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云南省保山市腾冲五中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


云南省保山市腾冲五中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分). 1. (5 分)设集合 A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=() A.{1,2,3} B.{1,2,4} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4} 2. (5 分)过空间任意一点引三条直线,它们所确定的平面个数是() A.1 B. 2 C. 3 D.1 或 3 3. (5 分)函数 f(x)=x +x﹣3 的零点落在的区间是() A. B. C.
3

D.

4. (5 分)若三点 A(3,1) ,B(﹣2,b) ,C(8,11)在同一直线上,则实数 b 等于() A.2 B. 3 C. 9 D.﹣9 5. (5 分)已知直线 mx+4y﹣2=0 与 2x﹣5y+n=0 互相垂直,垂足为 P(1,p) ,则 m﹣n+p 的 值是() A.24 B.20 C. 0 D.﹣4 6. (5 分)设 a∈ 是() A.1,3 ,则使函数 y=x 的定义域是 R,且为奇函数的所有 a 的值
a

B.﹣1,1

C.﹣1,3

D.﹣1,1,3

7. (5 分)已知两个不同的平面 α,β 和两条 不重合的直线 m,n,则下列命题正确的是() A.若 m∥n,n?α,则 m∥α B. 若 α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则 m⊥β C. 若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β D.若 m⊥β,m?α,则 α⊥β 8. (5 分)设 a=log0.70.8,b=log1.10.9,c=1.1 ,那么() A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c
2 2 0.9

D.c<a<b

9. (5 分)已知圆 C: (x﹣a) +(y﹣2) =4(a>0)及直线 l:x﹣y+3=0,当直线 l 被 C 截 得弦长为 2 时,则 a 等于() A. B.2﹣ C. ﹣1 D. +1 10. (5 分)一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有下列结论:①AB⊥EF; ②AB 与 CM 成 60°角;③EF 与 MN 是异面直线;④MN∥CD,其中正确的是()

A.①②

B.③④

C.②③

D.①③

11. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= (3)的值为() A.﹣1

,则 f

B . ﹣2

C. 1

D.2

12. (5 分)已知四棱锥 P﹣ABCD 的三视图如图,则四棱锥 P﹣ABCD 的全面积为()

A.

B.

C. 5

D.4

二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 2 2 13. (5 分)由动点 P 向圆 x +y =1 引两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=60°,则 动点 P 的轨迹方程为. 14. (5 分)若两球的表面积之比为 1:2,则它们的体积比为. 15. (5 分)已知点 P 为直线 4x﹣y﹣1=0 上一点,P 到直线 2x+y+5=0 的距离与原点到这条直 线的距离相等,则点 P 的坐标是. 16. (5 分)已知正四棱锥的体积为 12,底面对角线长为 于°. ,则侧面与底面所成的二面角等

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (10 分)求经过两条直线 2x﹣y﹣3=0 和 4x﹣3y﹣5=0 的交点,并且与直线 2x+3y+5=0 垂 直的直线方程.

18. (12 分) (1)求过点 A(2,4)向圆 x +y =4 所引的切线方程 2 2 (2)求直线 x+y﹣2 =0 截圆 x +y =4 得的劣弧所对的圆心角. 19. (12 分)如图,在四棱锥 V﹣ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 VA⊥底面 ABCD,E、 F、G 分别为 VA、VB、BC 的中点. (I)求证:平面 EFG∥平面 VCD; (II)当二面角 V﹣BC﹣A、V﹣DC﹣A 分别为 45 °、30°时,求直线 VB 与平面 EFG 所成的 角.

2

2

20. (12 分)如图所示,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点. (1)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值; (2)求 BM 与平面 A1B1M 所成的角大小.

21. (12 分)如图,已知三棱锥 A﹣BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 中点,D 为 PB 中 点,且△ PMB 为正三角形. (1)求证:DM∥平面 APC; (2)求证:平面 ABC⊥平面 APC; (3)若 BC=4,AB=20,求三棱锥 D﹣BCM 的体积.

22. (12 分)若非零函数 f(x)对任意实数 a,b 均有 f(a+b)=f(a)?f(b) ,且当 x<0 时, f(x)>1. (1)求证:f(x)>0; (2)求证:f(x)为减函数; (3)当 f(4)= 时,解不等式 f(x﹣3)?f(5)≤ .

云南省保山市腾冲五中 2014-2015 学年高一上学期期末数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分). 1. (5 分)设集合 A={1,2},B={1,2,3},C={ 2,3,4},则(A∩B)∪C=() A.{1,2,3} B.{1,2,4} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4} 考点: 交、并、补集的混合运算. 分析: 属于集合简单运算问题.此类问题只要审题清晰、做题时按部就班基本上就不会出 错. 解答: 解:∵集合 A={1,2},B={1,2,3}, ∴A∩B=A={1,2}, 又∵C={2,3,4}, ∴(A∩B)∪C={1,2,3,4} 故选 D. 点评: 考查的是集合交、并、补的简单基本运算. 2. (5 分)过空间任意一点引三条直线,它们所确定的平面个数是() A.1 B. 2 C. 3 D.1 或 3 考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 空间位置关系与距离.

分析: 根据三条直线的位置关系求得平面的个数. 解答: 解:当三条直线在同一个平面内时,它们所确定的平面个数是一个; 当三条直线不在同一个平面内时,它们所确定的平面个数是 3 个; 故选 D. 点评: 本题考查了直线与平面;注意三条直线是否共面来解答.要全面考虑. 3. (5 分)函数 f(x)=x +x﹣3 的零点落在的区间是() A. B. C. 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 把区间端点函数值代入验证即可. 解答: 解:∵f(x)=x +x﹣3 单调递增, ∴f(0)=﹣3<0 f(1)=1+1﹣3=﹣1<0 f(2)=8+2﹣3=7>0 ∴f(x)=x +x﹣3 在区间( 1,2)有一个零点, 故选:B. 点评: 考查方程的根和函数零点之间的关系,即函数零点的判定定理,体现了转化的思想 方法,属基础题. 4. (5 分)若三点 A(3,1) ,B(﹣2,b) ,C(8,11)在同一直线上,则实数 b 等于() A.2 B. 3 C. 9 D.﹣9 考点: 专题: 分析: 解答: 三点共线. 直线与圆. 根据三点 A、B、C 共线?kAB=kAC,即可求出. 解:∵三点 A(3,1) ,B(﹣2,b) ,C(8,11)在同一直线上, ,解得 b=﹣9.
3 3 3

D.

∴kAC=kAB,即

故选 D. 点评: 熟练掌握三点 A、B、C 共线?kAB=kAC 是解题的关键. 5. (5 分)已知直线 mx+4y﹣2=0 与 2x﹣5y+n=0 互相垂直,垂足为 P(1,p) ,则 m﹣n+p 的 值是() A.24 B.20 C. 0 D.﹣4 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 先由两直线平行斜率相等,求出 m,第一直线的方程确定了,把垂足坐标代入,可 求 p,垂足坐标确定了. 把垂足坐标代入第二条直线的方程可得 n,进而求得 m﹣n+p 的值. 解答: 解:∵直线 mx+4y﹣2=0 与 2x﹣5y+n=0 互相垂直,



× =﹣1,

∴m=10, 直线 mx+4y﹣2=0 即 5x+2y﹣1=0,垂足(1,p)代入得,5+2p﹣1=0,∴p=﹣2. 把 P(1,﹣2)代入 2x﹣5y+n=0,可得 n=﹣12, ∴m﹣n+p=20, 故选 B. 点评: 本题考查两直线垂 直的性质,垂足是两直线的公共点,垂足坐标同时满足两直线的 方程. 6. (5 分)设 a∈ 是() A.1,3
a

,则使函数 y=x 的定义域是 R,且为奇函数的所有 a 的值

B.﹣1,1

C.﹣1,3

D.﹣1,1,3

考点: 指数函数的定义、解析式、定义域和值域;函数奇偶性的判断. 专题: 计算题. 分析: 分别验证 a=﹣1,1, ,3 知当 a=1 或 a=3 时,函数 y=x 的定义域是 R 且为奇函数. 解答: 解:当 a=﹣1 时,y=x 的定义域是 x|x≠0,且为奇函数; 当 a=1 时,函数 y=x 的定义域是 R 且为奇函数; 当 a= 时,函数 y= 的定义域是 x|x≥0 且为非奇非偶函数.
﹣1

a

当 a=3 时,函数 y=x 的定义域是 R 且为奇函数. 故选 A. 点评: 本题考查幂函数的性质和应用,解题时要熟练掌握幂函数的概念和性质. 7. (5 分)已知两个不同的平面 α,β 和两条不重合的直线 m,n,则下列命题正确的是() A.若 m∥n,n?α,则 m∥α B. 若 α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则 m⊥β C. 若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β D.若 m⊥β,m?α,则 α⊥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理分别分析选择. 解答: 解:对于 A,若 m∥n,n?α,则 m∥α 或 m?α,所以 A 不正确. 对于 B,若 α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则 m⊥β,或 m?β,或 m?β,所以 B 不正确. 对于 C,若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β 或 α∩β=l,所以 C 不正确. 对于 D,若 m⊥β,m?α,则 α⊥β,满足平面与平面垂直的判定定理,所以 D 正确. 故选:D. 点评: 本题考查平面与平面的位置关系的判断,直线与平面的位置关系的判断,基本知识 的考查. 8. (5 分)设 a=log0.70.8,b=log1.10.9,c=1.1 ,那么()
0.9

A.a<b<c

B.a<c<b

C.b<a<c

D.c<a<b

考点: 对数值大小的比较;指数函数与对数函数的关系. 专题: 计算题. 分析: 对 a、b、c 三个数,利用指数、对数的性质,进行估算,和 0、1 比较即可. 解答: 解:a=log0.70.8>0, 且 a=log0.70.8<log0.70.7=1. b=log1.10.9<log1.11=0. 0.9 c=1.1 >1. ∴c>1>a>0>B、即 b<a<c、 故选 C. 点评: 本题考查对数值的大小比较,指数函数、对数函数的关系,是基础题. 9. (5 分)已知圆 C: (x﹣a) +(y﹣2) =4(a>0)及直线 l:x﹣y+3=0,当直线 l 被 C 截 得弦长为 2 时,则 a 等于() A. B.2﹣ C. ﹣1 D. +1 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 计算题. 分析: 由弦长公式求得圆心(a,2)到直线 l:x﹣y+3=0 的距离 等于 1,再根据点到直线 的距离公式得圆心到直线 l:x﹣y+3=0 的距离也是 1,解出待定系数 a. 解答: 解:圆心为(a,2) ,半径等于 2, 由弦长公式求得圆心(a,2)到直线 l:x﹣y+3=0 的距离为 = =1,
2 2

再由点到直线的距离公式得圆心到直线 l:x﹣y+3=0 的距离 1=

,∴a=

﹣1.

故选 C. 点评: 本题考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,弦长公式的应用. 10. (5 分)一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有下列结论:①AB⊥EF; ②AB 与 CM 成 60°角;③EF 与 MN 是异面直线;④MN∥CD,其中正确的是()

A.①②

B.③④

C.②③

D.①③

考点: 异面直线的判定;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 作图题.

分析: 将其还原成正方体,如图所示,依据图形、正方体的几何性质进行判断各线的位置 关系. 解答: 解:将正方体纸盒展开图还原成正方体,如图知,AB⊥EF,EF 与 MN 是异面直线, AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确, 故应选 D

点评: 考查正方体的几何性质,线线的位置关系,本题涉及到了直线间的几个常见位置关 系如平行、垂直、异面.

11. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= (3)的值为() A.﹣1

,则 f

B . ﹣2

C. 1

D.2

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用分段函数的性质和对数的运算法则求解. 解答: 解:∵f(x)= ,

∴f(3)=f(2)﹣f(1) =f(1)﹣f(0)﹣f(1) =﹣f(0) =﹣log24 =﹣2. 故选:B. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意对数性质的灵活运用. 12. (5 分)已知四棱锥 P﹣ABCD 的三视图如图,则四棱锥 P﹣ABCD 的全面积为()

A.

B.

C. 5

D.4

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 三视图复原的几何体是四棱锥,判断底面形状,四棱锥的特征,利用三视图的数据, 求出全面积即可. 解答: 解:三视图复原的几何体是四棱锥,底面是边长为 1 的正方形,四棱锥的一条侧棱 垂直底面高为 2, 所以四棱锥的全面积为:S=1×1+2× +2× =3+ .

故选 A. 点评: 本题是基础题,考查三视图与直观图的关系,三视图的全面积的求法,考查计算能 力. 二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分 ,共 20 分) 2 2 13. ( 5 分)由动点 P 向圆 x +y =1 引两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=60°,则 2 2 动点 P 的轨迹方程为 x +y =4. 考点: 轨迹方程;圆的切线的性质定理的证明. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先设点 P 的坐标为(x,y) ,则可得|PO|,根据∠APB=60°可得∠AP0=30°,判断出 |PO|=2|OB|,把|PO|代入整理后即可得到答案. 解答: 解:设点 P 的坐标为(x,y) ,则|PO|= ∵∠APB=60° ∴∠AP0=30° ∴|PO|=2|OB|=2 ∴
2 2

=2

即 x +y =4 2 2 故答案为:x +y =4 点评: 本题主要考查了求轨迹方程的问题.属基础题. 14. (5 分)若两球的表面积之比为 1:2,则它们的体积比为 1:2 .

考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 设两个球的半径分别为 r1、r2,根据球的表面积公式算出 r1:r2=1: 的体积公式即可算出这两个球的体积之比. 解答: 解:设两个球的半径分别为 r1、r2,根据球的表面积公式, ∵两个球的表面积之比为 1:2, ∴r1:r2=1: 因此,这两个球的体积之比为 1:2 故答案为:1:2 .

,由此结合球

点评: 本题给出两个球的表面积之比,求它们的体积之比.着重考查了球的表面积公式和 体积公式等知识,属于基础题. 15. (5 分)已知点 P 为直线 4x﹣y﹣1=0 上一点,P 到直线 2x+y+5=0 的距离与原点到这条直 线的距离相等,则点 P 的坐标是( )或(﹣ ,﹣7) .

考点: 点到直线的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: 设 P(a,b) ,则由题意得 解答: 解:设 P(a,b) , 则由题意得 , ,由此能求出点 P 的坐标.

解得





∴P( 故答案为: (

)或 P(﹣ ,﹣7) . )或(﹣ ,﹣7) .

点评: 本题考查点的坐标的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意点到直线的距离公 式的合理运用. 16. (5 分)已知正四棱锥的体积为 12,底面对角线长为 于 60°. ,则侧面与底面所成的二面角等

考点: 平面与平面之间的位置关系;棱锥的结构特征. 专题: 计算题. 分析: 先根据底面对角线长求出边长,从而求出底面积,再由体积求出正四棱锥的高,求 出侧面与底面所成的二面角的平面角的正切值即可. 解答: 解: 正四棱锥的体积为 12, 底面对角线的长为 , 底面边长为 2 , 底面积为 12, 所以正四棱锥的高为 3, 则侧面与底面所成的二面角的正切 tanα= , ∴二面角等于 60°, 故答案为 60°

点评: 本题主要考查了平面与平面之间的位置关系,以及棱锥的结构特征,考查空间想象 能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (10 分)求经过两条直线 2x﹣y﹣3=0 和 4x﹣3y﹣5=0 的交点,并且与直线 2x+3y+5=0 垂 直的直线方程. 考点: 直 线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的一般式方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 可求得两条直线 2x﹣y﹣3=0 和 4x﹣3y﹣5=0 的交点坐标与所求直线的斜率,利用直 线的点斜式即可求得答案. 解答: 解:由已知得: ,解得两直线交点为(2,1) ,

∵直线 2x+3y+5=0 的斜率为﹣ , ∴所求直线的斜率为 ; 故所求直线的方程为 y﹣1= (x﹣2) ,即 3x﹣2y﹣4=0. 点评: 本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系,考查运算能力,属于基础题. 18. (12 分) (1)求过点 A(2,4)向圆 x +y =4 所引的切线方程 2 2 (2)求直线 x+y﹣2 =0 截圆 x +y =4 得的劣弧所对的圆心角. 考点: 直线与圆相交的性质;圆的切线方程. 专题: 直线与圆. 2 2 分析: (1)根据直线和圆相切的等价条件即可求出圆 x +y =4 的切线方程. (2)根据直线和圆相交的性质即可得到结论. 解答: 解: (1)当直线斜率不存在时,直线方程为 x=2,满足条件; 若直线斜率存在设斜率为 k,则切线方程为 y﹣4=k(x﹣2) ,即 kx﹣y+4﹣2k=0, 由圆心到直线的距离 d=2 得 ,
2 2

解得 k= ,即切线方程为 3x﹣4y+10=0, 故切线方程为 x=2 或 3x﹣4y+10=0. (2)因为直线 x+y﹣2 =0 的斜率 k= , 所以直线的倾斜角为 120°,故弦、两半径围成一个等边三角形 所以所求的角为 .

点评: 本题主要考查直线和圆相切和相交的应用,根据圆心和直线的距离和半径之间的关 系是解决本题的关键. 19. (12 分)如图,在四棱锥 V﹣ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 VA⊥底面 ABCD,E、 F、G 分别为 VA、VB、BC 的中点. (I)求证:平面 EFG∥平面 VCD; (II) 当二面角 V﹣BC﹣A、 V﹣DC﹣A 分别为 45°、 30°时, 求直线 VB 与平面 EFG 所成的角.

考点: 与二面角有关的立体几何综合题;平面与平面平行的判定;直线与平面所成的角. 专题: 计算题;证明题. 分析: (I)由已知中 E、F、G 分别为 VA、VB、BC 的中点,根据三角形中位线定理可得, EF∥CD,FG∥VC,由面面平行的判定定理可得平面 EFG∥平面 VCD; (II) 方法一: 由已知中二面角 V﹣BC﹣A、 V﹣DC﹣A 分别为 45°、 30°, 我们可得, ∠VDA=30°, ∠VBA=45°, 作 AH⊥VD, 垂足为 H, 则 AH⊥平面 VCD, 即 AH 即为 B 到平面 VCD 的距离, 则直线 VB 与平面 EFG 所成的角等于直线 VB 与平面 VCD 所成的角,解三角形 VAH,即可 求出直线 VB 与平面 EFG 所成的角. 方法二:建立如图所示的空间直角坐标系 A﹣xyz,设 VA=VB=1,BC= ,我们分别求出直 线 VB 的方向向量和平面 EFG 的一个法向量,代入向量夹角公式,即可得到直线 VB 与平面 EFG 所成的角. 解答: 解: (I)∵E、F、G 分别为 VA、VB、BC 的中点,∴EF∥AB,FG∥VC, 又 ABCD 是矩形,∴AB∥CD,∴EF∥CD, 又∵EF?平面 VCD,FG?平面 VCD ∴EF∥平面 VCD,FG∥平面 VCD, 又 EF∩FG=F,∴平面 EFG∥平面 VCD. …(4 分)

(II)方法一: ∵VA⊥平面 ABCD,CD⊥AD,∴CD⊥VD. 则∠VDA 为二面角 V﹣DC﹣A 的平面角,∠VDA=30°. 同理∠VBA=45°. …(7 分) 作 AH⊥VD,垂足为 H,由上可知 CD⊥平面 VAD,则 AH⊥平面 VCD. ∵AB∥平面 VCD,∴AH 即为 B 到平面 VCD 的距离. 由 (I) 知, 平面 EFG∥平面 VCD, 则直线 VB 与平面 EFG 所成的角等于直线 VB 与平面 VCD 所成的角,记这个角为 θ. ∵AH=VA?sin60°= VB= ∴sinθ= VA = …(11 分) …(12 分) VA

故直线 VB 与平面 EFG 所成的角 arcsin

方法二: ∵VA⊥平面 ABCD,CD⊥AD,∴CD⊥VD. 则∠VDA 为二面角 V﹣DC﹣A 的平面角,∠VDA=30°. 同理∠V BA=45°. …(7 分) 建立如图所示的空间直角坐标系 A﹣xyz,设 VA=VB=1,BC= , 则 V(0,0,1) ,B(0,1,0) ,D( ,0,0) ,C( ,1,0) 设平面 EFG 的法向量为 =(x,y,z) , 则 n 亦为平面 VCD 的法向量. ∵ ∴ =(0,1,0) , =( ,1,﹣1) ,

则向量 =(1,0,

)为平面 EFG 的一个法向量

设直线 VB 与平面 EFG 所成的角为 θ, ∵ =(0,1,﹣1)则 sinθ=|cos< , >= = …(11 分)

故直线 VB 与平面 EFG 所成的角 arcsin

…(12 分)

点评: 本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面平行的判定,直 线与平面所成的角,其中(1)的关键是证得 EF∥CD,FG∥VC, (II)中方法一的关键是得 到直线 VB 与平面 EFG 所成的角等于直线 VB 与平面 VCD 所成的角, 方法二的关键是建立适 当的空间坐标系,将线面夹角问题转化为向量夹角问题. 20. (12 分)如图所示,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点. (1)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值; (2)求 BM 与平面 A1B1M 所成的角大小.

考点: 异面直线及其所成的角;用空间向量求直线与平面的夹角. 专题: 空间角. 分析: (1)由长方体的几何特征,可得∠MA1B1 为异面直线 A1M 与 C1D1 所成的角,解 △ MA1B1 即可得到异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值; (2) 由长方体的几何特征可得 A1B1⊥平面 BCC1B1, 进而由线面垂直的定义可得 A1B1⊥BM, 结合(1)中结论及勾股定理可得 BM⊥B1M,进而由线面垂直的判定定理可得 BM⊥平面 A1B1M,即 BM 与面 A1B1M 成 90 度角. 解答: 解: (1)如图,因为 C1D1∥B1A1, 所以∠MA1B1 为异面直线 A1M 与 C1D1 所成的角. 因为 A1B1⊥平面 BCC1B1,所以∠A1B1M=90°, 而 A1B1=1,B1M= ,故 tan∠MA1B1= = .

即异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值为 . (2)由 A1B1⊥平面 BCC1B1,BM?平面平面 BCC1B1,得 A1B1⊥BM①

由(1)知,B1M= , 又 BM= = ,B1B=2, 2 2 2 所以 B1M +BM =B1B ,从而 BM⊥B1M② 又 A1B1∩B1M=B1, ∴BM⊥平面 A1B1M, ∴BM 与面 A1B1M 成 90 度角. 点评: 本题考查的知识点是异面直线及其所成的角,直线与平面所成的角,其中利用平移 法,将异面直线夹角转化为解三角形问题是解答(1)的关键,而熟练掌握线面垂直的判定定 理是解答(2)的关键. 21. (12 分)如图,已知三棱锥 A﹣BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 中点,D 为 PB 中 点,且△ PMB 为正三角形. (1)求证:DM∥平面 APC; (2)求证:平面 ABC⊥平面 APC; (3)若 BC=4,AB=20,求三棱锥 D﹣BCM 的体积.

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)要证 DM∥平面 APC,只需证明 MD∥AP(因为 AP?面 APC)即可. (2)在平面 ABC 内直线 AP⊥BC,BC⊥AC,即可证明 BC⊥面 APC,从而证得平面 ABC⊥ 平面 APC; (3)因为 BC=4,AB=20,求出三棱锥的高,即可求三棱锥 D﹣BCM 的体积. 解答: 证明: (I)由已知得,MD 是△ ABP 的中位线 ∴MD∥AP∵MD?面 APC,AP?面 APC ∴MD∥面 APC; (II)∵△PMB 为正三角形,D 为 PB 的中点 ∴MD⊥PB,∴AP⊥PB 又∵AP⊥PC,PB∩PC=P ∴AP⊥面 PBC(6 分)∵BC?面 PBC∴AP⊥BC 又∵BC⊥AC,AC∩AP=A∴BC⊥面 APC, ∵BC?面 ABC∴平面 ABC⊥平面 APC; (III)由题意可知,三棱锥 A﹣BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 中点,D 为 PB 中点, 且△ PMB 为正三角形. MD⊥面 PBC,BC=4,AB=20,MB=10,DM=5 ,PB=10,PC= =2 ,

∴MD 是三棱锥 D﹣BCM 的高,S△ BCD=

× =2







点评: 本题考查直线与平面的平行,三棱锥的体积,平面与平面垂直的判定,是中档题. 22. (12 分)若非零函数 f(x)对任意实数 a,b 均有 f(a+b)=f(a)?f(b) ,且当 x<0 时, f(x)>1. (1)求证:f(x)>0; (2)求证:f(x)为减函数; (3)当 f(4)= 时,解不等式 f(x﹣3)?f(5)≤ .

考点: 抽象函数及其应用. 专题: 计算题;函数的性质及应 用. 分析: (1)f(x)=f( + )=f ( ) ,结合函数 f(x)为非零函数可得; (2)利用函数的单调性的定义证明; (3)由 f(4)= 可得 f(2)= ,从而化简不等式 f(x﹣3)?f(5)≤ 为 f(x﹣3+5)≤f(2) ,
2

从而利用单调性求解. 解答: 解: (1)证明:f(x)=f( + )=f ( )>0, (2)证明:∵f(0)=f (0) ,∴f(0)=1; ∴f(b﹣b)=f(b)?f(﹣b)=1; ∴f(﹣b)= ;
2 2

任取 x1<x2,则 x1﹣x2<0, ∴ =f(x1﹣x2)>1,

又∵f(x)>0 恒成立, ∴f(x1)>f(x2) ; 则 f(x)为减函数; (3)由 f(4)=f (2)=
2

,则 f(2)= ,

原不等式转化为 f(x﹣3+5)≤f(2) ,

结合(2)得:x+2≥2, ∴x ≥0; 故不等式的解集为{x|x≥0}. 点评: 本题考查了函数单调性的证明与应用,属于中档题.


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