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《函数奇偶性的性质及其应用技巧》

函数奇偶性的性质及其应用技巧 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f ( ? x) ? ? f ( x) ,那么函数 f(x) 叫做奇函数;如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f ( ? x) ? f ( x) ,那么 函数 f(x)叫做偶函数。 其判定的法则是:(1)看关系式是否出现 f ( ? x) ? ? f ( x) (此为奇函数)或 f ( ? x) ? f ( x) (此为偶函数),(2)看定义域是否关于原点对称;(3)看图象是 否关于原点对称 (此为奇函数) 或关于 y 轴对称 (此为偶函数) 。 显然, 法则 (1) , (2)与法则(3)是等价的。也就是说,一个函数不满足这三条法则中的任何一 条, 它是非奇非偶函数; 如果函数 f(x)满足了法则 (1) , (2) 或者满足法则 (3) , 则可判定它的奇偶性。 因此,就奇偶性而言函数可以分为四类:①奇函数;②偶函数;③既是奇函 数又是偶函数;④非奇非偶函数。 设 f(x)是奇函数,如果当 x>0 时, f ( x) ? g( x) ,则 ?g( x)( x ? 0) f ( x) ? ? ??g( ? x)( x ? 0) (证明从略,类似情况略)。 设 f(x)是奇函数,如果当 x>0 时,f(x)是增函数,则当 x<0 时,f(x)仍然是增 函数(证明从略,类似情况略)。 一. 判断函数的奇偶性 例 1. 判定函数 f (x) ? 1 ? x 2 ? x 2 ? 1 的奇偶性。 解:函数的定义域满足 ? 2 ? ?1 ? x ? 0 ,即为 {?1,1} ,函数的图象表示两个点: ?x 2 ? 1 ? 0 ? (-1,0),(1,0)。其图象既关于原点对称,又关于 y 轴对称。从而函数 f(x) 既是奇函数又是偶函数。 二. 求函数的函数值 例 3. 设 f ( x) ? a x ? a ?x ? b ? log c ( x ? x 2 ? 1) ? x 2 ( 其 中 a,b,c 为 常 数 ),且 2 f ( ?2) ? 5 ,试求 f(2)的值。 解:设 g( x) ? a x ? a ?x ? b ? log c ( x ? x 2 ? 1) ,易证 g(x)是奇函数,故 2 g(?2) ? ?g(2) ,f ( x) ? g( x) ? x 2 于是 ? ?f ( ?2) ? g( ?2) ? 4 ?f (2) ? ?g( ?2) ? 4 (1) ( 2) 两式相加得: f (2) ? 8 ? f ( ?2) ? 8 ? 5 ? 3 ,即 f (2) ? 3 三. 函数的解析式 例 3. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f ( x) ? lg(x ? 1) ? 2x 2 ? 1 。试求 此函数的解析式。 解:(1)当 x=0 时, f (0) ? f ( ?0) ? ? f (0) ,于是 f (0) ? 0 ; (2)当 x<0 时, ?x ? 0 ,则 f (?x) ? lg( ?x ? 1) ? 2(?x) 2 ? 1 ,由于 f(x)是定义在 R 上的奇函数,则 f ( x) ? ?f (?x) ? ? l g ? ( x ? 1) ? 2x 2 ? 1 此函数的解析式为 ?? l g ? ( x ? 1) ? 2 x 2 ? 1( x ? 0) ? f ( x) ? ?0( x ? 0) ? 3 2 ?x ? 2 x ? 1( x ? 0) 例 4. 设 x ?( ?1,1) ,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, f ( x) ? g( x) ? 2x ? lg(1 ? x) , 求 f(x)的表示式。 解:f(x)是奇函数,有 f ( ? x) ? ? f ( x) ;g(x)是偶函数,有 g( ? x) ? g( x) ,则 ( ? x) ?f ( x) ? g( x) ? 2 x ? l g1 ? ( ? x) ?f ( ? x) ? g( ? x) ? 2( ? x) ? l g1 即? ?f ( x) ? g( x) ? 2 x ? lg(1 ? x) ?? f ( x) ? g( x) ? ?2 x ? lg(1 ? x) 两式相减得 f ( x) ? 2x ? lg( 1 2 1? x ) 1? x 四. 解不等式 例 5. 解不等式 ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4) ? 120 解 : 设 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4) , 因 f ( ? x) ? f ( x) , 则 f(x)是偶函数, 即 f(x)的奇数次方为 0, 可设 f ( x) ? 2x 4 ? Ax 2 ? 48 , 以 x=1 代入,得 2 ? 14 ? A ? 12 ? 48 ? (1 ? 1)(1 ? 2)(1 ? 3)(1 ? 4) ? (1 ? 1)(1 ? 2)(1 ? 3)(1 ? 4) 解得 A=70,即 f (x) ? 2x 4 ? 70x 2 ? 48 ,原不等式可化为: 2 x 4 ? 70x 2 ? 48 ? 120 即 x 4 ? 35x 2 ? 36 ? 0 即 ( x 2 ? 36)( x 2 ? 1) ? 0 因而 x 2 ? 1,x ? ?1 或 x>1 例 6. 设奇函数 f(x)的定义域是[-5,5]。当 x ?[0,5] 时,f(x)的图象如图 1, 则不等式 f(x)<0 的解是______________。 图1 解:根据奇函数图象关于原点成中心对称的性质,画出函数 y ? f ( x) 在区间 [-5,5]上的图象如图 2,易知不等式 f (

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