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汉寿一中2017届高三第一次月考理科数学试题答案


汉寿一中 2017 届高三第一次月考理科数学试题答案
一、选择题 题号 答案 1 D 2 B 3 B 4 D 5 C 6 D 7 A 8 A 9 D 10 D 11 A 12 B

二、填空题
1 2

13. f ( x) ? x 三、解答题

14. 6 或 6

?

5?

16 15. 3
2

16. 1 ? ln 2

(Ⅰ)由 ? ? 2 ? cos ? ? sin ? ? 得 ? ? 2 ? ? cos ? ? sin ? ? , 17.解: 得直角坐标方程为 x ? y ? 2 x ? 2 y ,即 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ;
2 2
2 2

(Ⅱ)将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,化简得 t 2 ? t ? 1 ? 0 ,点 E 对应的参数

t ? 0 ,设点 A,B 对应的参数分别为 t1 , t2 ,则 t1 ? t2 ? 1 , t1t2 ? ?1 ,
所以 | EA | ? | EB |?| t1 | ? | t2 |?| t1 ? t2 |?

? t1 ? t2 ?

2

? 4t1t2 ? 5 .

18.解: (Ⅰ)由 x ? 1 ? 2 ? 5 得 ?5 ? x ?1 ? 2 ? 5

??7 ? x ?1 ? 3 ,得不等式的解集为 ? x ? 2 ? x ? 4?
(Ⅱ)因为任意 x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, 所以 { y | y ? f ( x)} ? { y | y ? g ( x)} , 又 f ( x) ? 2x ? a ? 2x ? 3 ?| (2x ? a) ? (2x ? 3) |?| a ? 3| ,

g ( x) ?| x ? 1| ?2 ? 2 ,
所以 | a ? 3 |? 2 ,解得 a ? ?1 或 a ? ?5 , 所以实数 a 的取值范围为 a ? ?1 或 a ? ?5

? 3 1 ? f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 2 cos2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x 6 2 2 19.(1) 3 1 ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 6

? f ( x)的单调递增区间是 [k? ?

?

, k? ? ], (k ? Z ),....5分 3 6

?

? 2 2 20.解: (1)由已知得 2sin 2 A ? 2sin 2 C ? 2 ? ? cos C ? sin C ? ,………2 分 3 ?4 1 4 ?

化简得 sin A ? (2)由正弦定理

? 2? 3 ,故 A ? 或 .………………………………5 分 3 3 2

b c a ? ? ? 2 ,得 b ? 2sin B, c ? 2sin C ,…7 分 sin B sin C sin A 2? 故 2b ? c ? 4sin B ? 2sin C ? 4sin B ? 2sin( ? B) = 3sin B ? 3 cos B 3 ? 2 3 sin( B ? ). 6
因为 b ? a ,所以

?

……………………………9 分

?
3

?B?

所以 2b ? c ? 2 3 sin( B ?

?

2? ? ? ? , ? B ? ? ,………11 分 3 6 6 2 ) ? [ 3, 2 3) . ………12 分
3-x 2 3-x 3-x 2

6

21.解析: (1)g′(x)=(2x+a)e -(x +ax-2a-3)e =e [-x +(2-a)x+3a+3]. 2 令-x +(2-a)x+3(a+1)=0,因为 a=0,所以当-1<x<3 时,g′(x)>0, 所以 g(x)的单调递增区间为(-1,3). …………5 分 2 x (2)因为对任意的 a 值,f ′(x)>0 恒成立,所以当 a>0 时函数 f(x)=(a +8)e 在[0, 4]上单调递增, 2 所以 f(x)min=f(0)=a +8. …………7 分 令 g′(x)=0,得 x1=3,x2=-(a+1).因为 a>0,所以 x2=-(a+1)<0.

所以 g(x)max=g(3)=6+a.…………10 分 2 2 由 a +8>6+a,即 f(x)min>g(x)max,所以| f(ξ 1)-g(ξ 2)|min<3,即 a -a+2<3,

所以 ?

?a ? 0 ?a ? a ? 2 ? 3
2

,解得 a ? (0,

1? 5 ) .…………12 分 2

[来源:学科网 Z22

22.解: (Ⅰ)∵ a ? 0 ,∴ f ( x ) ?

1 2 x ? 1 ? ln x ( x ? 0) 2 1 1 ∴ f ' ( x ) ? x ? ? 2 当仅当 x ? 时,即 x ? 1 时, f ' ( x ) 的最小值为 2 x x 3 ∴斜率 k 的最小值为 2,切点 A (1, ) , 2 3 ∴切线方程为 y ? ? 2( x ? 1) ,即 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 2

(Ⅱ)∵ f ' ( x ) ? x ? 2a ?

1 x 2 ? 2ax ? 1 ? ( x ? 0) x x

①当 ? 1 ? a ? 1 时, f ( x ) 单调递增无极值点,不符合题意
2 ②当 a ? 1 或 a ? ?1 时,令 f ' ( x ) ? 0 则 x ? 2ax ? 1 ? 0 的两根为 x1 和 x2 ,

因为 x1 为函数 f ( x ) 的极大值点,所以 0 ? x1 ? x2 又∵ x1 x2 ? 1, x1 ? x2 ? 2a ? 0 ,∴ a ? 1 , 0 ? x1 ? 1 ∴ f ' ( x1 ) ? 0 ,所以 x1 ? 2ax1 ?
2 3

1 x ?1 ? 0 ,则 a ? 1 x1 2 x1
3

2

∵ x1 ln x1 ? ax1 ? x1 ln x1 ?

2

x1 ? x1 x 1 ? ? 1 ? x1 ? x1 ln x1 , x1 ? (0,1) 2 2 2

令 h( x ) ? ?

x

3

2 3x

?
2

1 x ? x ln x , x ? (0,1) 2

1 1 ? 3x 2 1 " ∴ h ( x) ? ? , x ? (0,1) ? ? ln x ∴ h ( x ) ? ?3x ? ? x x 2 2
'

当0 ? x ?

3 3 " 时, h ( x) ? 0 ,当 ? x ? 1 时, h" ( x) ? 0 3 3
3 3 ,1) 上单调递减 ) 上单调递增,在 ( 3 3

∴ h ( x ) 在 (0,

'

∴ h ' ( x) ? h ' (

3 ) ? ? ln 3 ? 0 3

∴ h( x ) 在 (0,1) 上单调递减∴ h( x) ? h(1) ? ?1 ,原题得证.


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