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河北省沙河市第一中学高二数学《双曲线简单的几何性质》课件_图文

双曲线简单的几何性质 (二)
双曲线的第二定义

B2

. .
B2 A2

图形

. .
F1(-c,0)
F1

y

y
F2

A1 A2
O

F2(0,c)
B1

B1 F2(c,0)

F2

x

A1 O F1

x F1(0,-c)

方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线

x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 2 a b

x ≥ a , 或 x ≤ ?a,y ? R
关于x轴、y轴、原点对称

y ≥ a , 或 y ≤ ?a,x ? R
关于x轴、y轴、原点对称

y2 x2 ? 2 ? 1 (a ? 0 ,b ? 0 ) 2 a b

A1(- a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)

b y?? x a

c e? a

(e ? 1)

a y?? x b

c e? a

(e ? 1)

例1.已知双曲线的渐近线是x ? 2 y ? 0,并且双曲线过 点 M (4, 3 ) ,求双曲线方程。

2 1 y= x的下方,即双曲线焦点在x轴上, ? 2 ? 3? M点在直线 x2 y2 2 设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) y a b
2 2 4 ( 3 ) 入上式, 得到 ? 2 ?1 2 a b b 1 1 又 渐近线是y= ? x ? ? a 2 2

法一:直接设标准方程,运用待定系数法; 1 解:过M点作直线x=4与渐近线y= x的交于Q( 4,2)

? 双曲线经过点( 4, 3 ),把(4, 3 )代
1)

Q M o 4 x

2)

由1),2)解得a 2 ? 4, b 2 ? 1 x2 ? 双曲线方程为 -y 2=1. 4

例1.已知双曲线的渐近线是x ? 2 y ? 0,并且双曲线过 点 M (4, 3 ) ,求双曲线方程。

法二:巧设方程 ,运用待定系数法.

解2: ? 双曲线的渐近线方程为 x ? 2y ? 0

?可设所求双曲线的方程为x 2 ? 4 y 2 ? ? (? ? 0).

? 双曲线过点 M (4, 3 ) 2 2 ? 4 ? 4( 3 ) ? ? .

?? ? 4

? 所求双曲线方程为x -4y =4.
2 2

x2 变式 1:求与双曲线 ? y 2 ? 1 有共同渐近线,且过点 N (4, 5) 4 的双曲线的方程 .

x 2 解:由题意可设双曲线方程为 ? y ? ? (? ? 0) , 4 双曲线过点N(4, 5 )

2

42 ? ? ( 5)2 ? ? 4

? ? ? ?1
x ? 双曲线的方程为y ? ?1 4
2 2

“共渐近线”的双曲线
x2 y2 x2 y2 x y 1.双曲线 2 ? 2 ? ? (? ? 0)的渐近线方程是 2 ? 2 ? 0,即 ? ? 0. a b a b a b

x y x2 y2 2.渐近线方程为 ? ? 0的双曲线方程是 2 ? 2 ? ? (? ? 0). a b a b

x2 y 2 x2 y 2 3、与 2 ? 2 ? 1共渐近线的双曲线系方程为 2 ? 2 ? ? (? ? 0) a b a b

λ>0表示焦点在x轴上的双曲线; λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。

巩固练习

求下列双曲线的标准方程:

x2 y2 ⑴与双曲线 ? ? 1 有共同渐近线,且过点 ( ? 3, 2 3 ) ; 9 16

x2 y2 (3 2 , 2) ⑵与双曲线 ? ? 1 有公共焦点,且过点 16 4

根据已知条件研究双曲线的性质 (1)双曲线 x2 ? y 2 ? 1 的两条渐近线互相垂直,
a b
2 2

2 则它的离心率为________
x2 y 2 (2)双曲线 ? ? 1 的渐近线方程y= 4 m
? 3 2

x

? ?7, 0? 则双曲线的焦点坐标_________
y 2 x2 (3)设双曲线 a 2 ? 3 ? 1

的焦点分别为F1 F2,离

3 心率为2,求双曲线渐近线方程 y ? ? 3

例题讲解
例2、双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线
的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的 最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径

为25m,高55m.选择适当的坐标系,求出此
双曲线的方程(精确到1m).
C′ A′ 0

y
13 C 12 A x

B′

25

B

解 如图2.2 ? 8?2?, 建立直 角坐标系 xOy, 使小圆的直 径AA`在x轴上, 圆心与原点 重合.这时, 上、下口的直径 CC `, BB` 都平行于 x 轴 , 且 | CC `|? 13? 2, | BB`|? 25 ? 2.
设双曲线的方程为

y
C` A` O

13
12

C A

x

B`

25

B

?2 ?
图 2 .2 ? 8

则点B的坐标为?25, y ? 55?.

x2 y 2 ? 2 ? 1 ?a ? 0, b ? 0 ? , 令点C的坐标为?13, y ?, 2 a b

因为点B, C 在双曲线上, 所以

13 25 C` C ? ? ? ? 1 , 1 12 122 b2 A` O A 2 2 13 y ?2? ? 2 ?1. 2 12 b 25 B` 5b ?负值舍去 ?, 由方程 ?2? , 得y ? 12 ?2 ? 2 ? 5b ? 图 2 .2 ? 8 ? 55 ? ? 2 25 ? 12 ? 代入方程?1?, 得 2 ? ? 1, 化简得 2 12 b 19b 2 ? 275b ? 18150? 0.用计算器解得 b ? 25.

2

? y ? 55?2

y

x

B

x2 y2 所以, 所求双曲线的方程为 ? ? 1. 144 625

例 3 点 M ? x, y ? 到定点 F ? 5, 0 ? 的距离和它到直线 16 5 l : x ? 的距离的比是常数 , 求点 M 的轨迹. 5 4 解 设d是点M到到直线l的距离, 所求轨迹就是

? | MF | 5 ? d H 集合P ? ? M ? ?, M d 4? ? O F 2 2 ?x ? 5? ? y 5 由此得 ? . 16 4 ?x 图2.2 ? 9 5 将上式两边平方, 并化简 , 得 9 x 2 ? 16 y 2 ? 144 ,

y

x

x2 y2 即 ? ? 1. 16 9 所以, 点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为 8、的双曲线 6 .

双曲线的第二定义
平面内,若定点F不在定直线l上,则到定点F的 距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是 双曲线。 定点F是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线 的准线,常数e是双曲线的离心率. y x2 y2 对于双曲线 2 ? 2 ? 1 (类似于椭圆) l′ l a b 2 a 是相应于右焦点F(c, 0)的 x?
M

c 右准线 a2 是相应于左焦点F′(-c, 0) x?? c 的左准线

F′
2

o

x

F

点M到左焦点与左准线的距 离之比也满足第二定义.

2 a a x? x?? c c

想一想:中心在原
点,焦点在y轴上 的双曲线的准线 方程是怎样的?

y F o F′
a2 y? c x

相应于上焦点F(0, c)的是上准线
a2 y? c

a2 y?? c

相应于下焦点F′(0, -c)的是下准线
a2 y?? c

x2 y2 例4、已知双曲线 16 ? 9 ? 1, F1、F2是它的左、右焦点. 4 设点A(9,2), 在曲线上求点M,使 | MA | ? | MF2 | 5

的值最小,并求这个最小值.

5 解: 由已知: a=4, b=3, c=5, e ? 4 16 双曲线的右准线为l: x ? 5

y

作MN⊥l, AA1⊥l, 垂足分别是N, A1,
| MF2 | 5 ? | MN | 4
4 ? | MF2 |?| MN | 5

N A1

M A

o

x

F2

4 ? | MA | ? | MF2 |?| MA | ? | MN | ?| AA1 | 5 当且仅当M是 AA1与双曲线的交点时取等号, ? 4 13 ? 29 4 13 令y=2, 解得: x ? 最小值是 . 即 M? , 2 , ? ? 3 ? 5 2 ? ?

巩固练习

x2 y 2 如果双曲线 13 ? 12 =1 上一点P到右焦点的距离

为 13 ,那么点P到右准线的距离是( A ) 5 13 A. B.13 C.5 D.
5 13

39 变式1:点P到左准线的距离多少? 5 变式2:若|PF2|=3 13 , 则点P到左准
线的距离多少?

.

F1

o

.
P

F2

13或13/5

归纳总结 1. 双曲线的第二定义
平面内,若定点F不在定直线l上,则到定点F的 距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是 双曲线。定点F是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线 的准线,常数e是双曲线的离心率。

2. 双曲线的准线方程
对于双曲线
x2 y2 a2 ? 2 ? 1 , 准线为 x ? ? 2 a b c2 a y2 x2 y?? 准线为 ? ? 1 c a 2 b2

对于双曲线

注意:把双曲线和椭圆的知识相类比.


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