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01-大学自主招生不等式【题目】


第一章 不等式
【知识梳理与归纳】
1、不等式证明
常用方法:比较法、放缩法、调整法、单调性法(含导数)等 (1)比较法证不等式有作差(商) 、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配 方; (2)放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩要有的放矢,目标可以从要证得 结论中考察; (3)调整法用于变量较多的情况,通过先固定其中一部分变量,来减少需要讨论的变量; (4)单调性法有移项、判断单调性、求最值(极值)三个步骤;

2、均值不等式
设 ai ? (0, ?)(i ? 1, 2,?, n) ,记这 n 个正实数的: 调和平均值为 H n ?

n 1 ? i ?1 ai
n

,几何平均值为 Gn ?

n

?a
i ?1

n

i

算术平均值为 An ?

? ai
i ?1

n

n

,方幂平均值为 Qn ?

?a
i ?1

n

2

i

n

且 Hn ? Gn ? An ? Qn 。等号成立当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an

【真题解析】
1、基本不等式 例 1(04 年同济)设有正数 a 与 b , ,满足 a ? b ,若有实数 x1 , y1 , x2 , y2 ,使 x1 ? y1 是 a 与 b 的算术平均数, x2 y2 是 a 与 b 的几何平均数,则 (答案用 a , b 表示)

? x2 ? y2 ?

x1 y 1

2

的取值范围是 _______

例 2(08 年浙大)已知 x ? 0, y ? 0, a ? x ? y, b ?

x 2 ? xy ? y 2 , c ? m xy ,试问是否存

在正数 m 使得对于任意正数 x, y 可使 a, b, c 为三边构成三角形?如果存在,求出 m 的取值 范围;如果不存在,请说明理由。

巩固练习 1、 (05 年上海交大)方程 x ? px ?
2

1 ? 0 的两根 x1 , x2 满足 x14 ? x24 ? 2 ? 2 ,则 p 的 2 p2

取值范围为 _______ ( p ? R )

2、 (11 北约)在 ?ABC中,如果a ? b ? 2c, 证明?C ? 60?。

3、(06 清华)已知 a、b 为非负数, M ? a4 ? b4 , a ? b ? 1 ,求 M 的最值.

例 2 求函数 y ? x ?

1 ( x ? 0) 的最小值 2 x2

例 3 求函数 y ? x(2 ? x) (0 ? x ? 2) 的最大值
2

例 4(09 复旦千分考)设 x, y, z ? 0 满足 xyz ? y ? z ? 12 ,则 log 4 x ? log 2 y ?log 2 z 的最 大值是________ (A)3(B)4(C)5(D)6

巩固练习 1、 (11 复旦千分考)设 n 是一个正整数,则函数 x ? A、

1 在正半轴上的最小值是____. nx n

n ?1 n

B、

n?2 n ?1

C、

n ?1 n

D、

n n ?1

2、设 x, y, z 为正数,且 x ? y ? z ? 1 ,求 xy z ? xyz 的最大值
2 2

3、 (11 华约)已知 ?ABC 的面积为 2 , D 、 E 分别为 AB 、 AC 上的点, F 为线段 DE 上

AD AE DF ? x, ? y, ? z ,且 y ? z ? x ? 1 ,则 ?BDF 面积的最大值为() AB AC DE 8 10 14 16 (A) (B) (C) (D) 27 27 27 27
一点,设

2、放缩法 例 5(12 华约)在锐角 ?ABC 中,已知 A ? B ? C ,则 cos B 的取值范围是() A. (0,

2 ) 2

B. [ ,

1 2

2 ) 2

C. (0,1)

D. (

2 ,1) 2

例 6(12 华约)已知 x, y, z 是互不相等的正整数,且 xyz | ( xy ? 1)( yz ? 1)( zx ? 1) ,求 x, y, z

巩固练习: 1、 (00 交大)证明不等式: 1 ? sin x ? cos x ? 2 4 , x ? [0,
3

?
2

].

2 2、 (13 华约) 数列 {an } 各项均为正数, 且对任意 n ? N * 满足 an?1 ? an ? can ( c ? 0 为常数)

(1) 求证:对任意正数 M ,存在 N ? N * ,当 n ? N 时有 an ? M

例 7 (06 年复旦)下列正确的不等式是 ( A. 16 ?



?
k ?1

120

120 1 1 ? 17 B. 18 ? ? ? 19 k k k ?1 120 1 1 ? 21 D. 22 ? ? ? 23 k k k ?1

C. 20 ?

?
k ?1

120

例 8(04 复旦保送)求证: 1 ?

1 2
3

?

1 3
3

???

1 n3

?3

巩固练习 1、 (02 上海交大保送生) (1)用数学归纳法证明一下结论: 1 ?

1 1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? (n ? 2, n ? N ? ) 2 2 3 n n

x 2 sin x 1 1 1 ? ? 1 ,利用(1)的结论求: lim (1? sin1 ? 2 ? sin ? ? ? n ? sin ) (2)若有 1 ? n ?? n 2 n 6 x

2、 (08 清华) n ?

3 5 2n ? 1 ? ??? ? 2n ? 1 . 2 4 2n ? 2

3、 (03 复旦保送)12. a1, a2 , a3 ,?, an 是各不相同的自然数, a ? 2 ,求证:

1 1 1 1 ( )a ? ( )a ? ( )a ? ? ? ( )a ? 2 . a1 a2 a3 an

3、调整法 例9 (12 华约) 10、 已知 ?6 ? xi ? 10(i ? 1, 2,?,10) , 在 x1 , x2 ,?, x10 这十个数中等于 ?6 的数共有() A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

? xi ? 50 ,当 ? xi 2 取得最大值时,
i ?1 i ?1

10

10

巩固练习: 1、 (09 中科大)求证: ?x, y ? R, x ? y ? xy ? 3?x ? y ? 1? 恒成立。
2 2

4、单调性法 例 1 已知 a, b, c ? R ,且 | a |? 1 , | b |? 1 , | c |? 1 ,求证: ab ? bc ? ca ? 1 ? 0

【课后练习】 1、若 x ? y ? z ? 6 ,求 x2 ? y 2 ? z 2 的最小值

2、已知 x, y, z 为正数,且 xyz ( x ? y ? z ) ? 1 ,求 ( x ? y)( y ? z ) 的最小值

3、 (2010 华约)设函数 f ( x) ?

f(

2t ? 1 2s ? 1 )? t s

x?m 1 ,且存在函数 s ? ? (t ) ? at ? b(t ? , a ? 0) ,满足 x ?1 2

2 s ? 1 2t ? 1 )? ; s t 1 (2)设 x1 ? 3, xn?1 ? f ( xn ), n ? 1, 2,? ,证明: | xn ? 2 |? n ?1 3
(1)证明:存在函数 t ? ? ( s) ? cs ? d (s ? 0) ,满足 f (

ax 2 ? 1 4、 (12 卓越)已知函数 f ( x) ? ,其中 a 是非零实数, b ? 0 bx
(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)若 a ? 0 ,设 | xi |?

1 , i ? 1, 2,3? ,且 x1 ? x2 ? 0 , x2 ? x3 ? 0 , x3 ? x1 ? 0 , a
2 a b

证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ?


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