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名校课件:4.二次函数的应用(1)_图文


第二章

二次函数

何时面积最大
?如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD, 其中AB和AD分别在两直角边上. M ?(1) 设矩形的一边AB=xm,那么AD C 边的长度如何表示? D ?(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值 ┐ 时,y的值最大?最大值是多少?
30m

A

40m

B

?如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD, 其中AB和AD分别在两直角边上. ?(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD 边的长度如何表示? ?(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值 时,y的值最大?最大值是多少?
M
30m

D ┐

C

bm

3 xm B A 解 : ?1?设AD ? bm,易得b ? ? x ? 30. 40m 4 3 2 3 ? 3 ? ?2 ? y ? xb ? x? ? x ? 30 ? ? ? x ? 30 x ? ? ?x ? 20 ?2 ? 300. 4 4 ? 4 ? b 4ac ? b 2 或用公式 : 当x ? ? ? 20时, y最大值 ? ? 300. 2a 4a

N

A N 解 : ?1? 由勾股定理得MN ? 50 m , PH ? 24 m. 40m 12 设AB ? bm,易得b ? ? x ? 24. 25 12 12 2 2 ? 12 ? ? ? ? ? x ? 25 ? 300. ?2 ? y ? xb ? x? ? x ? 24 ? ? ? x ? 24 x 25 25 ? 25 ? 2 b 4ac ? b 或用公式 : 当x ? ? ? 25时, y最大值 ? ? 300. 2a 4a

?如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD, 其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上. M ?(1)设矩形的一边BC=xm,那么AB C H 边的长度如何表示? B ?(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值 D G 时,y的值最大?最大值是多少? ┐
30m

P

何时窗户通过的光线最多
?某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下 半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线 的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最 多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少? 15 ? 7 x ? ?x x x 解 : ?1? 由4 y ? 7 x ? ?x ? 15, 得y ?
4

7 2 15 7 15 ? 225 ?? x ? x?? ? . ?x? ? ? 2 2 2 ? 14 ? 56

2

y

用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养 鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并 且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱 笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地 面积最大?最大面积是多少?
x=11.5米时面积最大,为264.5平方米 xm

y m2
2m

xm

如图,某公园要设计一圆形喷水池, 水流在各方向沿形状相同的抛物线落下.建 立如图所示的坐标系,如果喷头所在处A(0, 1.25),水流路线最高处B(1,2.25),如果不 考虑其他因素,水池的半径至少要多少米, 才能使喷出的水流不致落到池外。
Y

.B(1,2.25)
(0,1.25) A
O x

分 析
Y

.B(1,2.25)
(0,1.25) A
O x

如图,要使水不落到池外,水池的 半径,即要求抛物线与x轴右侧的公共点 的横坐标。已知喷泉的最高点,故函数 可用顶点式表示。

解:由题意,设水流路线构成的抛物 线为 y=a(x-1)2+2.25. 点A(0,1.25)在抛物线上,则有: 1.25=a(0-1)2+2.25. ∴a=-1 ∴y= -(x-1)2 +2.25

当y=0时,解得x1=-0.5,x2=2.5。 ∵x>0,∴x=2.5 ∴水池的半径至少要2.5米。

河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型,

建立如图所示的坐标系,其函数的表达式为
1 2 y= ? x , 当水位线在AB位臵时,水面宽AB= 25

30米,这时水面离桥顶的高度h是(
A、5 米
y
O

)

B、6米 C、8米
x h B

D 、9 米

A

分 析
y
O

x h B

A
1 2 y?? x 25

如图,AB=30,则 点B的坐标为 (15,-h). 要求水面离桥顶的高度 h,即要求出点B的纵坐 标。抛物线的解析式已 知,把点B的坐标代入 计算即可。

解: 由题意得:

点B的坐标为(15,-h).
∵点B在抛物线
1 2 y?? x 上, 25

1 2 ? ? h ? ? ? 15 25

y x h

O

解得 h ? 9

A

B

∴水面离桥顶的高度为9米。

梳 理
解函数应用题的一般步骤: (1)设未知数(确定自变量和函数); (2)找等量关系,列出函数关系式; (3)化简,整理成标准形式(一次函数、二 次函数等); (4)求自变量取值范围; (5)利用函数知识,求解(通常是最值问题); (6)写出结论。

通过前面活动,这节课你学到了什么?
本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决 最大面积问题,增强了应用数学知识的意识, 获得了利用数学方法解决实际问题的经验, 并进一步感受了数学建模思想和数学知识的 应用价值.

再见!


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