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3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离


点到直线的距离 两条平行直线间的距离

两点间的距离公式是什么? 已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则

P1 P2 ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

.

y

P2
M2

N2

M1
O

x

Q

N1 P 1

问题:在铁路MN附近P地要修建一条公路使之连接起来,
问:如何设计才能使公路最短?

M地

铁路

N地

P地

得到简化图形:

Q
M地 过P点作MN的垂线, 设垂足为Q,则垂线 段PQ的长度就是点P 到直线MN的距离. P地

N地
即求P到MN上 的最短距离

1.点到坐标轴所在直线的距离公式

y y0

|x0|
P0 (x0,y0)

|y0|
O
x0
x

2. 点到与坐标轴平行的直线的距离公式

y

|y1-y0|
y ? y1

y1
y0

|x1-x0|
x ? x1
x1 x

P0 (x0,y0)

O

x0

3.如何求点P0( x0, y0 )到直线 l: Ax ? By ? C ? 0的距 离? y

l
Q

P 0
O x

探究一:直接法

y
Q

思路简单 运算繁琐

直线l的方程 直线l的斜率 l⊥ P 0 Q

O

P0

l
x
直线l的方程

点P0的坐标

直线P0Q的斜率

直线P0Q的方程
交点

点P0的坐标

点Q的坐标

两点间距离公式

点P0、Q之间的距离|P0Q |( P0到l的距离)

P0(x0,y0)
Q(x, y)满足:

l:Ax ? By ? C ? 0

B 2 x0 ? ABy0 ? AC x? 2 2 A ? B Ax + By ? C ? 0 ? 2 ? ABx ? A y0 ? BC 0 Bx - Ay - Bx0 +Ay0 = 0 y ?
A2 ? B 2

?

A( Ax0 ? By0 ? C ) x ? x0 ? ? A2 ? B 2
B( Ax0 ? By0 ? C ) y ? y0 ? ? A2 ? B 2

| PQ |? ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 A( Ax0 ? By0 ? C ) 2 B( Ax0 ? By0 ? C ) 2 ? [ ] ?[ ] 2 2 2 2 A ?B A ?B | Ax0 ? By0 ? C | ? A2 ? B 2
结论:点P0(x0 , y0)到直线 l: Ax+By+C=0的距离为:

d?

| Ax0 ? By0 ? C | A ?B
2 2

探究二:间接法 求出点R的坐标 求出点S的坐标

y
求出|P0R| 求出|P0S|

S

Q
利用勾股定理求出|RS|
R

P0
面积法求出|P0Q|

l
x

O

P0(x0,y0)
如图,设 A ? 0, B ? 0

l:Ax+By+C=0

y

S

则直线l与x轴和y轴都相交,过点 P0分别作x轴与y轴的平行线,交 直线l于R和S.

d
P0
O

Q

R

则直线 P0 R 的方程为 y ? y0

l
x

R

By0 ? C ( ? , y0 ) 的坐标为 A

直线P0S的方程为x=x0

S 的坐标为 ( x0 , ? Ax0 ? C )
B

于是有

Ax0 ? By0 ? C By0 ? C P0 R ? ? ? x0 ? A A

Ax0 ? By0 ? C Ax0 ? C P0 S ? ? ? y0 ? B B
RS ? P0 R ? P0 S ?
2 2

A2 ? B 2 Ax0 ? By0 ? C A B

? d , 由三角形的面积公式得 设 PQ 0 d ? RS ? P 0R ? P 0S

于是得 d ?

P0 R ? P0 S RS

?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B2

由此我们得到点 P0 ( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0
的距离为 注意

d?

| Ax0 ? By 0 ? C | A2 ? B 2

.

当A=0 或 B=0 时,此公式也成立.

1.此公式的作用是求点到直线的距离;

2.此公式是在A、B≠0的前提下推导的; 3.如果A=0或B=0,此公式恰好也成立; 4.如果A=0或B=0,一般不用此公式;
5.用此公式时直线要先化成一般式.

例1 求点P ? ?1, 2 ? 到下列直线的距离.

?1? 2x ? y ? 10 ? 0 ; ? 2 ? 3x ? 2 .
解:(1)根据点到直线的距离公式,得
d? | 2 ? ? ?1? ? 2 ? 10 | 22 ? 12
10 ? ? 2 5. 5

(2)根据点到直线的距离公式,得
d? | 3 ? ? ?1? ? 2 | 32 ? 02 5 ? 3

当A=0或B=0时,也可直接利用图形的性质求距离.

因为直线3x-2=0平行于y轴 ,所以 d ?

2 5 ? ? ?1? ? . 3 3

求下列点到直线的距离:

(1) O(0, 0), l :3 x ? 2 y ? 26 ? 0; (2) O(0, 0), l : x ? y; (3) A(?2, 0), l : 3 x ? 4 y ? 3 ? 0; (4) B(1, 0), (5)C (1, ?2),
答案:(1)2 13;

l : 3 x ? y ? 3 ? 0; l : 4 x ? 3 y ? 0.

(2)0;

3 (3) ; 5

(4)0;

2 (5) . 5

例2

已知点 A?13 ,, ,, 1 0? ,求 ?ABC 的面积. ? B ?31 ? C ?-,

y
解:如图,设 AB 边上的高为 h ,则

S?ABC
AB ?

1 ? AB ? h . 2

?3 ?1? ? ?1 ? 3?
2

C
2

4 A 3 2 h 1
1 2 3

B
x

?2 2.

-1 O

AB 边上的高 h 就是点C 到 AB 的距离.

y ? 3 x ?1 ? , AB 边所在直线的方程为: 1 ? 3 3 ?1

即: x ? y ? 4 ? 0 .
0? 到直线 x ? y ? 4 ? 0 的距离 点 C ? ?1,

y
4 3 2 h 1

A B
3

h?

?1 ? 0 ? 4 1 ?1
2 2

5 ? . 2

C

因此,S?ABC

1 5 ? ?2 2? ? 5. 2 2

-1 O

1 2

x

若点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离 为 2 ,则点P的坐标为( (A)(1,2) (C)(1,2)或(2,-1) ) (B)(2,1) (D)(2,1)或(-1,2)

解:选C .设点P的坐标为(x0,y0),则有

?3x 0 ? y 0 ? 5 ? 0 ? ? x 0 ? y0 ? 1 ? 2 ? 2 ?

?x ? 2 解得 ? x 0 ? 1 或 ? 0 . ?

? y0 ? 2

? y 0 ? ?1

则点P的坐标为(1,2)或(2,-1).

2.两条平行直线间的距离
(1)两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线 段的长. (2)探究: 能否将两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离?

已知两条平行直线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0,

l2 : Ax ? By ? C2 ? 0, ? C1 ? C2 ? .



上的任意一点,则 P( x0 , y0 )是直线 l2

Ax0 ? By0 ? C2 ? 0,
d? | Ax0 ? By0 ? C1 | A ?B
2 2

即 Ax0 ? By0 ? ?C2 .
| C1 ? C2 | A2 ? B 2

?

就是直线 l1 和

l2

间的距离.

注意:两条平行直线的方程必须化为一般式,且对应 未知数的系数要相等,即为

l1 : Ax ? By ? C1 ? 0, l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 .

l1 : 2 x ? 7 y ? 8 ? 0 l 与l 是否平行?若 1 2 例3 已知直线 l2 : 6 x ? 21y ? 1 ? 0
平行,求l1与l2间的距离.

2 6 2 解:因为l1,l2的斜率分别为 k1 ? , k2 ? ? . 7 21 7
所以l1,l2平行.

先求l1与x轴的交点A的坐标,易得A(4,0),
点A到直线l2的距离为
d? 6 ? 4 ? 21? 0 ? 1 62 ? 212 ? 23 23 ? 53, 3 53 159

所以l1,l2间的距离为

23 53. 159

1.点(0,5)到直线y=2x的距离是(B ) (A)5
2 (C)3 2

(B) (D)

5
5 2

2.点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O是原点,则|OP|的最

小值是( B )
(A) 10 (B)
2 2

(C) 6

(D)2

3.点P(2,3)到直线 ax + (a-1)y + 3 ? 0 的距离等于3,则a

3 的值等于 7 或 ? 3 .
4.设点P在直线 x + 3y ? 0 上,且 P 到原点的距离与 P 到直线
3 1 3 1 ( , ? )或(? , ) x ? 3y ?2 ? 0 的距离相等,则P点坐标为 5 5 5 5

.

5.求经过点P(2,1),且到点Q(1,-2)的距离为 2 的直线 方程. 解:x-y-1=0或7x+y-15=0

6.求下列两条平行线的距离:

(1) l1:2x+3y-8=0 ,l2:2x+3y+18=0
解:d = | 18 - (-8) | 26 = = 2 13 2 2 13 2 +3

(2) l1: 3x+4y=10 ,l2: 3x+4y-5=0

解:d =

| -5 - (-10) | 32 + 42

=1

1.了解点到直线的距离公式的推导过程;

2.能用点到直线的距离公式进行计算;
3.能求有关平行线间的距离.

不相信自己的意志,永远干不成大事。


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