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空间向量的正交分解及坐标表示


3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

学习目标

1.知识与技能:了解空间向量的基本定理及其意义, 掌握空间向量的正交分解及坐标表示 2.过程与方法:类比平面向量的有关知识,得出空 间向量基本定理及坐标表示。

3.情感态度与价值观:用发展的联系的眼光看问题, 认识到事物都是在不断的发展变化的。
学习重点

空间向量基本定理
学习难点

探究空间向量基本定理的过程及定理的应用

一、预备知识
?? ?? ? 如果e1,2是同一平面内的两个不共线向量, e ? 那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有 ? ? ?? ? 一对实数?1,?2,使a=?1 e1+?2 e 2。 ?? ?? ? (e1、2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。) e

1、平面向量基本定理:

一、预备知识
2、下图中,如何用两个不共线向量 a, b 来表 ? 示p?
? yb
? b
p

P

p=xa+yb
? xa

O

a

3、在平面直角坐标系中,取与X轴Y轴方向 ? ? j 相同的两个单位向量 i 、作为基底,在图中 ? ? ? ? 作出 p =3i ? 2 j ,并写出 p 的坐标。
y

? 2j

2

? p

1
j

? 3i
i

O

1

2

3

x

? p

=(3,2)

二、探究与发现 ? ? ? k [探究一]设 i 、j 、 为由公共起点O的三个两两互相垂直的向 ? ? ? ? p i k 量,那么对于空间任意一个向量 ,如何用 j 、 、 来表示? z

P

p k

o
i

j

y

Q x

? p ? xi ? y j ? zk

[探究二]如果用任意三个不共面向量来代替上述两两互 相垂直的向量 a, b, c ,还有类似结论吗?

P p

c O

b

Q

p xa+yb ? zc =

空间向量基本定理:
如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任 一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得

p= xa+yb+zc。
把不共面的三个向量{a、b、c}叫做空间的一个基底

a,b,c都叫做基向量

注意: 1.空间向量的基底可以为零向量吗?
基向量不能为零向 量

2.空间向量的基底唯一吗?

任意三个不共面的向量都可作为空间向量的一个基底。

单位正交基底:如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直,且长都为1,则这个 基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示 空间直角坐标系:在空间选定一点O和一 个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点O为原点,分别 以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴:x轴、y轴、 z轴,它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个 z 空间直角坐标系O--xyz
e3 e1 O x e2 y

(2)空间向量的坐标表示

点O叫做原点,向量e1,e2,e3 都叫做坐标向量.通过每两个坐 标轴的平面叫做坐标平面。

(2)空间向量的坐标表示
给定一个空间坐标系和向 量 p,且设e1,e2,e3为坐标向量, 由空间向量基本定理,存在唯 一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间 直角坐标系O--xyz中的坐标, 记作.P=(x,y,z)
x

z

e3 e1

P Oe 2 y

三、空间向量的正交分解及其坐标表示 z 由空间向量基本定理,对 ? 于空间任一向量 p 存在唯 一的有序实数组(x,y, z)使

空间向量 ? ? p

? 记作 p =(x,y,z) ?? ? ? i , j , k 为基底

? ? ? ? p ? xi ? yj ? zk

P k i O j

P

y P′

有序实数组 一一对应 ( x, y, z ) ? ? ? ? ? ?
x

?

?

p ? xi ? y j ? zk

练习. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,以A为 坐标原点,以 AB,AD,AA1为x轴、y轴、z轴正 ? ? ? j k 方向建立空间直角坐标系,设向量i , ,为x ? ? ? 轴、y轴、z轴正方向的单位向量,用向量 k, , i j 表示向量AC1和BD1。

k j i

三、定理应用

例1如图,M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的 中点,P,Q是MN的三等分点。用向量 OA OB 、 、 OC O 表示 OP 和 OQ 。

M
Q

A

P
N

C

B

解:

1 2 OP ? OM ? MP ? OA ? MN 2 3 1 2 ? OA ? (ON ? OM ) 2 3 1 2 1 ? OA ? (ON ? OA ) 2 3 2
1 2 1 ? OA ? ? (OB ? OC ) 6 3 2 1 1 1 ? OA ? OB ? OC 6 3 3 1 1 OQ ? OM ? MQ ? OA ? MN 2 3 1 1 ? OA ? (ON ? OM ) 2 3

O

M
Q

A

P
N

C

B

1 1 1 ? OA ? (ON ? OA ) 2 3 2 1 1 1 ? OA ? ? (OB ? OC ) 3 3 2

练习3
(1)

(2)

OB? ? a ? b ? c BA? ? c ? b CA? ? a ? b ? c 1 1 OG ? a ? b ? c 2 2

四、学后反思
1、知识点:

2、问题探究过程的思路剖析:
[课下探究] 空间向量基本定理与课 本95页“思考“栏目中的第二问题 有什么联系?你有何体会?

五、作业:
P106 A组1. 2.

D’ A’ B’

C’

D A B

C

D’ A’ B’

C’

D A B

C

谢谢!再见!

练习 .空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c

点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则 MN=( ). 1 a -2 b +1 c O (A)
2 3 2 2 1 b + 1c (B)- 3 a + 2 2 1 1b - 2c (C) 2 a + 2 3 2 2 b- 1c (D) 3 a + 2 3

M A N C

B

练习2

空间向量运算 的坐标表示

一、向量的直角坐标运算

? ? a? ? (? a1 , ? a2 , ? a3 )(? ? R) ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3
? ? a // b ?

? ? 设 a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 ) , 则 ? ? a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ? ? a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 )

?? ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0.(a, b都不是零向量)

a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R)

若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)

=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个

向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.

二、距离与夹角的坐标表示
1.距离公式 (1)向量的长度(模)公式

? ? 2 2 2 已知 a ? ( x, y, z) ,则 a ? x ? y ? z
注意:此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。

(2)空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中,已知 A( x1 , y1 , z1 ) 、 B( x2 , y2 , z2 ) ,则

???? AB ?

( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 )

???? ???? ???? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 ?| AB |? AB?AB ?

d A, B ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 )
2 2

2

2.两个向量夹角公式
? ? 已知 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) ? ? ? ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 a?b 则 cos a , b ? ? ? ? a?b x12 ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2

注意:

? ? ? ? (1)当 cos ? a , b ?? 1 时, 与 b 同向; a

? ? ? a (2)当 cos ? a , b ?? ?1 时, 与

? b 反向; ? ? ? ? (3)当cos ? a , b ?? 0 时,a ? b 。

3.中点坐标公式 已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 , , ) 则线段 AB 的中点坐标为 ( 2 2 2

例1

如图, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 B1 E1 ? 中,
A1 B1 ,求 BE1 4
C1 E1 B1

? D1 F1 ?

与 DF1 所成的角的余弦值.
解:设正方体的棱长为1,如图建 立空间直角坐标系 O ? xyz ,则

z
D1 A1 F1

? 1 ? D(0 , 0 , 0) , F1 ? 0 , ,1 ? . ? 4 ? D y ???? ? 3 ? C ? O 1 ? ? BE1 ? ? 1 , , 1 ? ? (1 , 1 , 0) ? ? 0 , ? , 1 ? , 4 ? ? 4 ? ? A B ? ? ???? x ? ? 1 ? 15 ? 1? 1 ? 1 ? ???? ???? DF1 ?? 0 , ,1 ?? (0 , 0 , 0)? ? 0 , ,1 ? . BE1 ?DF1 ? 0 ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? , 16 ? 4? 4 ? 4 ? ? 4 ? 15 ???? ???? ? ? ???? ???? ? ? ???? 17 ???? 17 ? ? BE1 ?DF1 15 16 ? ? ? . | BE1 |? , | DF1 |? . ? cos ? BE1 , DF1 ?? ???? ???? ? | BE1 | ? | DF1 | 17 17 17 4 4 ? 4 4

? 3 ? B(1 , 1 , 0) , E1 ? 1 , , 1 ? , ? 4 ?

例 2 如图, 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E ,F 分别是 BB1 ,D1 B1 中点,求证: EF ? DA1
证明:如图,不妨设正方体的棱长为 1, ??? ? ???? ???? ? 分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz , 1 1 1 则 E (1 , 1 , ) , F ( , , 1) 2 2 2 ???? 1 1 1 EF ? ( ? , ? , ) , 所以 2 2 2 又 A1 (1 , 0 , 1) , D(0 , 0 , 0) , ???? ? 所以 DA1 ? (1, 0 , 1) ???? ???? ? 1 1 1 所以 EF ? DA1 ? ( ? , ? , ) ? (1 , 0 , 1) ? 0 , 2 2 2 ??? ???? ? ? 因此 EF ? DA1 ,即 EF ? DA1

例 3.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1中 , E 、F 分别是 BB1 、 的中点,求证: D1F ? 平面ADE . CD z 证明: 设正方体的棱长为1,

? AD ? D1F . 又 AE ? (0,1, ), 2 ??? ???? ? ? 1 1
2 2

??? ? ???? ? 1 则 AD ? ( ?1,0,0), D1F ? (0, , ?1), ??? ???? ? ? 1 2 AD ? D1F ? (?1,0,0) ? (0, , ?1) ? 0. ??? ???? ? ? ??? 2 1 ?

建立如图的空间直角坐标系

??? ? ??? ? ???? ? ? ? ? ? DA ? i , DC ? j , DD1 ? k .

D1

C1 B1

A1 D A

E F
B C

y

x

??? ???? ? ? AE ? D1 F ? (0,1, ) ? (0, , ?1) ? 0. ? AE ? D1F .

又A D ? A E= A , D1F ? 平面ADE . ?
另证 : 可以用三垂线定理证D 1F ? AD, AE ? AD得证.

例 4.如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, O 是 B1D1 的中点,求证:B1C∥面 ODC1.

? ? ? 1 ? ? ?? b ) 则 c ? a ? x ? ( ? a ? c? ? ?2 ? ? ? ? ∵ a , ,不同面, b c

???? ? ? ???? 1 ? ? ? ? ????? ? ????? ? ???? ? ? C a ) 证明:设 C1 B1 ? a , 1 D1 ? b , 1C ? c ,则 B1C ? c ? a , 1O ? ( ? b , C C ??? ???? ? 1 ? ? ? ? ? ???? ? ??? 2 ???? ? ? OD ? OD1 ? c ? ( ? a ? c ,若存在实数 x , y ,使得 B1C ? xOD ? yOC1成立, b ) 2
? 1 ? ? 1 ? 1 ? ?? y ? ? ( ? b ? ? ? (x ? y a ? (x ? y b ? xc a ) ) ) 2 2? ? 2 ?

?1 ( ) ?2 x ? y ? 1 ???? ??? ???? ? ? ? ? ? x ? 1 ∴ B1C ? OD ? OC1, ∴?1 (x ? y ? 0 即 ? ) ? ?y ?1 ?2 ?x ? 1 ? ? ? ???? ??? ???? ? ???? ? ??? ???? ? ? ?

b ? a ? c

∵ B1C, , 1 为共面向量,且 B1C不在OD OC1所确定的平面ODC1 内 OD OC , ???? ? ∴ B1C // 平面ODC1,即B1C // 平面ODC1 .

小结:
1、空间向量的坐标运算; 2、利用向量的坐标运算判断空间几何关 系的关键:
首先要选定单位正交基,进而确定各向量 的坐标,再利用向量的坐标运算确定几何关系。


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