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数学:1.2.1《排列》课件(第一课时)(新人教A版选修2-3)


1.2

排列与组合 排列

1.2.1

第一课时
1

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.分类加法的一般计数原理是什么?

如果完成一件事有n类不同方案,在第 1类方案中有m1种不同的方法,在第2类 方案中有m2种不同的方法,…,在第n 类方案中有mn种不同的方法,那么完成 这件事的方法总数为 N=m1+m2+?+mn
2

2.分步乘法的一般计数原理是什么? 如果完成一件事需要n个步骤,做第1步 有m1种不同的方法,做第2步有m2种不 同的方法,?,做第n步有mn种不同的 方法,那么完成这件事的方法总数为 N=m1×m2×?×mn

3

3.利用两个计数原理可以求出一些 简单问题的方法数,但对于求较复杂问 题的方法数,还需要建立高层计数理论 才能有效解决.其中计算有序问题的方法 数就是排列原理.

4

5

探究(一):排列的概念

思考1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名 参加一项活动,其中1名同学参加上午的 活动,另1名同学参加下午的活动,如何 计算共有多少种不同的选法?
先从3名同学中选1名同学参加上午的活 动,有3种选法;再从其余2人中选1名同 学参加下午的活动,有2种选法,所以共 有3×2=6种选法.
6

思考2:“甲参加上午的活动,乙参加下 午的活动”与“甲参加下午的活动,乙 参加上午的活动”是否为同一种方法? 如何列举出这6种不同的选法? 甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙 思考3:如果将甲、乙、丙3人都看作元 素,并分别用字母a,b,c表示,那么上 述选派问题的本质是什么? 从3个不同元素的a,b,c中任取2个,按 照一定的顺序排成一列,求共有多少种 不同的排列方法.
7

思考4:从1,2,3,4这四个数字中,每 次取出3个排成一个三位数,如何计算共 可得到多少个不同的三位数?

先从4个数字中任取1个作百位数,有4种 方法;再从余下的3个数字中任取1个作 十位数,有3种方法;最后从剩下的2个 数字中任取1个作个位数,有2种方法, 所以共可得4×3×2=24个不同的三位数.
8

思考5:三位数123与213是否相同?如何 列举出这24个不同的三位数?
123 213 312 412 132 231 321 421 124 214 314 413 142 134 241 234 341 324 431 423 143 243 342 432

9

思考6:如果将1,2,3,4都看作元素, 并分别用字母a,b,c,d表示,那么上 述排数问题的本质是什么? 从4个不同元素的a,b,c,d中任取3个, 按照一定的顺序排成一列,求共有多少 种不同的排列方法. 思考7:上述两个事例都可归结为排列问 题,一般地,排列是什么概念? 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素, 按照一定的顺序排成一列,叫做从 n个 不同元素中取出m个元素的一个排列.
10

思考8:在同一个排列中是否有相同的元 素?元素相同的两个排列是否相同?两 个排列相同的充要条件是什么?

两个排列的元素完全相同,且元素的排 列顺序也相同. 思考9:从1,2,3三个数字中任取2个相 除所得的商的个数与任取2个相乘所得的 积的个数相等吗?二者有什么区别?
11

思考10:排列与数列有何共性和个性?

共性:都有顺序; 个性:数列中的元素必须是数,各元素 可以相同,元素个数可以有无数个.

12

探究(二):排列数概念与公式

思考1:从a,b,c,d四个元素中任取两 12个 个作排列,一共可得到多少个排列? 思考2:从4个不同元素中取出2个元素的 所有不同排列共有12个,我们称从4个不 同元素中取出2个元素的排列数是12,一 般地,排列数是什么概念? 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 的所有不同排列的个数,叫做从n个不同 元素中取出m个元素的排列数.
13

思考3:用符号 A 表示从n个不同元素 3 2 中取出m个元素的排列数,那么 A 3 , A4 分别等于多少? 2 3

m n

A3 = 6 A4 = 24

思考4:从n(n≥4)个不同元素中取出1个, 2个,3个,4个元素的排列数分别怎样表 示?这些排列数分别等于多少?

A = n
3 n

1 n

A = n (n - 1)
14

2 n

A = n (n - 1)(n - 2)

A = n (n - 1)(n - 2)(n - 3)

4 n

A = n

A = n (n - 1)
A = n (n - 1)(n - 2)
3 n

1 n 2 n

A = n (n - 1)(n - 2)(n - 3)
思考5:由归纳推理,一般地,A 的计 算公式是什么?怎样解释其正确性?
m n

4 n

A = n (n - 1)(n - 2) L (n - m + 1)
15

m n

思考6:公式

A = n (n - 1)(n - 2) L (n - m + 1)
( m,n∈N*,m≤n)叫做排列数公式, 这个公式在结构上有哪些特点?
共有m个因数相乘,最大的一个因数 是n,各因数为连续正整数等.

m n

16

思考7:代数式(55-n)(56-n)?(69-n) 用排列数符号怎样表示?

A

15 69- n
5 n- 1

思考8:排列数A (n ? 6) , A 等于什么? 5 An - 1 = (n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5)

n- 2 分别 n+1

A

n- 2 n+1

= (n + 1)n (n - 1) L 5 4
17

理论迁移

例1 判断下列“事情”是否为排列: (1)5人站成一排照相; 是 (2)从全班50名同学中挑选4人表演一 否 个小品节目; (3)从某6人中选取4人参加4×100m接 是 力赛; (4)将3本不同的书分发给3个人. 是
18

例2 某年全国足球甲级(A组)联赛 共有14个队参加,每队要与其余各队在 主、客场分别比赛一次,求总共要进行 多少场比赛.

A = 14 ? 13

2 14

182(场)

19

例3(1)从5本不同的书中选3本送给 3名同学,每人各1本,共有多少种不同 的送法? A 3 = 60(种) 5

(2)从5种不同的书中买3本送给3名同 学,每人各1本,共有多少种不同的送法?

5 = 125 (种)

3

20

小结作业

1.判断一件事是否为排列关键有两个 要素,一是取出的元素要考虑顺序,二 是事件中没有重复元素,否则就不能按 排列原理求方法数. 2.排列与排列数是两个不同的概念, 前者是指按照一定顺序排成的一列元素, 后者是指所有排列的个数,它可以用排 列数公式进行计算. m 3. An 是表示排列数的符号,解题时 要利用排列数公式算出其具体数值.
21

作业:

P20练习:1,5,6.

22


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