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自主招生训练题--空间角(一)


自主招生训练题
立体几何—空间角的求解

基础知识:
一、异面直线所成的角 1、 定义:______________________________________________ 2、 范围:______________________________________________ 3、 求法 (1)平移 (2)最小角定理

c o s ? c o s? ? ?

c?s o

(3)补形法 二、斜线和平面所成的角 1、 定义:______________________________________________ 2、 范围:______________________________________________ 3、 求法 (1)定义 (2) sin ? ?

d l

三、二面角的平面角 1、 定义:______________________________________________ 2、 范围:______________________________________________ 3、求法 (1)定义 (2)三垂线法 (3)射影面积法

例题精讲:
例 1: 正方形 ABCD 中,?ABD 沿 BD 折叠, (1) 使得平面 ABD ? 平面BCD , 求直线 AB A 和 CD 所成的角。 解法 1: 解法 2: B D C

(2)如图 PA ? 平面BDP, PB ? BD ,且 PA ? PB ? BD ,且异面直线 AB 与 PD 所成的 角。 A

P B D

例 2:如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PD⊥底面 ABCD,AD=PD,E、F 分别为 CD、PB 的中点. (Ⅰ)求证:EF⊥平面 PAB; (Ⅱ) AB= 2 BC, AC 与平面 AEF 所成的角的 设 求 正弦值.

例 3:如图,直二面角 D—AB—E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE=EB,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (Ⅰ)求证 AE⊥平面 BCE; (Ⅱ)求二面角 B—AC—E 的大小;

例 4: 已知四棱锥 P—ABCD 的底面为直角梯形, AB//DC, ∠DAB=90°, PA⊥底面 ABCD, 且 PA=AD=DE=

1 AB=1,M 是 PB 的中点. 2

(1)证明:面 PAD⊥面 PCD; (2)求 AC 与 PB 所成的角的余弦值; (3)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小的余弦值。

? 例 5: 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ACB ? 90?,AC ? BC , AA ? 2 , E 分别是 CC1 、 D、 1

A1B 的中点,E 在平面 ABD 内的射影恰好是 ? ABD 的重心。求 A1B 与平面 ABD 所成角的
正弦值。

C1
D

A1
C E A

B1

B

强化训练: 1、 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面 ABCD,且 PA=AD=AB=2BC,M、N 分别为 PC、PB 的中点. (Ⅰ)求证:PB⊥DM; (Ⅱ)求 CD 与平面 ADMN 所成的角。

2 、 如 图 , 在 四 棱 锥 P - ABCD 中 , PA ? 底 面 ABCD, ? DAB 为 直 角 , AB ‖ CD,AD=CD=24B,E、F 分别为 PC、CD 的中点. (Ⅰ)试证:CD ? 平面 BEF; (Ⅱ)设 PA=k·AB,且二面角 E-BD-C 的平面角大于 30 ? ,求 k 的取值范围.

3、在正三角形 ABC 中,E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点,满足 AE:EB=CF:FA= CP:PB=1:2(如图 1) 。将△AEF 沿 EF 折起到 ?A1 EF 的位置,使二面角 A1-EF-B 成直二面角,连结 A1B、A1P(如图 2) (Ⅰ)求证:A1E⊥平面 BEP; (Ⅱ)求直线 A1E 与平面 A1BP 所成角的大小; (Ⅲ)求二面角 B-A1P-F 的余弦值
A E
E A1

F
B P

F

C

B

P

C

图1

图2


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