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选修2-2导数习题 绝对经典


导数概念与运算
一、基本知识 1.概念: (1)定义: (2)导数的几何意义: (3)求函数在一点处导数的方法: (4)导函数: 2.基本函数的导数: C '? _____(C 为常数)

( xn )'? ______, n ? N ?

(sin x)'? _ _ _ _ _ _

(cosx)'? _____ (e x )'? ______(a x )'? _____ (ln x)'? ______
3.运算法则: ?u( x) ? v( x)?' ? _______ ?u( x)v( x)?' ? _____ 4.复合函数的导数: 二、典型例题 例 1.若函数 f(x)在 x=a 处的导数为 A, 则 lim 例 2.求下列导函数 ① y ? x cos x
2
?x ?0

(loga x)'? ____

? u ( x) ? ? v( x) ? ' ? _ _ _ _ _ _ _ ? ?

f (a) ? f (a ? ?x) = ?x

, lim

?x ?0

f (a ? 4t ) ? f (a ? 5t ) ? t

ex ?1 ②y ? x e ?1

③ y ? sin 2 x
3

④ y ? ln(x ? 1 ? x 2 )

⑤ y ? x ? 10sin 2 x

⑥ y ? ln sin x ? 3 1 ? 2 x 2

例 4.求函数 y ? x ? 5x ? 4 (1)在 (0,4) 处的切线; (2)斜率为 3 的切线; (3)过 (0,3) 处的切线
2

三、课堂练习
2 1. (2007 全国 II,8)已知曲线 y ? x ? 3 ln x 的一条切线的斜率为 1 ,则切点的横坐标为(



4

2

A.3

B.2

C.1

D.0.5

2. 求导数 (1)y ? x 3 ? x 2 ? x ?

1 1 1 1 + ? 2 ? 3(2)y ? x x x x

(3)y ? (2 x ? 3)(x ? 2) ? (3x ? 1)(1 ? x) x +3

3 f ( x) ? x 3 ? f ' (?1) x 2 ? x ? 1 则 f ' (?1) ? ____, f (1) _____. 4.求过原点且与曲线 y ?

x?9 相切的切线方程. x?5

四、规范训练 1 曲线 y ? x ? 3x ? 6x ? 10 的切线中,斜率最小的切线方程为——————
3 2

2.已知y ? f (x)在x ? x 0处可导, 则 lim

[f (x)]2 ? [f (x 0 )2 ] ?( n ?? x ? x0

)A.f ' (x 0 ) B.f (x 0 )

C.[f ' (x 0 )]2

D.2f ' (x 0 )f (x 0 )

3.函数 y ? 3x ? x3 ,求过点 P(2,-2)的切线方程.

4. (’07 江西 11)设函数 f ( x ) 是 R 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线 y ? f ( x) 在 x ? 5 处的切线的斜

1 D. 5 5 x ? () x) ?() ? 5.’06 福建 11) ( 已知对任意实数 x , f (? ) ? f x g (, gx 有 , x ? 0 时,f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 , 且 则x ? 0时 ( ) f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 B. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 C.f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 D. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 A. 2 1 6. (’07 全国Ⅱ 8)已知曲线 y ? x ? 3ln x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( ) 2 4 1 A.3 B.2 C.1 D. 2 1 2 7. (’06 湖南 13)曲线 y ? 和 y ? x 在它们的交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形的面积是______ x 1 3 4 8. (’04 重庆文 15)已知曲线 y ? x ? ,则过点 P (2, 4) 的切线方程是______________ 3 3 3 9. (’07 全国Ⅱ 22)已知函数 f ( x) ? x ? x . (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 M (t,f (t )) 处的切线方程; (2) 设 a ? 0 ,如果过点 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,证明: ?a ? b ? f (a) .
率为( )A. ? B. 0 C.

1 5

导数的应用(单调性、极值、最值) 一、基本知识
设函数y ? f ( x )在区间(a , b)内可导

1.利用导数判断函数的单调性的充分条件 如果在(a , b)内,f ' ( x ) ? 0, 则f ( x )在此区间是增函数;
如果在(a , b)内,f ' ( x ) ? 0, 则f ( x )在此区间是减函数

(求单调区间的步骤:求定义域,求导数,解不等式) 2. 利用导数研究函数的极值:
已知函数y ? f ( x )及其定义域内一点 0 , 对于存在一个包含 0的开区间内的所有点 , 如果都有 x x x f ( x ) ? f ( x 0 ), 则称函数f ( x )在点x 0处取极大值,记作 极大值 ? f ( x 0 ), 并把x 0称为函数f ( x )的一个 y 极大值点;如果都有 ( x ) ? f ( x 0 ), 则称函数f ( x )在点x 0处取极小值,记作 极小值 ? f ( x 0 ), 并把x 0称作极小值点 f y .

(极值是局部概念,最值是整体概念;极大值可以小于极小值) (求极值的步骤:求导、解方程、判断、 结论) 3.利用导数研究函数的最值: (闭区间上的连续函数一定有最大和最小值) ① 函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值是函数 f(x)在区间[a,b]上的极大值与 f(a),f(b)中的最大者; ② 函数 f(x)在区间[a,b]上的最小值是函数 f(x)在区间[a,b]上的极小值与 f(a),f(b)中的最小者; (求最值的步骤:先求极值再与端点值比较) 二、典型例题 例 1(1)求函数 y ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 5 的单调区间、极值.

(2)求函数 y ? 3x 3 ? 9x ? 5 在 x ? [?2,2] 上的最大值与最小值

例 2.设 a 为实数,函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x ? a.

(Ⅰ )求 f (x) 的极值.(Ⅱ )当 a 在什么范围内取值时,曲线

y ? f ( x)与x 轴仅有一个交点.

例 3 已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx ? 3(m ? 1) x ? nx ? 1 的一个极值点,其中 m, n ? R, m ? 0 , (I)求 m 与
3 2

(II)求 f ( x ) 的单调区间; n 的关系式; (III)当 x?? ?1,1? 时,函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值范围.

例 4.函数 f ( x) ? 4 x ? ax2 ?

2 3 x 在区间 ?? 1,1? 上增,求实数 a 的取值范围. 3

例 5. 设函数 f ( x) ? ax2 ? b ln x , 其中 ab ? 0 . 证明: ab ? 0 时, 当 函数 f ( x ) 没有极值点; ab ? 0 时, 当 函数 f ( x ) 有且只有一个极值点,并求出极值.

三、课堂练习 1.在(a,b)内,f‘(x)>0 是 f(x)在( a,b) 内单调增加的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 )

D.既不充分又不必要条件 )

2.可导函数 y ? f (x) ,f‘(x0)=0 是函数 y ? f (x) 在 x0 处取得极值的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分又不必要条件 )

3.关于函数 y ? f (x) 在区间 [ a, b] 上的极值与最值,下列说法正确的是(

A.极大值一定大于极小 B.最大值一定是极大值 C.极小值一定不是最大值 D.最小值一定小于极小值
3 2 4 已知 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ,当 x ? ?1 时取的极大值 7,当 x ? 3 时取得极小值,求极小值以及对应

的 a,b,c

5.函数 y ? ax ? bx ? cx ? d 的图象与 y 轴的交点为 P,且曲线在 P 点处的切线方程为 12x-y-4=0,若
3 2

函数在 x=2 处取得极值 0,试确定函数的解析式.

1 2 x ? bx ? c ,若函数 f (x) 的图象有与 x 轴平行的切线.(1)求 b 的取值范围; 2 2 (2)若函数 f (x) 在 x=1 处取得极值,且 x ? [?1,2] 时, f ( x) ? c 恒成立,求 c 的取值范围
6.已知函数 f ( x) ? x ?
3

四.规范训练:
1 1 1在区间 ,]上,函数f ( x ) ? x 2 ? px ? q与g( x ) ? 2x ? 2 [ 2 2 x 1 在同一点取得相同的最 小值,那么f ( x )在[ ,]上的最 2 2 13 5 大值( )A. B. C.8 D.4 4 4

5、已知f ( x) ? ax3 ? 3 x 2 ? x ? 1在R上是减函数, 求a的取值范围 .

6、已知函数f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? tx ? t在区间(?1,1)上 是增函数,求 的取值范围 t .

2、已知f ( x ) ? 2x3 ? 6x2 ? m(m为常数),在[?2,2]上有最大 值3,那么此函数在?2,]上的最小值( [ 2 A. ? 37 B. ? 29 C. ? 5 ) D. ? 11

7、若三次函数 ( x) ? x 3 ? kx在( ??,??)内是增函数, f 则实数k的取值范围 .

3若 函 数 ? x 3 ? bx 2 ? cx在 区 间 ??,0)及 y ( [2,??)是 增 函数 , 在 ,2)是 减 函数 , (0 求 此 函数 在 , 上 的 值域 [-1 4]

8、若函数f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? (a ? 1) x ? 1在区间 3 2 (1,4)内是减函数,在 6,??)为增函数, (

求实数a的取值范围 .

4若函数f ( x) ? loga ( x 3 ? ax)(a ? 0, a ? 1)在区间 1 (? ,0)内单调递增,则 的取值范围_________ a 2

定积分与微积分基本定理 一、基本知识 1.一般函数定积分的定义: (被积函数,积分上限,积分下限) 2. 定积分的几何意义: 3.定积分的物理意义: 4.微积分基本定理: 5.定积分的性质: (1)

? cf ( x)dx ? c?
a b a

b

b

f ( x)dx ( c 为常数)
b

a

(2) f ( x), g ( x) 可积,则 6.常见函数的原函数:

? ? f ( x) ? g( x)?dx ? ?

f ( x)dx ?

a

?

b

g ( x)dx (3)

a

?

b

f ( x)dx ?

a

?

c

f ( x)dx ?

a

? f ( x)dx
c

b

① 常数函数: f ( x) ? c 的原函数为 F ( x) ? cx ? c' ( c ' 为任意常数) ;
n ?1 ② 幂函数: f ( x) ? xn (n ? ?1) 的原函数为 F ( x) ? x ? c' ( c ' 为任意常数) ; n ?1

③ 反比例函数: f ( x) ?

1 的原函数为 F ( x) ? ln | x | ?c' ( c ' 为任意常数) ; x

④ 指数函数: f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 的原函数为 F ( x) ?

ax ? c' ( c ' 为任意常数) ; ln a

⑤ 正弦函数: f ( x) ? sin x 的原函数为 F ( x) ? ? cos x ? c' ( c ' 为任意常数) ; ⑥ 余弦函数: f ( x) ? cos x 的原函数为 F ( x) ? sin x ? c' ( c ' 为任意常数) ; ⑦ 对数函数: f ( x) ? ln x 的原函数为 F ( x) ? x ln x ? x ? c' ( c ' 为任意常数) ; 二、典型例题 例 1.求下列定积分 (1) (3)

? ?

3

?1 2

(3x 2 ? 2 x ? 1)dx ? 1 dx ? x

(2)

?

?
2

cos xdx ?

0

1

例 2.求面积 (1) 曲线 y ? sin x 与 x 轴在区间 ?0,2? ? 上所围成阴影部分的面积。

(2)

抛物线 y ? x 2 与直线 y ? 4 所围成的图形的面积。 (3)计算由 y ? x 2 和 x ? y 2 所围成的图形的面积。

例 3.计算

?

2

?2

x 2 ? x dx ?

例 4.求曲线 x ? y 2 , x ? y ? 2 所围成的面积。

例 5.过坐标原点作曲线 y ? ln x 的切线 l ,该切线 l 与曲线 y ? ln x 及 x 轴围成图形为 D。 (1)求切线 l 的方 程。 (2)求区域 D 的面积 S。

三、课堂练习 1.用 S 表示图中阴影部分的面积,则 S ? (



A.
2.

?

c a

[ f ( x) ? g ( x)]dx B.
) A.

?

c a

[ g ( x) ? f ( x)]dx C.

?

c a

g ( x) ? f ( x) dx D.

?

b a

f ( x ) ? g ( x ) dx

?
1

1 dx ? ( ?2 x

?3

1 1 ? B. ln 3 ? ln 2 C. ln 2 ? ln 3 D. 不存在 3 2

3.求下列积分值: ①

?

2 1 1 6 1 dx ;②? xdx ;③? | x | dx ;④? ( x 2 ? 1)dx ;⑤? (2 x ? )dx 1 ?1 ?1 ?1 2 x

x 4.计算 y 2 ? , x ? 1 所围成的图形的面积 2

四、规范训练 1.若

?

a 0

? 1 ? ? x3dx ? 4 ,则 a ? _________; 若 ? 3 sin xdx ? (? ? a ? ) ,则 a ? ___ . a 2 2 2

2.求下列积分值:

?

?
0

sin xdx

? | x ? 1 | dx ? ?
0

2

2 ?1

| x | dx
1 ,试求: (1)切点 A 12

3.在曲线 y ? x2 ( x ? 0) 上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围的面积为 的坐标; (2)过切点 A 的切线方程.

4.已知 f ( x) ?

? (3t
0

x

2

(2)求 g (x) ? 2bt ? c)dt ( x ? R )且 g ( x) ? f ( x) ? f ' ( x) 是奇函数.(1)求 b, c 的值;

的单调区间与极值.


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