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三角函数的图像变换


1.5 y=Asin(ωx+φ)的图像

新课引入
在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系:

新课引入
某次试验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象: y y 6
6
4 2 4 2

o
-2 -4 -6

2

4

6

8

x

o
-2 -4 -6

0.01

0.02

0.03

0.04

x

将测得的图像放大,可以看出它和正弦曲线很相似 以上两个函数都是形如y=Asin(ωx+φ) 的函数(其中A, ω, φ都是常数).

交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有 何关系?
答 : 交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线很相似, 从解析式来看,函数y ? sin x就是函数y ? A sin(?x ? ? )在 A ? 1, ? ? 1,? ? 0时的情况.

你认为怎样讨论参数? , ? , A对y ? A sin(?x ? ? )的 图象的影响?
先分别讨论 再整合

A, ? , ? 对函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的影响,然后

? y ? sin(x ? ? )的图象的影响 探究一:对 ? 2? 学生活动一:函数 y ? sin( x ? )周期是____
3
试用“五点法”画出该函数在一个周期内的图象?

1.列表
x

?

?
3

?
6

2? 3

7? 6
3? 2

5? 3

X ? x?

?
3
?
3 )

0
0

?
2

?
0

2?

y ? sin( x ?

1

-1

0

2.描点、连线

? sin x 思考1:比较函数 3 的图象的形状和位置,你有什么发现?
) 与y
y
y ? sin( x ?

y ? sin( x ?

?

?
3

y = sin x
7? 6 5? 3

观察思考

)

1

?

? o ?
3
-1

6

? 2? 2 3

π



x

函数 y ? sin( x ? 3 ) 的图象,可以看作是 sin x 图象上所有的点向 把函数 y ? ?
左 平移_____ 3 个单位长度而得到的. ____

?

? y ? sin(x ? ? ) 的图象的影响 探究一:对
结论: y ? sin(x ? ? )(其中? ? 0)的图象,
可以看作是把正弦曲线 上所有的点 向左(当? ? 0时)或向右(当? ? 0时)平行 移动? 个单位长度而得到 .
上述变换称为平移变换(左加右减)
?引起图象的左右平移,它改变图象的 位置,不改变图象的形状.?叫做初相.

? ? >0)对 y ? sin(?x ? ? )的图象的影响 探究二:( ? ? 学生活动二:函数 y ? sin( 2 x ? ) 周期是____
3
用“五点法”画出该函数在一个周期内的图象

1.列表
x
X ? 2x ?
?

?
6

?
12

?
3

?
?
3

0 0

?

7? 12

5? 6

2

? 0

3? 2

2?

y ? sin(2 x ?

3

)

1

-1

0

2.描点、连线

? ? >0)对 y ? sin(?x ? ? )的图象的影响 探究二:( ?
思考2:比较函数 y ? sin( 2 x ?
y ? sin( x ?

?
3

3

)与

) 的图象的形状和位置,你有

什么发现?
y
1

y ? sin (x ?
7? 5? 12 6

?
3

)
5? 3

?

?
3

?o ? ? ? ?
-1

π

6 123 2



x

y ? sin( 2 x ?

?

)

y
1

y ? sin (x ?
7? 5? 12 6

?
3

)
5? 3

?

?
3

?

?o ? ? ?
6 1 23 2
-1

π



x
观察思考

y ? sin( 2 x ?

?
3

)

函数 y ? sin( 2 x?? 3 ) 的图象,可以看作是 把 y ? sin( x ? 3 )的图象上所有的点横坐
1 不变 缩短 到原来的___ 2 倍(纵坐标____ 标____ )

?

而得到的.

? ? >0)对 y ? sin(?x ? ? )的图象的影响 探究二:(
结论: 函数y ? sin(?x ? ? )的图象, 可以看作
是把y ? sin(x ? ? )的图象上所有点的横坐 标缩短(当? ? 1时)或伸长(当0 ? ? ? 1时) 1 到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的 .

? 上述变换称为周期变换

ω决定函数的周期T=2π/ω, 它引起横向伸缩—小伸大缩

探究三:( A A>0)对 y ? A sin(?x ? ? )的图象的影响 学生活动三:函数 y ? 3 sin( 2 x ?

?

3

) 周期是____

?

试用“五点法”画出该函数在一个周期内的图象?

1.列表
x
? X ? 2x ? 3
y ? 3sin(2 x ?

?

?
6

?
12

?
3

0
?
3 )

?

7? 12

5? 6

2

?

3? 2

2?

0

3

0

-3

0

2.描点、连线

探究三:( A A>0)对 y ? A sin(?x ? ? )的图象的影响
y
3 2

? y=3sin(2x+ ) 3

观察思考

1

o
?

?
6

? 12

? 3

7? 12

5? 6

x

-1

-2 -3

? y=sin(2x + ) 3

探究三:( A A>0)对 y ? A sin(?x ? ? )的图象的影响

结论:函数y ? A sin(?x ? ? )的图象, 可以
伸长(当A ? 1时)或缩短(当0 ? A ? 1时) 到原来的A倍(横坐标不变)而得到.
A引起图象的纵向伸缩,决定函 数的最大(最小)值,我们把A 叫做振幅。

看作是把y ? sin(?x ? ? )上所有点的纵坐标

思考3: 怎么样由 y ? sin x的图象得到 y ? 2 sin( 2 x ?
1 、 画出函数y ? sin x的图象;
2、 把正弦曲线向左平移 个单位长度, 3

?
3

)的图象 ?

?

3 1 3、 将曲线上各点的横坐标 缩短为原来的 倍(纵坐标不变), 2

得到函数y ? sin(x ?

?

)的图象;

得到函数y ? sin(2 x ? )的图象; 3 4、 最后把曲线上各点的纵 坐标变为原来的 2倍(横坐标不变), ? 这时的曲线就是函数 y ? 2 sin(2 x ? )的图象. 3

?

思考4:怎样由y ? sin x的图象得到y ? A sin(?x ? ? )(其中
A ? 0, ? ? 0)的图象?

1 、 画出函数y ? sin x的图象;
2、 把正弦曲线向左 (或右 )平移 ? 个单位长度 , 得到函数 y ? sin( x ? ? )的图象 ;
3、 将曲线上各点的横坐标 变为原来的 倍(纵坐标不变), 1

?

得到函数y ? sin(?x ? ? )的图象;
4、 最后把曲线上各点的纵 坐标变为原来的 A倍(横坐标不变 ), 这时的曲线就是函数 y ? A sin(?x ? ? )的图象.

1

y o
?
?
2

步骤1
-1

3? 2

2?

x

(沿x轴平行移动)

y
步骤2
1
3? 2

2?

o
-1

?
2

?

x (横坐标伸长或缩短)

1

y o
?
2

步骤3
-1

?

3? 2

2?

x

(纵坐标伸长或缩短)
1

y o

?
2

步骤4
-1

?

3? 2

2?

x

1 ? 例1.画出函数 y ? 2 sin( x ? )的简图. 典例精析: 3 6 解: 将y ? sin x的图象
(1)向右平行平移

?
6

y ? sin( x ? )的图象 6 纵坐标不变 1 ? y ? sin( x ? )的图象 3 6
1 ? y ? 2 sin( x ? )的图象 3 6

个单位

?

(2)横坐标伸长到原来的 3倍
纵坐标不变

(3)纵坐标伸长到原来的 2倍
横坐标不变

y
3
2

1 ? y ? 2 sin( x ? ) 3 6
(3)纵坐标伸长到原来的 2倍
横坐标不变
2?
7? 2 13? 2

1

o
-1

? ? 6 2

?

x
1 ? y ? sin( x ? ) 3 6

-2 -3

y=sinx
(1)向右平行平移

?
6

y ? sin( x ?
个单位

?
6

)

纵坐标不变

(2)横坐标伸长到原来的 3倍 纵坐标不变

思考5:同学们还有没有其它方法来画该函 数的图象 还可以用”五点法”作图来画函数图象
1 ? 解: 令X ? x ? , 则y ? 2 sin X , 3 6 ? 且x ? 3( X ? ), 6
0
?
2
y

(3)连线 :

(1)列表 :

X x y

? 2

?
7? 2

3? 2

2

2?
13? 2
O -2

2?

5?

?
2

2?

7? 2

5?

13? 2

x

0

2

0

?2

0

(2)描点 :

? 7? 13? ( ,0), (2? ,2), ( ,0), (5? ,?2), ( ,0) 2 2 2

(1)为了得到函数 y ? 3 sin( x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? C ? ( A)向右平行移动 ( B )向左平行移动

1.选择题 :已知函数y ? 3sin( x ? )的图象为C. 5 ?

?

? ?
5

个单位长度. 个单位长度.

5 2? (C )向右平行移动 个单位长度. 5 2? ( D )向左平行移动 个单位长度. 5

1.选择题 :已知函数y ? 3sin( x ? )的图象为C. 5
(2)为了得到函数 y ? 3 sin(2 x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? B ? ( A)横坐标伸长到原来的 2倍, 纵坐标不变 1 ( B)横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 2 (C )纵坐标伸长到原来的 2倍, 横坐标不变 1 ( D)纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 2

?

?

1.选择题 :已知函数y ? 3sin( x ? )的图象为C. 5 ? (3)为了得到函数 y ? 4 sin( x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? C ? 4 ( A)横坐标伸长到原来的 倍, 纵坐标不变 3 3 ( B )横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 4 4 (C )纵坐标伸长到原来的 倍, 横坐标不变 3 3 ( D)纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 4

?

2.把y ? sin( 2 x ? )的图象向右平移 个单位, 3 6 这时图象所表示的函数 为? D ? A. y ? sin( 2 x ? ) 2 B. y ? sin( 2 x ? ) 6 3 C. y ? sin( 2 x ? ) 2 D. y ? sin 2 x

?

?

? ?

x ? x 3.要得到函数 y ? sin( ? )的图象, 可由y ? sin 2 6 2 ? 的图象? ? A. 向右平移 B. 向左平移 C. 向右平移 D. 向左平移

?
6

思考:
y ? sin x到 y ? A sin(?x ? ? )
的变化过程还有没有其他变换顺序

?
6

?
3

?
3

y=Asin(?x+?) 总结: y=sinx 方法1:(按 ? , ω, A 顺序变换)
y=sinx
向左?>0 (向右?<0)
平移|?|个单位

y=sin(x+?)

横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍 纵坐标不变

y=sin(?x+?)

横坐标不变

y=Asin(?x+?)

纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

总结: y=sinx

y=Asin(?x+?)

方法2:(按 ω, ? , A 顺序变换)
横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍

y=sinx

纵坐标不变

y=sin?x

向左?>0 (向右?<0) 平移|?|/?个单位

? ? ? y ? sin ??x ? ? ? ? sin ?? ( x ? )? ? ? ?
y=Asin(?x+?)

横坐标不变

纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

1、作正弦型函数y=Asin(?x+?) 的图象的方法:
(1)利用变换关系作图; (2)用“五点法”作图。 2、数形结合、由简单到复杂、特殊到一般的 化归数学思想


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