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1-2复数容易型

复数 数系的扩充与复数的引入 1 复数的概念 考纲要求:①理解复数的基本概念. ②理解复数相等的充要条件. ③了解复数的代数表示法及其几何意义. 经典例题: 若复数 z ? 1 ? i , 求实数 a , b 使 az ? 2bz ? (a ? 2z) 。 (其中 z 为 z 的共轭复数) .
2

当堂练习: 1. a ? 0 是复数 a ? bi A.充分条件 2设

(a, b ? R) 为纯虚数的(
C.充要条件

) D.非充分非必要条件 )

B.必要条件

z1 ? 3 ? 4i , z2 ? ?2 ? 3i ,则 z1 ? z2 在复平面内对应的点位于(
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

1 ? 3i ( 3 ? i) 2 3.

?
( )

1 3 1 3 ? i ? ? i 4 B. 4 4 A. 4
4.复数 z 满足 A.2+i

1 3 1 3 ? i ? ? i 2 D. 2 2 C. 2
) D.1-2i

?1? 2i ? Z ? 4 ? 3i ,那么 Z =(
B.2-i C.1+2i

2 ? bi 5.如果复数 1 ? 2i 的实部与虚部互为相反数,那么实数 b 等于( )
A. 2 2 2 B.3 C.2 D.-3
n ?n

6.集合{Z︱Z= i ? i A{0,2,-2}

,n?Z } ,用列举法表示该集合,这个集合是(
B.{0,2} D.{0,2,-2,2 i ,-2 i }



C.{0,2,-2,2 i }
? ?

OA, OB 对应的复数分别为 2 ? 3i , ?3 ? 2i ,那么向量 BA 对应 7.设 O 是原点,向量
的复数是( )

?

A. ?5 ? 5i

B . ? 5? i 5

C.

5? 5 i

D . 5 ? 5i
1

8、复数 A.一 9.复数

z1 ? 3 ? i, z2 ? 1 ? i ,则 z
B.二 C.三

? z1 ? z2 在复平面内的点位于第(
D .四

)象限。

(a2 ? a ? 2) ? ( a ?1 ?1)i
B. a ? 2 C.
4

(a ? R)

不是纯虚数,则有(



A. a ? 0

a? 0 且 a ? 2

D . a ? ?1

10.设 i 为虚数单位,则 (1 ? i) 的值为 ( ) A.4 B.-4 C.4i D.-4i ;|z|= .

11.设 z ? C, 且(1 ? i) z ? 2i ( i 为虚数单位) ,则 z=

2 12.复数 1 ? i 的实部为

,虚部为



13.已知复数 z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = 14.设

Z1 ? 1 ? i , Z 2 ? ?1 ? i ,复数 Z1 和 Z 2 在复平面内对应点分别为 A、B,O 为原点,则


?AOB 的面积为

§3.2-3 复数的四则运算及几何意义 重难点:会进行复数代数形式的四则运算;了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 考纲要求:①会进行复数代数形式的四则运算. ②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 经典例题:已知关于 x 的方程 x ? (k ? 2i) x ? 2 ? ki ? 0 有实根,求这个实根以及实数 k 的
2

值.

当堂练习: 1、对于
z ? ( 1?i )100 ? ( 1?i ) 200
2 2

,下列结论成立的是 C z 是正实数

(

)

A z 是零

B z 是纯虚数

D z 是负实数 ( )

2、已知 (3 ? 3i) ? z ? (?2 3i) ,那么复数 z 在复平面内对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限
x

D 第四象限
1990 y 1990 ? ( x? ) y

2 2 ( ) 3、设非零复数 x,y 满足 x ? xy ? y ? 0 ,则代数式 x ? y

的值是

( )

A2

?1989

B -1

C 1

D 0 ( )

4、若 | z ? 3 ? 4i |? 2 ,则|z|的最大值是

2

A3

B7

C9

D5
? 2

5、复数 z 在复平面内对应的点为 A,将点 A 绕坐标原点按逆时针方向旋转

,再向左平移

一个单位,向下平移一个单位,得到点 B,此时点 B 与点 A 恰好关于坐标原点对称,则复数 z为 ( ) A -1 B 1 C i D-i (1 ? i )(1 ? 2i ) ? 1? i 6、 ( ) A. ? 2 ? i B. ? 2 ? i C. 2 ? i D. 2 ? i ( ) D.i

7、复数 z=i+i2+i3+i4 的值是 A.-1 B.0 C.1

8.设复平面内,向量 OA 的复数是 1+i,将向量 OA 向右平移一个单位后得到向量 O?A ,则向 量 O?A 与点 A′对应的复数分别是 c A.1+i 与 1+i B.2+i 与 2+i C.1+i 与 2+i D.2+i 与 1+i 9.若复数 z 满足|z+i|+|z-i|=2,则|z+i+1|的最小值是 a A.1 B. 2 C.2 D. 5

? 10.若集合 A={z||z-1|≤1,z∈C} ,B={z|argz≥ 6 ,z∈C} ,则集合 A∩B 在复平面内
所表示的图形的面积是 b

?
A. 6

?

3 4

5? 3 ? 4 B. 6

?
C. 3

?

3 4
3 2

5? 1 ? 4 D. 6
i)

5 4 3 2 f (1 ? 11.已知 f ( x) ? ? x ? 5x ? 10x ? 10x ? 5x ? 1 .求 2

的值

. .

12.已知复数

z0 ? 3 ? 2i, 复数z满足z ? z0 ? 3z ? z0 , 则复数z ?

13.复平面内点 A 对应的复数为 2+i, 点 B 对应的复数为 3+3i, 向量 AB 绕点 A 逆时针旋转 90° 到 AC ,则点 C 对应的复数为_________.

? ?
14.设复数 z=cosθ +(2-sin2θ )i.当θ ∈(- 2 2 )时,复数 z 在复平面内对应点的轨迹方程 是_________. 数系的扩充与复数的引入单元测试

,

3

?1? i ? ? ? 1、复数 ? 1 ? i ? 的值等于( )
2 (A) 2
(B) 2
2

9

(C) i

(D) ? i
2

2、已知集合 M={1, (m ? 3m ? 1) ? (m ? 5m ? 6)i } ,N={1,3} ,M∩N={1,3} ,则实 数 m 的值为( (A) 4 ) (B)-1 (C)4 或-1 (D)1 或 6

3、设复数 Z ? ?1, 则

Z ?1

Z ?1 是 Z ? 1 是纯虚数的( )
(B)必要不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

(A)充分不必要条件 (C)充要条件

Z ? Z1 ? Z ? Z 2 4、复数 Z 与点 Z 对应, Z1 , Z 2 为两个给定的复数, Z1 ? Z 2 ,则 决定的
Z 的轨迹是( ) (B)线段 Z 1 Z 2 的中垂线 (D)以 Z 1 , Z 2 为端点的圆 (A)过 Z1 , Z 2 的直线 (C)双曲线的一支 5、设复数 z 满足条件 (A)3 (B)4

z ? 1,

那么

z?2 2 ?i

的最大值是(



(C) 1 ? 2 2

(D) 2 3

6、复平面上的正方形的三个顶点表示的复数有三个为 1 ? 2i,?2 ? i,?1 ? 2i, 那么第四 个顶点对应的复数是( (A) 1 ? 2i
n

) (C) 2 ? i (D) ? 1 ? 2i )

(B) 2 ? i
?n

7、集合{Z︱Z= i ? i

,n?Z } ,用列举法表示该集合,这个集合是(

A{0,2,-2} (B) {0,2} (C) {0,2,-2,2 i } (D) {0,2,-2,2 i ,-2 i }

Z ? Z 2 ? 2 2 , Z1 ? 8、 Z1 , Z 2 ? C , 1
(A) 2

3, Z 2 ? 2 ,



Z1 ? Z 2 ?

(

)

1 (B) 2

(C)2

(D)2 2

? ?? ?
9、 对于两个复数

1 2

? 3 1 3 ?1 i ? ?? ? i 2 , 2 2 , 有下列四个结论: ① ?? ? 1 ; ②? ;

4



? ?1 ?

;④ ? ? ? ? 1,其中正确的结论的个数为( )
3 3

(A)1

(B)2

(C)3

(D)4 )

10、1, a ? bi , b ? ai 是某等比数列的连续三项,则 a , b 的值分别为(

a??
(A)

3 1 ,b ? ? 2 2 3 1 ,b ? 2 2

1 3 a ? ? ,b ? 2 2 (B) 1 3 a ? ? ,b ? ? 2 2 (D)

a??
(C)

1 3 10 1 ? i 6 (? ? i) ? ( ) 2 2 = 11、计算: 2
12、已知复数 z1=3+4i, z2=t+i,,且 z1· z 2 是实数,则实数 t 等于 13、如果复数 z 满足

z ?1? i ? 2

,则

z ?2?i

的最大值是

y 14、 已知虚数 ( x ? 2) ? yi ( x, y ? R )的模为 3 ,则 x 的最大值是
小值为 .
2 2

y ?1 , x ? 1 的最

15、设复数 Z ? lg(m ? 2m ? 2) ? (m ? 3m ? 2)i ,试求 m 取何值时 (1)Z 是实数; (2)Z 是纯虚数; (3)Z 对应的点位于复平面的第一象限

5

经典例题: 解析:由 z ? 1 ? i ,可知 z ? 1 ? i ,代入 az ? 2bz ? (a ? 2z) 得:
2

a(1 ? i) ? 2b(1 ? i) ? ? a ? 2(1 ? i ) ? ,即 a ? 2b ? (a ? 2b)i ? ? a ? 2 ? ?4 ? 4(a ? 2)i
2 2

?a ? 2b ? ? a ? 2 ?2 ? 4 ? ?a ? ?4 ?a ? ?2 ? ? ? a ? 2b ? 4(a ? 2) b ? 2 b ? ?1 。 ? ? ? 则 ,解得 或?
当堂练习: 1.B; 2.D; 3.B; 4.B; 5.D; 6.A; 7. B; 8.D; 9.C; 10.B; 11. ?1 ? i , 2 ; 12. 1, ?1 ;13. ? 2i ; 14. 1; §3.2-3 复数的四则运算及几何意义 经典例题: 解:设 x=m 是方程的实根,代入方程得 m2+(k+2i)m+2+ki=0,即(m2+km+2)+(2m+k)i=0.

?m 2 ? km ? 2 ? 0, ? 2m ? k ? 0. 由复数相等的充要条件得 ?

解得

? ?m ? 2 , ? ? ? k ? ?2 2



? ?m ? ? 2 , ? ? ?k ? 2 2 .

∴方程的实根为 x= 2 或 x=- 2 ,相应 k 的值为-2 2 或 2 2 . 当堂练习: 1.C; 2.A; 3.B; 4.B; 5.B; 6.C; 7. B; 8.C; 9.A; 10.B; 11. z = i –1; 12. 1;13. 2i; 14. x2=y-1,x∈(0,1 ] ;

?
§3.4 1.D; 2.B; 3.C; 4.B; 5.B; 6.C; 7. A; 8.A; 9.B; 10.C; 11.

3 1 3?2 ? i 2 2 ; 12. 4 ;13.

13 ? 2 ; 14.
15、解:

3 ? 21 3, 6 ;

2 ? ?m ? 2 m ? 2 ? 0 (1)? 2 解得m ? ?2或- 1。即m ? ?2或- 1时,Z是实数 ? ?m ? 3m ? 2 ? 0 2 ? ?m ? 2m ? 2=1 (2)? 2 解得m ? 3。即m ? 3时,Z是纯虚数 ? m ? 3 m ? 2 ? 0 ? 2 ? ?m ? 2m ? 2 ? 1 (3)? 2 解得m ? 3或m ? -2。即m ?? 3或m ? -2时, ? ?m ? 3m ? 2 ? 0

Z 对应的点位于复平面的第一象限
6


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