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2019-2020年高中数学第二章解析几何初步2.2.1圆的标准方程高效测评北师大版必修

2019-2020 年高中数学第二章解析几何初步 2.2.1 圆的标准方程高效

测评北师大版必修

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)

1.圆心为 C(-1,2),且一条直径的两个端点落在两坐标轴上的圆的方程是( )

A.(x-1)2+(y+2)2=5

B.(x-1)2+(y+2)2=20

C.(x+1)2+(y-2)2=5

D.(x+1)2+(y-2)2=20

解析: 因为直径的两个端点在两坐标轴上,所以该圆一定过原点,所以半径 r=

-1- 2+ - 2= 5,又圆心为 C(-1,2),故圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,

故选 C.

答案: C

2.经过 A(-1,1),B(2,2),C(3,-1)三点的圆的标准方程是( )

A.(x+1)2+y2=4

B.(x+1)2+y2=5

C.(x-1)2+y2=4

D.(x-1)2+y2=5

解析: 由已知条件可得,线段 AC 的垂直平分线方程为 y-0=2(x-1),即 y=2x-2,

线段 AB 的垂直平分线方程为 y-32=-3???x-12???,这两条直线的交点坐标为 M(1,0),又由|MA|

= 5,可得过三点 A,B,C 的圆的标准方程为(x-1)2+y2=5.

答案: D

3.过点 C(-1,1)和点 D(1,3),且圆心在 x 轴上的圆的方程是( )

A.x2+(y-2)2=10

B.x2+(y+2)2=10

C.(x+2)2+y2=10

D.(x-2)2+y2=10

解析: ∵圆心在 x 轴上, ∴可设方程为(x-a)2+y2=r2.

由条件知???
??

-1-a 2+1=r2, -a 2+9=r2,

解得?????ar= 2=21,0. 故方程为(x-2)2+y2=10.

答案: D

4.方程 y= 9-x2表示的曲线是( )

A.一条射线

B.一个圆

C.两条射线

D.半个圆

解析: 方程 y= 9-x2化为 x2+y2=9(y≥0),因此该方程表示的曲线是圆 x2+y2=9

位于 x 轴上方的部分(包括与 x 轴的两个交点),是半个圆.

答案: D

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)

5.圆(x+2)2+(y+3)2=1 关于原点对称的圆的方程是________.

解析: 圆(x+2)2+(y+3)2=1 的圆心坐标为(-2,-3),半径为 1,关于原点对称的

圆的圆心坐标为(2,3),半径不变,所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=1.

答案: (x-2)2+(y-3)2=1

6.已知△ABC 的顶点 A(-1,0),B(1,0),C 在圆(x-2)2+(y-2)2=1 上移动,则△ABC

面积的最小值为________.

解析: ∵|AB|=2 为定长.

∴当△ABC 的高即 C 到 AB 的距离最小时,S△ABC 最小.又圆心为(2,2),半径为 1,所以 此时 C 的坐标为(2,1),S△ABC 的最小值为 1.

答案: 1

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)

7.已知一个圆的圆心为点 C(-3,-4),且经过原点,求该圆的标准方程,并判断点

P1(-1,0),P2(1,-1),P3(3,-4)和圆的位置关系. 解析: 因为圆心是 C(-3,-4),且经过原点,

所以圆的半径 r= -3- 2+ -4- 2=5,

所以圆的标准方程是(x+3)2+(y+4)2=25.

因为|P1C|= -1+ 2+ + 2= 4+16

=2 5<5,

所以 P1(-1,0)在圆内;

因为|P2C|=

+ 2+ -1+

所以 P2(1,-1)在圆上;

2=5,

因为|P3C|=

+ 2+ -4+ 2=6>5,

所以 P3(3,-4)在圆外.

8.已知圆心在直线 2x-y-7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0,-4),B(0,-2),求

圆 C 的标准方程.

解析: 法一:由圆心在直线 2x-y-7=0 上,

可设圆心坐标为(a,2a-7),

由题意得圆心到两点 A、B 的距离相等,

即 a2+(2a-3)2=a2+(2a-5)2,解得 a=2,

所以圆心坐标为(2,-3),

圆的半径长 r= - 2+ -3+ 2= 5, 所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=5. 法二:圆 C 的圆心在弦 AB 的垂直平分线 y=-3 上,



??2x-y-7=0, ???y=-3,



??x=2, ???y=-3,

即为所求圆的圆心坐标,半径长 r=

- 2+ -3+ 2= 5.

所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=5.

法三:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,

?? 则由条件可得?

-a 2+ -4-b -a 2+ -2-b

??2a-b-7=0

2=r2 2=r2

?? a=2, ,解得?b=-3,
??r2=5.

所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=5.

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9.(10 分)如图,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M(2,0),AB 边所在直线的方程为 x -3y-6=0,点 T(-1,1)在 AD 边所在直线上.

(1)求 AD 边所在直线的方程; (2)求矩形 ABCD 外接圆的标准方程. 解析: (1)因为 AB 边所在直线的方程为 x-3y-6=0,且 AD 与 AB 垂直,所以 AD 边 所在直线的斜率为-3. 又点 T(-1,1)在 AD 边所在直线上, 所以 AD 边所在直线的方程为 y-1=-3(x+1), 即 3x+y+2=0. (2)由?????x3- x+3yy- +62= =00, , 解得点 A 的坐标为(0,-2). 因为矩形 ABCD 的两条对角线的交点为 M(2,0), 所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心. 又 r=|AM|= - 2+ + 2=2 2, 所以矩形 ABCD 外接圆的标准方程为(x-2)2+y2=8.


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