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2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:9.2 直线与平面平行、平面与平面平行(A、B)


§9.2

直线与平面平行、平面

与平面平行(A、B)

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理 1.直线与平面的三种位置关系

直线a在平面α外 直线a在平 位置关系 直线a与平面α平 面α内 直线a与平面α相交 行 无数个公共 有且只有一个公共 公共点 没有 点 点 a?α a∩α=A a∥α 符号表示
图形表示

目录

2.直线与平面平行的判定与性质 (1)直线与平面平行的判定 直线与平面平行的判定,除用定义外,主要是用判定定理, 此外还用到其他特殊位置关系的性质定理.

①(定义)如果一条直线和一个平面没有公共点,那么这条直线
和这个平面平行. 平面外 ②(判定定理)如果________一条直线和这个平面内的一条直线

平行,那么这条直线和这个平面平行.用符号语言表示,即 a?α,b?α,a∥b?a∥α _____________________________.
③如果平面外的两条平行直线中有一条和平面平行,那么另

一条也和这个平面平行.
目录

④如果两个平面平行,那么一个平面内的任何一条直线都平 行于另一个平面.

⑤一个平面和不在这个平面内的一条直线都垂直于另一个平
面,那么这条直线平行于这个平面. (2)直线和平面平行的性质 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个 相交 交线 平面_____,那么这条直线和_______平行.用符号语言表示 a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b 为:______________________________.

目录

3.平面与平面的两种位置关系
位置关系 公共点(线) 符号表示 两平面平行 没有 _____公共点 α∥β 两平面相交 有且只有一条 _____________公共直线 α∩β=a

图形表示

目录

4.两个平面平行的判定与性质 (1)两平面平行的判定 ①如果两个平面没有_______,那么这两个平面互相平行; 公共点 相交 平行于 ②如果一个平面内的两条______直线都_______另一个平面,

那么这两个平面平行.即:a∥α,b∥α,a,b?β,a∩b=
A?α∥β. 垂直于 ③_________同一直线的两平面平行,即l⊥α,l⊥β?α∥β. 平行于 ④__________同一平面的两个平面互相平行.即α∥γ, β∥γ?α∥β.

目录

(2)两平面平行的性质
直线 ①如果两个平面平行,那么,其中一个平面内的_____平行于 α∥β,a?α?a∥β 另一个平面.即______________________. 相交 ②如果两个平行平面同时和第三个平面_______,那么它们的

交线 a∥b ______平行.即α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?________.
垂直 ③如果一条直线_______于两个平行平面中的一个平面,那么 垂直 它也_______于另一个平面.即α∥β,l⊥β?l⊥α.

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思考探究 1.若直线a平行于平面α内的无数条直线,是否一定有a∥α? 提示:不一定,a有可能在平面α内. 2.若平面α内有两条直线a,b分别平行于平面β,能判断α与β 平行吗? 提示:不能.α与β也可能相交.如图所示.

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课前热身 1.下列命题:①a∥b,b?α?a∥α;②a∥α,b?α?a∥b;③ a∥α,b∥α?a∥b.

其中正确的个数为(
A.0

)
B.1

C.2
答案:A

D.3

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2.下列条件中,能判断两个平面平行的是(

)

A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面
B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 答案:D

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3.已知a、b、c是三条不重合的直线,α、β、γ是三个不重合

的平面,下面五个命题:
①α∥β,a?α?a∥β; ②a∥c,c∥α?a∥α; ③γ∥α,β∥α?β∥γ; ④a?β,b?β,a?α,b∥α?a∥b; ⑤a∥γ,α∥γ?a∥α. 其中正确的命题是( )

A.①④
C.①②③ 答案:B

B.①③④
D.②④⑤

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4.(教材改编)如图,在空间四边形 ABCD 中,M∈AB,N∈AD, AM AN 若 = ,则直线 MN 与平面 BDC 的位置关系是________. MB ND

答案:平行

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5.①过平面外一点有________条直线与这个平面平行. ②过直线外一点可以作________个平面与已知直线平行. 答案:无数 无数

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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 直线与平面平行的判定

证明平面外的一条直线和该平面平行, 只要在平面内找到一 条直线和已知直线平行即可.证明线面平行主要找线线平 行.这是利用线面平行判定定理,除此之外也可利用面面平 行及垂直关系来证.

目录

例1

如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,侧面对角线

AB1,BC1上分别有一点E,F,且B1E=C1F. 求证:EF∥平面ABCD.

【思路分析】

从E、F点向底边作垂线,来寻找平面ABCD

中与EF平行的直线.
目录

【证明】 分别过 E,F 作 EM⊥AB 于 M,FN⊥BC 于 N, 连结 MN. ∵BB1⊥平面 ABCD, ∴BB1⊥AB,BB1⊥BC, ∴EM∥BB1,FN∥BB1,∴EM∥FN. 又∵B1E=C1F,∴EM=FN, 故四边形 MNFE 是平行四边形,∴EF∥MN. 又 MN?平面 ABCD,EF?平面 ABCD, 所以 EF∥平面 ABCD.

【领悟归纳】

寻找证明某线的平行直线,在平面内主要还

是利用平行四边形或三角形中位线.
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考点2

直线与平面平行的性质

利用线面平行的性质是证明线线平行的主要方法,但必须先 过线作出或找出辅助平面.才可转化为线线平行的结论.

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例2 如图所示,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,平
面PAD∩平面PBC=l. 判断BC与l的位置关系,并证明你的结论.

【思路分析】

BC∥AD→BC∥面PAD→BC∥l.

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【解】

BC∥l.证明如下,

∵四边形 ABCD 为平行四边形,∴BC∥AD. 又 BC?平面 PAD,AD?平面 PAD, ∴BC∥平面 PAD. 又 BC?平面 PBC,平面 PBC∩平面 PAD=l,∴BC∥l.

【思维总结】

利用线面平行的性质证明线线平行时,其依

据为:一条直线平行于两个相交平面,则这条直线就平行于
两个平面的交线.

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跟踪训练 1.在本例题中,若M是AB的中点,N在线段PC上,若MN∥ 面PAD,试确定点N的位置,并证明.
解:N 是 PC 的中点,证明如下: AM 和 MN 确定平面 β. 设 PD∩β=E,∵AB∥DC,AB?面 PCD,∴AB∥面 PDC, 面 AMNE∩面 PDC=EN, ∴AM∥EN.又∵MN∥面 PAD, 同理 MN∥AE, ∴四边形 AMNE 1 1 为平行四边形,AM=EN= AB= DC,EN∥DC, 2 2 ∴EN 为△PDC 的中位线,∴N 为 PC 的中点.

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考点3

平面与平面平行的判定

平面平行的判定定理,是利用了线面平行来推证的,即需要 找到或证出两条相交直线平行于另一平面.这是判定两平面 平行的主要方法.还可以通过一些垂直关系来判定.

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例3

点P是△ABC所在平面外一点,A′,B′,C′分别

是△PBC,△PCA,△PAB的重心.
(1)求证:平面A′B′C′∥平面ABC;

(2)求A′B′∶AB的值.
【思路分析】 通过比例线段得出平行线,从而判定面面平行.

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【解】 (1)证明:如图所示,取 AB,BC,CA 的中点 M,N,Q. 连结 PM,PN,PQ,MN,NQ,QM, ∵A′,B′,C′为△PBC,△PCA,△PAB 的重心,∴A′, B′,C′分别在 PN,PQ,PM 上,且 PC′∶PM=PA′∶PN =PB′∶PQ=2∶3. PC′ PA′ 2 在△PMN 中, = = ,∴C′A′∥MN. PM PN 3 又 M,N 为△ABC 的边 AB,BC 的中点, ∴MN∥AC,∴A′C′∥AC,∴A′C′∥平面 ABC, 同理 A′B′∥平面 ABC,∴平面 A′B′C′∥平面 ABC. A′B′ 2 QN 1 A′B′ 1 (2)由(1)知 = , = ,∴ = . 3 AB 2 3 QN AB
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【思维总结】

本题利用三角形重心性质、比例线段、平行

公理转化为相应相交线的平行,这是证明两平面平行的主要方
法,也可直接由A′C′∥MN,A′B′∥NQ得两平面平行.

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考点4

两个平面平行的性质及空间转化

如果由面面平行来得到线面平行、线线平行、一定要作辅助 面得交线.这三种平行关系依据它们的判定与性质可以相

互转化.

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例3 如图所示,平面 α∥平面 β,A、C∈α,B、D∈β,点 E、
AE CF F 分别在线段 AB、CD 上,且 = ,求证:EF∥平面 β. EB FD

【思路分析】

依据AB和CD是 若AB与CD不共面,则构 否共面进行分类 → 造过EF的平面与β平行

→ 结论
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【证明】

当 AB 和 CD 在同一平面内时,由 α∥β 可知 AC∥

BD,ABDC 是梯形或平行四边形. AE CF 由 = ,得 EF∥BD, EB FD

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又 BD?β,所以 EF∥β. 当 AB 和 CD 异面时,作 AH∥CD 交 β 于 H,作 FG∥DH 交 AH 于 G,连结 EG,如图,则 AHDC 是平行四边形, CF AG AE CF AE AG 于是 = .因为 = ,所以 = , FD GH EB FD EB GH 所以 EG∥BH,又 BH?β,所以 EG∥β, 又 FG∥DH,DH?β, 所以 FG∥β.EG∩FG=G. 所以平面 EFG∥β,而 EF?平面 EFG, 所以 EF∥平面 β.

【误区警示】 种情况.

不对AB,CD是否共面作讨论,直接证一

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跟踪训练
AE CF 2.若 α∥β,EF∥α∥β,能有 = 吗? EB FD AE CF 证明: = 成立. EB FD

如图,若 AB 和 CD 共面,由平面平行的性质可得若 AB 和 CD 异面. ∵EF∥α∥β,过 EF 作平面 γ,使 α∥β∥γ 连 AD 交 γ 于 G 点,连结 EG,则 EG∥BD AE AG AG CF AE CF 在面 ABD 中, = ,同理 GF∥AC. = ,∴ = . EB GD GD FD EB FD

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方法感悟
方法技巧

1.转化思想的体现

2.空间中的垂直关系,也能体现空间平行.

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失误防范 1.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则, 会出现错误. 2.利用线面、面面平行的性质时,要有面面相交得交线

的过程.

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考向瞭望把脉高考
命题预测
从近两年的高考试题来看,考查的内容有: (1)直接考查直线和平面、平面和平面平行关系的判定和证 明.若以选择题出现就是判断空间的各种位置关系;若以解 答题出现,主要是其中一问,难度中档偏下. (2)间接考查就是穿插在空间计算之中,利用平行关系寻求各 量,难度中等以上.

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2012年的高考中,各省市考题对这部分知识都有所体现.如 四川卷等考查了空间各种位置关系的判定;辽宁卷等就是证 明线面平行. 预测2014年高考仍将以选择题和解答题的形式重点考查以解 答题的某一问对线面平行和面面平行判定和性质的理解及灵 活运用,其中对线面平行的考查可能更多一些.

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规范解答 例 (本题满分14分)(2011· 高考北京卷) 如图,在四面体P-ABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F, G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.

(1)求证:DE∥平面BCP.
(2)求证:四边形DEFG为矩形. (3)是否存在点Q,到四面体P-ABC六条棱的中点的距离相等?

说明理由.

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【解】

(1)证明:因为 D,E 分别为 AP,AC 的中点,所以

DE∥PC.又因为 DE?平面 BCP, 所以 DE∥平面 BCP.(3 分) (2)证明:因为 D,E,F,G 分别为 AP, AC,BC,PB 的中点, 所以 DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF, 所以四边形 DEFG 为平行四边形.(5 分) 又因为 PC⊥AB,所以 DE⊥DG, 所以四边形 DEFG 为矩形.(8 分)
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(3)存在点 Q 满足条件,理由如下: 连接 DF,EG,设 Q 为 EG 的中点. 由(2)知,DF∩EG=Q, 1 且 QD=QE=QF=QG= EG.(11 分) 2 分别取 PC,AB 的中点 M,N, 连接 ME,EN,NG,MG,MN. 与(2)同理,可证四边形 MENG 为矩形, 1 其对角线交点为 EG 的中点 Q,且 QM=QN= EG, 2 所以 Q 为满足条件的点.(14 分)

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【名师点评】

本题主要考查了空间几何体中的线线平行、线

面平行及线线垂直,考查了考生的空间想象能力以及推理论证 能力,难度中等.对第一问,证线的平行时一定紧扣判定定理, 规范步骤;第三问把握关于存在性问题的一般证明方法.

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知能演练轻松闯关

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