 f(x)+g(x)是偶函数.(
×

)

[解析] 在公共定义域内,两个偶函数之和仍为偶函数.
2

12 8.函数 y=-x + x (x∈[2,3])的最大值是 2.(
2

)

12 √ [解析] 函数 y=-x + x 在区间[2,3]上是减函数,所以 ymax= 12 2 -2 + 2 =2.

本章总结提升│ 整合创新 整合创新
? 题型一 集合的含义与表示、集合的基本关系 [类型总述] (1)集合中元素的互异性;(2)集合的相等;(3)子集的 个数. 例 1 (1)[全国卷Ⅰ] 已知集合 A={x|x=3n+2, n∈N}, B={6, 8,10,12,14},则集合 A∩B 中元素的个数为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 (2)已知集合 A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2},若 A= B,求 c 的值.

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(1)D [解析] 集合 A={2,5,8,11,14,17,?},所 以 A∩B={8,14},所以 A∩B 中有 2 个元素. (2)解:①若 a+b=ac,则 a+2b=ac2,消去 b,得 a- 2ac+ac2=0. 显然 a≠0,否则集合 B 的元素均为 0,与集合中元素的 互异性矛盾, 所以 1-2c+c2=0, 得 c=1, 这时 B 中的三个元素相同, 仍与集合中元素的互异性矛盾. ②若 a+b=ac2,则 a+2b=ac,消去 b,则有 2ac2-ac -a=0,又 a≠0, 则有 2c2-c-1=0,即(c-1)(2c+1)=0,又 c≠1,所以 1 c=-2.

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【变式】 (1)若集合 A={x∈R|ax2+x+a=0}中只有一个元素,则 a=( ) 1 A.1 或± 2 C.0 或± 1 B.2 或± 1 1 D.0 或± 2 )

(2)若集合 A={0,1},B={1,2},则 A∪B 的真子集个数为( A.2 B.3 C.7 D.15

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(1)D (2)C [解析] (1)a=0 时,A={0};a≠0 时,方程 ax2 1 2 2 +x+a=0 有两个相等实根,则 Δ=1 -4a =0,得 a=± . 2 (2)A∪B={0,1,2},真子集有 23-1=7(个).

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? 题型二 集合的基本运算 [类型总述] (1)集合中并集、交集运算;(2)集合的补集运算;(3) 集合运算中求参数. 例 2 (1)[广东卷] 若集合 M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x- 4)(x-1)=0},则 M∩N=( ) A.{1,4} B.{-1,-4} C.{0} D.? (2)已知集合 A={x|-2<x<-1 或 x>0},B={x|a≤x≤b},满 足 A∩B={x|0<x≤2},A∪B={x|x>-2}.求 a,b 的值.

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(1)D [解析] M={x|(x+4)(x+1)=0}={-4,-1},N= {x|(x-4)(x-1)=0}={1,4},∴M∩N=?. (2)解:由 A∩B={x|0<x≤2},知 b=2 且-1≤a≤0. 由 A∪B={x|x>-2}知-2<a≤-1. 综上可知 a=-1,b=2.

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【变式】 (1)[安徽卷] 设全集 U={1,2,3,4,5,6},A={1, 2},B={2,3,4},则 A∩(?UB)=( ) A.{1,2,5,6} B.{1} C.{2} D.{1,2,3,4} (2)设全集 U=R,A={x|x>1},B={x|x+a<0},且 B??UA,则实 数 a 的取值范围是________.

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(1)B (2)a≥-1 [解析] (1)由?UB={1,5,6}得 A∩(?UB) ={1}. (2)因为 U=R, A={x|x>1}, 所以?UA={x|x≤1}. 因为 x+a<0, 所以 x<-a,所以 B={x|x<-a}.又因为 B??UA,所以-a≤1, 得 a≥-1.

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? 题型三 函数的概念

[类型总述] (1)函数的相等;(2)求函数的定义域;(3)求简单函 数的值域. 例3 当 (1)设 f(x)是定义在 R 上的函数,且满足 f(x+2)=f(x),
2 ? ?-4x +2,-1≤x<0, 3 ? x∈[-1, 1)时, f(x)= 则( f 2) =________. ? ?x,0≤x<1,

2 (2)函数 y= 的值域是________. |x|+1

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3 (1)1 (2)(0,2] [解析] (1)因为 f(x+2)=f(x),所以 f(2) 1 1 12 =f(2 (-2)=f(-2)=-4×2 +2=1. 1 2 (2)因为|x|≥0,所以|x|+1≥1,0< ≤1,所以 0< |x|+1 |x|+1 2 ≤2,所以函数 y= 的值域是(0,2]. |x|+1

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【变式】(1)[全国卷Ⅱ] 已知函数 f(x)=ax3-2x 的图像过点(- 1,4),则 a=________. 1-(x-3)0 (2)函数 f(x)= 的定义域为________. x-1-2

(1)-2 =-2.

(2)[1,3)∪(3,5)∪(5,+∞)

[解析] (1)由函数图

像过点(-1,4),得 f(-1)=a×(-1)3-2×(-1)=4,解得 a ?x-3≠0, ?x≠3, ? ? (2)要使函数有意义,则?x-1≥0, 即?x≥1,所以函 ? ? ? x-1-2≠0, ?x≠5. 数的定义域为[1,3)∪(3,5)∪(5,+∞).

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? 题型四 函数的单调性与奇偶性

[类型总述] (1)函数单调性的判断与证明;(2)函数奇偶性的 判断与证明;(3)利用单调性求最值;(4)利用函数单调性求参数; (5)利用函数奇偶性求参数;(6)函数单调性与奇偶性的综合应用. 例4 函数是( (1)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)+f(y)”的单调递增 ) B.f(x)=-2x D.f(x)=x3 )

A.f(x)=x2(x≥0) C.f(x)=3x-2

(2)[新课标全国卷Ⅰ] 设函数 f(x),g(x)的定义域为 R,且 f(x) 是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( A.f(x)g(x)是偶函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数

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(1)C (2)C [解析] (1)选项 A 中,可验证 f(x+y)≠f(x)+ f(y);选项 B 中,可验证 f(x+y)=f(x)+f(y),但 f(x)=-2x 是减 函数;选项 C 中,可验证 f(x+y)=f(x)+f(y),且 f(x)=3x-2 是 增函数;选项 D 中,可验证 f(x+y)≠f(x)+f(y).故选 C. (2)因为 f(x)是奇函数, g(x)是偶函数, 所以有 f(-x)=-f(x), g(-x)=g(x),于是 f(-x)· g(-x)=-f(x)g(x),即 f(x)g(x)为奇函 数,A 错; |f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),即|f(x)|g(x)为偶函数,B 错; f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,即 f(x)|g(x)|为奇函数,C 正确; |f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,即 f(x)g(x)为偶函数,所以 D 错.

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【变式】 (1)[山东卷] 已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, 1 2 f(x)=x +x ,则 f(-1)=( ) A.2 B.1 C.0 D.-2 (2)[湖南卷] 已知 f(x)是奇函数, g(x)是偶函数, 且 f(-1)+g(1) =2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1)=( ) A.4 B.3 C.2 D.1

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(1)D (2)B [解析] (1)∵f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1)= ? 2 1? -?1 +1?=-2. ? ? (2)由函数的奇偶性质可得 f(-1)=-f(1), g(-1)=g(1). 根 据 f(-1)+g(1)=-f(1)+g(1)=2, f(1)+g(-1)=f(1)+g(1)=4, 可得 2g(1)=6,即 g(1)=3.

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例 5 已知函数 f(x)=ax2-|x|+2a-1,其中 a≥0,a∈R. 设 f(x)在区间[1,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的解析式.

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解:当 x∈[1,2]时,f(x)=ax2-x+2a-1. 若 a=0,则 f(x)=-x-1 在区间[1,2]上是减函数,故 g(a) =f(2)=-3. 12 1 若 a>0,则 f(x)=ax- +2a- -1,f(x)图像的对称轴是 2a 4a 1 直线 x=2a. 1 1 当 0<2a<1,即 a>2时,f(x)在区间[1,2]上是增函数,则 g(a) =f(1)=3a-2;

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1 1 1 1 1 当 1≤ ≤2,即 ≤a≤ 时,g(a)=f =2a- -1; 2a 4 2 2a 4a 1 1 当2a>2,即 0<a<4时,f(x)在区间[1,2]上是减函数,g(a) =f(2)=6a-3. ? ?6a-3,0≤a<1, 4 ? ? 1 1 1 ? 综上可得 g(a)= 2a-4a-1,4≤a≤2, ? ? 1 ? ?3a-2,a>2.

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【变式】已知 f(x)= x2-1,试判断 f(x)在区间[1,+∞)上的单调 性,并证明.

解:函数 f(x)= x2-1在区间[1,+∞)上是增函数. 证明如下:任取 x1,x2∈[1,+∞),且 x1<x2,
2 2 x - x 2 1 2 2 则 f(x2) - f(x1) = x2 -1 - x1 -1 = 2 = 2 x2-1+ x1-1

(x2-x1)(x2+x1) . 2 2 x2-1+ x1-1
2 因为 1≤x1<x2, 所以 x2+x1>0, x2-x1>0, x2 -1 + x2 1-1>0.

所以 f(x2)-f(x1)>0,即 f(x2)>f(x1), 故 f(x)= x2-1在区间[1,+∞)上是增函数.

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? 题型五 函数图像及应用 [类型总述] (1)作函数图像;(2)利用函数图像求单调区间; (3)利用函数图像求最值;(4)函数图像的综合应用. 例 6 (1)[北京卷] 如图 T1?1,函数 f(x)的图像为折线 ACB, 则不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集是( )

图 T1?1 A.{x|-1<x≤0} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2}

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?x2-2x+4,x<-1, ? (2)已知 f(x)=?-2x+5,-1≤x<1, ?3,x≥1. ? ①求 f(-2),f(0),f(1),f(4); ②画出函数的图像; ③指出函数的值域.

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? ?2x+2,-1≤x≤0, 由图知,f(x)=? 设 ? - x + 2 , 0< x ≤ 2. ?

(1)C [解析]

g(x)=

log2(x+1).在同一坐标系中画出 f(x),g(x)的图像(如图),令-x +2=log2(x+1),解得 x=1,故不等式的解集为{x|-1<x≤1}. (2)解:①f(-2)=(-2)2-2×(-2)+4=12,f(0)=-2×0+ 5=5,f(1)=3,f(4)=3.

②函数图像如图所示. ③由图像知,函数的值域为[3,+∞).

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【变式】(1)[新课标全国卷Ⅱ] 偶函数 y=f(x)的图像关于直线 x=2 对称, f(3)=3,则 f(-1)=________. (2)已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=-x2+2x+2. ①求 f(x)的解析式. ②画出 f(x)的图像,并指出 f(x)的单调区间.

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(1)3

[解析] 因为 f(x)的图像关于直线 x=2 对称,所以 f(3)=f(1)=

3.又因为 y=f(x)是偶函数,所以 f(-1)=f(1)=3. (2)解:①设 x<0,则-x>0,所以 f(-x)=-(-x)2-2x+2=-x2- 2x+2.又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),所以 f(x)=x2+2x-2.

?x2+2x-2,x<0, ? 又 f(0)=0,所以 f(x)=?0,x=0, ?-x2+2x+2,x>0. ?

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②先画出 y=f(x)(x>0)的图像, 利用奇函数的对称性可得到相 应 y=f(x)(x<0)的图像,故 f(x)的图像如图所示.由图可知,其单 调递增区间为[-1,0),(0,1],单调递减区间为(-∞,-1), (1,+∞).


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