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武山一中2013届高三上学期12月份月考文科数学


武山一中 2013 届高三第四次月考
数学(文)试题
第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. ) 1. 已知全集 U ? R , 集合 M ? { x ? R | ? 2 ? x ? 1 ? 2 } 错误! 未找到引用源。 N ? { x | x ? 2 k , k ? Z } 错 和 误!未找到引用源。的关系的韦恩 (Venn)图如图 1 所示,则阴影部分所示的集合的元素共有( A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.无穷多个 2. .下列命题正确的是( ) A.若 a >b ,则 a>b C.若 ac>bc,则 a>b
2 2



1 1 B.若 > ,则 a<b a b D.若 a< b,则 a<b
0

3.在△ABC 中,a=15,b=10, ∠A= 6 0 ,则 c o s B ?
6 3 6 3 2 3 2




2 3 2

A.

B. ?

C.

D. ?

4.如图是函数

在一个周期内的图像,M、N 分别是最大、最 ,则 A ? w 的值为( )

小值点,且 A. B.

C.

D.

5. sin 2

75 ? ? 1

错误!未找到引用源。 的值为 ( ) B . 3 4

A.

1 4

错误!未找到引用源。 C.
2?

1 4

错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 D.
3 ? 2 4

错误!未找到引用源。

错误! 未找到引

用源。 6.如果数列 a 1 , A.-32
a2 a1 , a3 a2 ,? , an a n ?1 , ? 是首项为 1,公比为 ?

2 的等比数列,则 a 5 等于





B.32

C.-64

D.64 ( )

7.设 a , b 为两条不重合的直线, ? , ? 为两个不重合的平面,下列命题中为真命题的是

第 1 页 共 8 页

A.若 a , b 与所成角相等,则 a / / b C.若 a ? ? , b ? ? , a // b ,则 ? // ?

B.若 a // ? , b // ? , ? // ? ,则 a // b D.若 a ? ? , b ? ? , ? ? ? ,则 a ? b

8.将函数 f ( x ) ? 3 s in ( 4 x ?

?
6

) 图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平移

?
6

个单位长 ( )

度,得到函数 y ? g ( x ) 的图像,则 y ? g ( x ) 图像的一条对称轴是 A. x ?
?
12

B. x ?

?
6
1 2

C. x ?

?
3

D. x ?
a4 ? a5 a5 ? a6

2? 3

9.等比数列 ? a n ? 的各项都是正数,且 a2, A.
5 ?1 2

a3, a1 成等差数列,则
C.
5 ? 1 2

的值是
5 ?1 2

( 或
5 ? 1 2



B.

1? 2

5

D.

?x ? 2 ? 10.实数 x , y 满足条件 ? x ? y ? 4 ,目标函数 z ? 3 x ? y 的最小值为 5 ,则该目标函数 ? ?? 2 x ? y ? c ? 0
z ? 3x ? y

的最大值为 D.15





A.10 B.12 C.14 11.下图给出 4 个幂函数的图像,则图像与函数的大致对应是





1

1 ?1

A. ① y C. ① y

? x ,② y ? x ,③ y ? x 2 ,④ y ? x
1 2 1

2

3

B. ① y D. ① y

? x ,② y ? x ,③ y ? x 2 ,④ y ? x
1 1 2

3

2

?1

? x 3 ,② y ? x ,③ y ? x 2 ,④ y ? x

?1

? x 3 ,② y ? x 2 ,③ y ? x ,④ y ? x

?1

o 12.已知 | OA |? 1, | OB |? 1, OA ? OB ? 0 ,点 C 在 ? A O C ? 3 0 的边 AC 上,

设 OC ? m OA ? n OB ( m , n ? R ) ,则
1 3

?

m n

等于(

)

A.

B. 3

C.

3 3

D.

3

第Ⅱ卷

第 2 页 共 8 页

本卷包括必考题和选考题两部分。 13 题~-第 21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须做答。 第] 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.如图,四边形 ABCD 为菱形,四边形 CEFB 为正方形, 平面 ABCD⊥平面 CEFB,CE=1,∠AED=30°,则异面直 线 BC 与 AE 所成角的大小_________ 14.已知某圆锥体的底面半径 r ? 3 ,沿圆锥体的母线把侧面展开后可得到圆心角为 该圆锥体的体积是 15 . 已 知 向 量
a,b

2? 3

的扇形,则


| a |? 1 , | b |? 2

满足:

,且

(a ? b ) ? (a ? 2b ) ? ? 6

,则向量

a



b

的夹角是

_____________. 1 16.已知 f(x)是定义 R 在上的偶函数,f(x)在[0,+ ∞]上为增函数,f( )=0,则不等式 f 3 ( l og
1 8

x

)>0 的解集为__________

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 如图, 在底面为平行四边形的四棱锥 P ? A B C D 中,A B ? A C ,P A ? 平面 A BP D , 点是 P D C 的中点. (1)求证: A C ? P B ; (2)求证: P B // 平面 A E C ;
A D B E

18. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (s in x , ? 1), b ? ( 3 c o s x , ? (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期;
? ? 1 2
? ? ? ) ,函数 f ( x ) ? ( a ? b ) ? a ? 2 .

C

(2)已知、 b 、分别为 ? A B C 内角、 C 的对边, 其中为锐角, a ? 2 3 , c ? 4 ,且 f ( A ) ? 1 , 、 求 A , b 和 ? A B C 的面积 S .

19. (本题满分 12 分) 已知等差数列 ? a n ? 满足: a 3 ? 7 , a 5 ? a 7 ? 2 6 , ? a n ? 的前 n 项和为 S n . (1)求 a n 及 S n ; (2)令 bn=
1 an ? 1
2

(nN ) ,求数列 ? b n ? 的前 n 项和 T n .
*

第 3 页 共 8 页

20. (本小题满分 12 分) 一个三棱柱 A B C ? A1 B 1 C 1 的直观图和三视图如图所示(主视图、俯视图都是矩形,左视图是直 角三角形) ,设为线段 A A1 上的点. (1)求几何体 E ? B 1 C 1 C B 的体积; (2)是否存在点 E,使平面 E B C
C
?

平面 E B 1 C 1 ,若存在,求 AE 的长.
C1
3

主视图

1
左视图

B A E A1

B1

2
俯视图

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ( x ? k ) e .
x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间[0,1]上的最小值.

四、选考题(本小题满分 10 分) (请考生在 23,24 二题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第 一题记分.做答时用 2B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑) 23.选修 4-4:坐标系与参数方程
? 2 t ?x ? 3? ? 2 ? 2 ? y ? 5 ? t ? ? 2

在直角坐标系 x O y 中,直线 l 的参数方程为

( t 为参数) ,在极坐标系(与直角坐标

系 x O y 取 相同的长 度单位,且以 原点 O 为极 点,以 x 轴正半 轴为极轴 )中,圆 C 的方 程为
? ? 2
5 s in ?



(Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A、 B 。若点 P 的坐标为(3, 5 ) ,求 | P A | ? | P B | 。 24.选修 4-5:不等式选讲

第 4 页 共 8 页

.设函数 f ( x ) ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 3

(1)解不等式 f ( x ) ? 5 x ? 1 , (2)若 g ( x ) ?
1 f (x) ? m

定义域为 R ,求实数 m 的取值范围.

文科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中。只有一项是 符合题目要求的) 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 C 5 D 6 B
2? 3

7 D

8 C

9 A

10 A

11 B

12 D

二、填空题(本题共 4 个小题。每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡的相应位置) 13. 45
?

14. 错误!未找到引用源。

15.

16.错误!未找到引用源。

三、解答题(本题共 6 小题,总分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.证明: (1)∵PA⊥面 ABCD P ∴PA⊥AC 又 AB⊥AC E ∴AC⊥平面 PAB ∴AC⊥PB A D (2)连结 BD 交 AC 于 O,连结 EO,则 EO∥PB B 又 PB 面 AEC ∴PB∥面 AEC C

第 5 页 共 8 页

19.解: (Ⅰ)设等差数列 ? a n ? 的公差为 d,因为 a 3 ? 7 , a 5 ? a 7 ? 2 6 ,所以有
? a1 ? 2 d ? 7 ,解得 a 1 ? 3 , d ? 2 , ? ? 2 a1 ? 1 0 d ? 2 6
2 所以 a n ? 3 ? ( n ? 1) = 2 n + 1 ; S n = 3 n +

n ( n -1 ) 2
1
2

? 2 = n +2n 。
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a n ? 2 n + 1 ,所以 bn=

an ? 1 (2n+1) ? 1
2

=

1

=

1 4

?

1 n (n + 1 )

=

1 4

?(

1 n

-

1 n+1

),

所以 T n =

1 4

? (1 -

1 2

+

1 2

?

1 3

+? +

1 n

-

1 n+1

)=

1 4

? (1 -

1 n+1

)=

n 4 (n + 1 )



即数列 ? b n ? 的前 n 项和 T n = 20. (本小题满分 12 分)

n 4 (n + 1 )



解: (Ⅰ)由题可知,三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 为直三棱柱, B 1 B ? 底面 ABC , 且底面 ? A B C 是直角三角形, A B ? B C , A B ? 1, B C ? 三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 的体积 V ? S ? A B C ? B B 1 ? (Ⅱ)三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 为直三棱 柱, B 1 B ? 底面 ABC ,
? BE
? B1 E
2

3 , B B1 ? 2 ,…………2 分
3 . …………4 分

1 2

?

3?2 ?

C

C1

? AB

2

? AE
2

2

? 2,

B
2

B1

? A1 B 1 ? A1 E

2

? 2

,又

A E A1

BB 1 ? 2 ,
? BE
2

? B1 E

2

? BB

2 1



? BE ? B 1 E

………………6 分

第 6 页 共 8 页

又?

? B 1 C 1 ? A1 B 1 ? B 1 C 1 ? BB 1

? B 1 C 1 ? 平面 AA 1 B 1 B ,? B 1 C 1 ? BE

…………………9 分

由 BE ? B 1 E , B 1 C 1 ? BE , B 1 E ? B 1 C 1 ? B 1 ,得 BE ? 平面 EB 1 C 1 , 又 BE ? 平面 EBC ,平面 EBC ? 平面 EB 1 C 1 . 21. (本小题满分 12 分)
3 解: (Ⅰ) f ? ( x ) ? ( x ? k ? 1 ) e .

……………12 分

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? k ? 1 .
f ( x ) 与 f ? ( x ) 的情况如下:

x
f ?( x )

(? ?,k ? k ) —— ↗

k ?1

( ( k ? 1, ?? ) + ↗

0
?e
k ?1

f (x)

所以, f ( x ) 的单调递减区间是( ? ? , k ? 1 ) ;单调递增区间是 ( k ? 1, ?? ) (Ⅱ)当 k ? 1 ? 0 ,即 k ? 1 时,函数 f ( x ) 在[0,1]上单调递增, 所以 f (x)在区间[0,1]上的最小值为 f ( 0 ) ? ? k ; 当 0 ? k ? 1 ? 1, 即 1 ? k ? 2 时, 由(Ⅰ)知 f ( x ) 在 [0, k ?1] 上单调递减,在 ( k ? 1,1] 上单调递增,所以 f ( x ) 在区间[0,1]上的
k ?1 最小值为 f ( k ? 1) ? ? e ;

当 k ? 1 ? t , 即 k ? 2 时,函数 f ( x ) 在[0,1]上单调递减, 所以 f ( x ) 在区间[0,1]上的最小值为 f (1) ? (1 ? k ) e .

23. (本小题满分 10 分)
2 2 2 x ? (y ? 【解析】 (Ⅰ)由 ? ? 2 5 s i n ? 得 x ? y ? 2 5 y ? 0 , 即

5)

2

? 5.

(3 ?

2 2

t) ? (
2

2 2

t)

2

? 5

(Ⅱ)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得



第 7 页 共 8 页

2 2 t ,t 即 t ? 3 2 t ? 4 ? 0 , 由于 ? ? ( 3 2 ) ? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,故可设 1 2 是上述方程的两实根,

?t ? t ? 3 ? 1 2 ? ?t t ? 4 所以 ? 1 2

2

, 又 直 线 l 过 点 P (3 , 5 ),

故由上式及 t 的几何意义得:
| t 1 |+ |t 2 |

|PA|+|PB|=

=

t1 + t 2 = 3

2 。

(24) (本小题满分 10 分)

解:(1)原不等式等价于:
1 ? ?x ? 2 ? ?9 x ? 3 ? 3 ?1 ? ? x ? 2 ?2 ?1 ? 5 x ? 3 ? ?x ? 2 ? ? x ? ?5 ?





因此不等式的解集为 ? x
?

?

x ?

1? ? 3?

(2) 由于 g ( x ) ∴ 又
f (x) ? m ? 0

?

1 f (x) ? m

的定义域为 R

在 R 上无解
即 f ( x ) m in ? 2

f ( x ) ? | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |? | 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 | ? 2

∴-m<2, 即 m>-2

第 8 页 共 8 页


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