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函数与导数(含解析)


泾县中学

李文豹

二轮复习讲义---函数与导数
1.已知 P ( x, y ) 为函数 y ? 1 ? ln x 图像上一点, O 为坐标原点, 记直线 OP 的斜率 k ? f ( x) 。 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)设 F ( x) ? x ?

1 ? f ( x) ,求函数 F ( x) 的最小值。 x

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2.已知 f ( x ) ? x ln x, g ( x ) ? ? x 2 ? ax ? 3. (1)求函数 f ( x) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值; (2)对一切 x ? (0, ??), 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)证明:对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ?

1 2 ? 成立. x ex e

然这个条件不是 f ( x) ? g ( x) 的等价条件,但是有此条件能充分说明 f ( x) ? g ( x) 成立,该

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3.已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ?

1 2 ax ? 2 x . 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? 1 与 x ?

1 处的切线相互平行,求 a 的值及切线斜率; 2

?1 ? ?3 ? (Ⅲ)设函数 f ( x) 的图像 C1 与函数 g ( x) 的图像 C2 交于 P、Q 两点,过线段 PQ 的中点作 x
(Ⅱ)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在区间 ? ,1? 上单调递减,求 a 的取值范围; 轴的垂线分别交 C1、C2 于点 M、 N, 证明: C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不可能平行.

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1 ? ax ? 2 , x 1 ∵在 x ? 1 与 x ? 处的切线相互平行, 2 a 1 ∴ h?(1) ? h?( ) ,即 ?a ? 3 ? ? ? 4 ,解得 a ? ?2 , 2 2 k ? h?(1) ? 5 . 1 (Ⅱ)∵ h( x ) 在区间 ( ,1) 上单调递减, 3 1 ∴ h?( x) ? 0 在区间 ( ,1) 上恒成立, 3 1 2 1 则 ? ax ? 2 ? 0 ,即 a ? 2 ? , x x x 1 1 2 ∵ x ? ( ,1) ,∴ 3 ? 2 ? ? 15 , 3 x x ∴ a ? 15 .
则 h?( x) ?

2 2 4.已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2a ln x ( x ? 0 , a ? R ) , g ( x) ? ln x ? 2a ?
2

1 . 2

(Ⅰ)证明:当 a ? 0 时,对于任意不相等的两个正实数 x1 、 x 2 ,均有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 ? f( 1 ) 成立; 2 2
(Ⅱ)记 h( x) ?

f ( x) ? g ( x) ,若 y ? h?( x) 在 ?1,?? ? 上单调递增,求实数 a 的取值范围; 2

【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) a ? ?2
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【解析】

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5.已知函数

f ( x) ? x 3 ? 2ax 2 ? 3x, x ? R.

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的极大值和极小值; (Ⅱ)当 x ? (0,??) 时, f ( x) ? ax 恒成立,求 a 的取值范围.

令 g ( x) ? x ? 2ax ? (a ? 3),
2

因为 ? ? (?2a) 2 ? 4(a ? 3) ? 4(a ? ) 2 ? 11 ? 0 故 x ? 2ax ? (a ? 3) ? 0在(0,??) 上恒成立等价于 a ? 0,且g ? 0 ? ? 0, 得a ? ?3
2

1 2

考点:函数极值,二次函数恒成立问题.
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6.已知实数 a ? 0, 函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1 ( e 为自然对数的底数) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间及最小值; (Ⅱ)若 f ( x) ≥ 0 对任意的 x ? R 恒成立,求实数 a 的值; (Ⅲ)证明:

ln(1 ?

? ? 2 4 8 2n * ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ? ? ln ?1 ? n ?1 ? ? 1 (n ? N ). n 2?3 3? 5 5?9 ? (2 ? 1)(2 ? 1) ?

试题解析: (I)当 a ? 0 时, f ?( x) ? e x ? a ,

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7.已知函数

f ( x) ? (ax2 ? bx ? c) ? e x 在 ?0,1? 上单调递减且满足 f (0) ? 1, f (1) ? 0 .

(1)求 a 的取值范围. (2)设 g ( x) ? f ( x) ? f ( x) ,求 g ( x) 在 ?0,1? 上的最大值和最小值.
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8.已知函数 f(x)=2ax-

1 -(2+a)lnx(a≥0). x

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ? x ? 的极值;
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(Ⅱ)当 a>0 时,讨论 f ? x ? 的单调性; (Ⅲ)若对任意的 a∈(2, 3),x1, x2∈[1, 3],恒有 (m ? ln 3)a ? 2ln 3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成 立,求实数 m 的取值范围。

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