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高中数学复习专题讲座(第21讲)直线方程及其应用

题目 高中数学复习专题讲座 直线方程及其应用 高考要求 直线是最简单的几何图形, 是解析几何最基础的部分, 本章的基本概念; 基本公式;直线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解 析几何重要的基础内容 应达到熟练掌握、灵活运用的程度,线性规划是 直线方程一个方面的应用, 属教材新增内容, 高考中单纯的直线方程问题不 难,但将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的 重难点归纳 1 对直线方程中的基本概念, 要重点掌握好直线方程的特征值(主要指 斜率、截距)等问题;直线平行和垂直的条件;与距离有关的问题等 2 对称问题是直线方程的一个重要应用,中学里面所涉及到的对称一般都 可转化为点关于点或点关于直线的对称 中点坐标公式和两条直线垂直的 条件是解决对称问题的重要工具
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3 线性规划是直线方程的又一应用 线性规划中的可行域, 实际上是 二元一次不等式(组)表示的平面区域 求线性目标函数 z=ax+by 的最大值或 最小值时,设 t=ax+by,则此直线往右(或左)平移时,t 值随之增大(或减小), 要会在可行域中确定最优解 4 由于一次函数的图象是一条直线,因此有关函数、数列、不等式、 复数等代数问题往往借助直线方程进行,考查学生的综合能力及创新能力 典型题例示范讲解 例 1 某校一年级为配合素质教育, 利用一间教室作为学生绘画成果展览 室,为节约经费,他们利用课桌作为展台,将装画的镜框放置桌上,斜靠展 出,已知镜框对桌面的倾斜角为α (90°≤α <180°)镜框中,画的上、下 边缘与镜框下边缘分别相距 a m,b m,(a>b) 问学生距离镜框下缘多远看画 的效果最佳? 命题意图 本题是一个非常实际的数学问题,它不仅考查了直线的有 关概念以及对三角知识的综合运用, 而且更重要的是考查了把实际问题转化 为数学问题的能力 知识依托 三角函数的定义,两点连线的斜率公式,不等式法求最值 错解分析 解决本题有几处至关重要,一是建立恰当的坐标系,使问 题转化成解析几何问题求解;二是把问题进一步转化成求 tanACB 的最大值 如果坐标系选择不当, 或选择求 sinACB 的最大值 都将使问题变得复杂 起来 y 技巧与方法 欲使看画的效果最佳, 应使∠ACB 取最 A 大值,欲求角的最值,又需求角的一个三角函数值 解 建立如图所示的直角坐标系,AO 为镜框边,AB B 为画的宽度,O 为下边缘上的一点,在 x 轴的正半轴上找 ?
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o
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C

x

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一点 C(x,0)(x>0),欲使看画的效果最佳,应使∠ACB 取得最大值 由三角函数的定义知 A、B 两点坐标分别为(acosα ,asinα )、 (bcosα ,bsinα ),于是直线 AC、BC 的斜率分别为
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kAC=tanxCA= 于是

a sin? b sin? , k BC ? tan xCB ? . a cos? ? x b cos? ? x
k BC ? k AC (a ? b) ? x sin? (a ? b) ? sin? ? ? 2 ab 1 ? k BC ? k AC ab ? (a ? b) x cos? ? x ? x ? (a ? b) ? cos? x
( a ? b) ? sin? 2 ab ? ( a ? b) cos ?
,

tanACB=

由于∠ACB 为锐角,且 x>0,则 tanACB≤

当且仅当

ab =x,即 x= ab 时,等号成立, x

此时∠ACB 取最大值,对应的点为 C( ab ,0), 因此,学生距离镜框下缘 ab cm 处时,视角最大,即看画效果最佳
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例 2 预算用 2000 元购买单件为 50 元的桌子和 20 元的椅子,希望使桌 椅的总数尽可能的多,但椅子不少于桌子数,且不多于桌子数的 1 5 倍, 问桌、椅各买多少才行? 命题意图 利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程 的一个应用,本题主要考查找出约束条件与目标函数、准确地描画可行域, 再利用图形直观求得满足题设的最优解 知识依托 约束条件,目标函数,可行域,最优解 错解分析 解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐 含条件,若从图形直观上得出的最优解不满足题设时,应作出相应地调整, 直至满足题设 技巧与方法 先设出桌、椅的变数后,目标函数即为这两个变数之和, 再由此在可行域内求出最优解 解 设桌椅分别买 x,y 张,把所给的条件表示成不等式组,即约束条件
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?50 x ? 20 y ? 2000 200 ? ?y ? x ?x ? 7 ?50 x ? 20 y ? 2000 ? ? 为? 由? , 解得? ?y ? x ? y ? 1 .5 x ? y ? 200 ? ? x ? 0, y ? 0 7 ? ?
∴A 点的坐标为(
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200 200 , ) 7 7

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? x ? 25 ?50 x ? 20 y ? 2000 ? , 解得? 由? 75 ? y ? 1.5 x ?y ? 2 ?
∴B 点的坐标为(25,

y
y=1.5x B(25, 75 ) 2 y=x

75 ) 2

A o
50x+20y=2000

x

200 200 所以满足约束条件的可行域是以 A( , ), 7 7 75 B(25, ),O(0,0)为顶点的三角形区域(如右图) 2

由图形直观可知,目标函数 z=x+y 在可行域内的最优解为(25,
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75 ), 2

但注意到 x∈N,y∈N*,故取 y=37 故有买桌子 25 张,椅子 37 张是最好选择 例 3 抛物线有光学性质 由其焦点射出的光线经抛物线折射后,沿平 行于抛物线对称轴的方向射出,今有抛物线 y2=2px(p>0) 一光源在点
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M(

y y2=2px 的方向射向抛物线上的点 P, 折射后又射向抛物线 41 上的点 Q,再折射后,又沿平行于抛物线的轴的 P M( ,4) 4 方向射出, 途中遇到直线 l 2x-4y-17=0 上的点 N,再折射后又射回点 M(如下图所示) x o (1)设 P、Q 两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), Q N 证明 y1?y2=-p2; 2x-4y-17=0 (2)求抛物线的方程; (3)试判断在抛物线上是否存在一点,使该点与点 M 关于 PN 所在的直 线对称?若存在,请求出此点的坐标;若不存在,请说明理由 命题意图 对称问题是直线方程的又一个重要应用 本题是一道与物 理中的光学知识相结合的综合性题目,考查了学生理解问题、分析问题、解 决问题的能力 知识依托 韦达定理,点关于直线对称,直线关于直线对称,直线的 点斜式方程,两点式方程 错解分析 在证明第(1)问题,注意讨论直线 PQ 的斜率不存在时 技巧与方法 点关于直线对称是解决第(2)、第(3)问的关键 (1)证明 由抛物线的光学性质及题意知
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41 ,4)处, 由其发出的光线沿平行于抛物线的轴 4

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光线 PQ 必过抛物线的焦点 F(

p ,0), 2

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设直线 PQ 的方程为 y=k(x- 由①式得 x=

p ) 2



1 p 2p y+ ,将其代入抛物线方程 y2=2px 中, 整理, y2- 得 y k k 2
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-p2=0,由韦达定理,y1y2=-p2

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当直线 PQ 的斜率角为 90°时,将 x=
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p 代入抛物线方程,得 y=±p,同 2

样得到 y1?y2=-p2 (2)解 因为光线 QN 经直线 l 反射后又射向 M 点,所以直线 MN 与直
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线 QN 关于直线 l 对称,设点 M( 则

41 ,4)关于 l 的对称点为 M′(x′,y′), 4

? y? ? 4 1 ? ? ?1 ? 41 2 51 ? x? ? ? ?x? ? ? 4 解得 ? 4 ? ? y ? ? ?1 ? x ? ? 41 ? ? 4 ? 4 ? y ? ? 4 ? 17 ? 0 2? ? 2 2 ?
直线 QN 的方程为 y=-1,Q 点的纵坐标 y2=-1, 由题设 P 点的纵坐标 y1=4,且由(1)知 y1?y2=-p2,则 4?(-1)=-p2, 得 p=2,故所求抛物线方程为 y2=4x (3)解 将 y=4 代入 y2=4x,得 x=4,故 P 点坐标为(4,4)
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将 y=-1 代入直线 l 的方程为 2x-4y-17=0,得 x= 故 N 点坐标为(

13 , 2

13 ,-1) 2

由 P、N 两点坐标得直线 PN 的方程为 2x+y-12=0, 设 M 点关于直线 NP 的对称点 M1(x1,y1)

? y1 ? 4 ? ( ?2) ? ?1 ? 41 1 ? ? x1 ? ? ? x1 ? 4 则? 解得? 4 ? x ? 41 ? y1 ? ?1 ? 1 ? 4 ? y1 ? 4 ? 12 ? 0 2? ? 2 2 ?
又 M1( (

1 ,-1)的坐标是抛物线方程 y2=4x 的解,故抛物线上存在一点 4
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1 ,-1)与点 M 关于直线 PN 对称 4
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例 3 已知|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证 abc+2>a+b+c 证明 设线段的方程为 y=f(x)=(bc-1)x+2-b-c,其中|b|<1,|c|<1,|x|< 1,且-1<a<1 ∵f(-1)=1-bc+2-b-c=(1-bc)+(1-b)+(1-c)>0 f(1)=bc-1+2-b-c=(1-b)(1-c)>0 ∴线段 y=(bc-1)x+2-b-c(-1<x<1)在 x 轴上方, 这就是说,当|a|<1,|b|<1,|c|<1 时,恒有 abc+2>a+b+c 学生巩固练习
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1

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设 M=
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10 2000 ? 1 10 2001 ? 1 , N ? 2002 ,则 M 与 N 的大小关系为( 10 2001 ? 1 20 ?1
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)

A M>N B M=N C M<N D 无法判断 2 三边均为整数且最大边的长为 11 的三角形的个数为( ) A 15 B 30 C 36 D 以上都不对 3 直线 2x-y-4=0 上有一点 P,它与两定点 A(4,-1),B(3,4)的距 离之差最大,则 P 点坐标是_________ 4 自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线 所在直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0 相切, 则光线 l 所在直线方程为_________
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函数 f(θ )=

sin? ? 1 的最大值为_________,最小值为_________ cos? ? 2

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6 设不等式 2x-1>m(x2-1)对一切满足|m|≤2 的值均成立, x 的范 则 围为_________ 7 已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点, 分别过点 A、B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点 (1)证明 点 C、D 和原点 O 在同一直线上 (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标 8 设数列{an}的前 n 项和 Sn=na+n(n-1)b,(n=1,2,…),a、b 是常数且 b ≠0 (1)证明 {an}是等差数列
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(2)证明

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以(an,
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Sn -1)为坐标的点 Pn(n=1,2,…)都落在同一条直线上,并 n

写出此直线的方程 (3)设 a=1,b=

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1 ,C 是以(r,r)为圆心,r 为半径的圆(r>0),求使得点 P1、 2
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P2、P3 都落在圆 C 外时,r 的取值范围 参考答案: 1 解析 将问题转化为比较 A(-1,-1)与 B(102001,102000)及 C(102002,
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102001)连线的斜率大小,因为 B、C 两点的直线方程为 y= 线的下方,∴kAB>kAC,即 M>N 答案 A
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1 x,点 A 在直 10

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2

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解析

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?0 ? x ? 11 ? 设三角形的另外两边长为 x,y,则 ?0 ? y ? 11 ? x ? y ? 11 ?

y C 11

B

点(x,y)应在如右图所示区域内 A 当 x=1 时,y=11;当 x=2 时,y=10,11; o 11 x 当 x=3 时,y=9,10,11;当 x=4 时,y=8,9,10,11; 当 x=5 时,y=7,8,9,10,11 以上共有 15 个,x,y 对调又有 15 个,再加上(6,6) ,(7,7) ,(8,8) ,(9, 9) ,(10,10) 、(11,11)六组,所以共有 36 个 答案 C 3 解析 找 A 关于 l 的对称点 A′, A′B 与直线 l 的交点即为所求的 P 点
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答案 P(5,6) 4 解析 光线 l 所在的直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0 关于 x 轴对称的圆相 切 答案 3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0
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f(θ )= 0

sin? ? 1 表示两点(cosθ ,sinθ )与(2,1)连线的斜率 cos? ? 2

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6 解析 原不等式变为(x2-1)m+(1-2x)<0,构造线段 f(m)=(x2-1)m+1- 2x,-2≤m≤2,则 f(-2)<0,且 f(2)<0
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7 ?1 3 ?1 ?x? 2 2 7 (1)证明 设 A、B 的横坐标分别为 x1、x2,由题设知 x1>1,x2>1,?点 A(x1,log8x1),B(x2,log8x2)
答案
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因为 A、B 在过点 O 的直线上,所以 别为(x1,log2x1) 2,log2x2) 、(x 由于 log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,则
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log8 x1 log8 x2 ? ,又点 C、D 的坐标分 x1 x2

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kOC ?

log2 x1 3 log8 x1 log2 x2 3 log8 x2 ? , kOD ? ? x1 x1 x2 x2
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由此得 kOC=kOD,即 O、C、D 在同一直线上 (2)解 由 BC 平行于 x 轴,有 log2x1=log8x2,又 log2x1=3log8x1 ∴x2=x13
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将其代入

log8 x1 log8 x2 ? ,得 x13log8x1=3x1log8x1, x1 x2
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由于 x1>1 知 log8x1≠0,故 x13=3x1x2= 3 ,于是 A( 3 ,log8 3 )
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9 (1)证明 由条件,得 a1=S1=a,当 n≥2 时, 有 an=Sn-Sn-1=[na+n(n-1)b]-[(n-1)a+(n-1)(n-2)b]=a+2(n-1)b 因此,当 n≥2 时,有 an-an-1=[a+2(n-1)b]-[a+2(n-2)b]=2b 所以{an}是以 a 为首项,2b 为公差的等差数列 (2) 证 明 ∵ b ≠ 0, 对 于 n ≥ 2, 有
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(

Sn S na ? n(n ? 1)b ? 1) ? ( 1 ? 1) ?a (n ? 1)b 1 n 1 a ? ? ? an ? a1 a ? 2(n ? 1)b ? a 2(n ? 1)b 2

Sn 1 -1)(n=1,2,…)都落在通过 P1(a,a-1)且以 为斜率的 2 n 1 直线上 此直线方程为 y-(a-1)= (x-a),即 x-2y+a-2=0 2 1 1 n?2 (3)解 当 a=1,b= 时,Pn 的坐标为(n, ),使 P1(1,0)、P2(2, )、P3(3,1) 2 2 2
∴所有的点 Pn(an,
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都落在圆 C 外的条件是

?(r ? 1) 2 ? r 2 ? r 2 ? 1 2 ? 2 2 ?(r ? 1) ? (r ? ) ? r 2 ? ?(r ? 3) 2 ? (r ? 1) 2 ? r 2 ?
由不等式①,得 r≠1 由不等式②,得 r<

?( r ? 1 2 ? 0 ) ① ? 17 ? 即 ? r 2 ? 5r ? ? 0 ② 4 ? 2 ?r ? 8r ? 1 0 0 ③ ? ?

5 5 - 2 或 r> + 2 2 2

由不等式③,得 r<4- 6 或 r>4+ 6 再注意到 r>0,1<
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5 5 - 2 <4- 6 = + 2 <4+ 6 2 2

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故使 P1、P2、P3 都落在圆 C 外时,r 的取值范围是 (0,1)∪(1, 课前后备注
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5 - 2 )∪(4+ 6 ,+∞) 2

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