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北师大版-高中数学选修1-1-第二章


2.2.1椭圆及其标准方程
郭植文

认识椭圆

椭圆的定义

课堂互动

小结

能力提高

星系中的椭圆

——仙女座星系

——“传说中的”飞碟

椭圆的形成

椭圆的定义:
平面内与两个定点 F1 、F2 的距离的和 等于常数( 大于 F1F2 ) 的点的轨迹是椭圆.
王新敞
奎屯 新疆

这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点

间的距离叫做椭圆的焦距.
椭圆的方程

椭圆方程的建立—— 步骤一:建立直角坐标系

步骤二:设动点坐标 步骤三:列等式 步骤四:代入坐标 步骤五:化简方程
椭圆的方程

以两定点 F1、 2 所在直线为 x 轴,线段 F

F1 F2 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系 .
设 F1 F2 ? 2c (c ? 0),则 F1 ( ?c ,0 )、F2 (c,0)

M ( x , y ) 为椭圆上
又设 的任意一点,
M 与 F1、 2 的距离 F
F1

y
M

O

F2

x

的和等于 2a (2a ? 2c )
椭圆的方程

椭圆上点 M 的集合为 P ? ?M MF1 ? MF2 ? 2a?

( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a
移项平方,得

( x ? c ) 2 ? y 2 ? 4a 2 ? 4a ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2
整理得 a ? cx ? a ( x ? c ) ? y
2 2 2

上式两边再平方,得

a ? 2a cx ? c x ? a x ? 2a cx ? a c ? a y
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

整理得
椭圆的方程

(a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 ( a 2 ? c 2 )

?a

2

?c x ?a y ? a a ?c
2 2 2 2 2 2

?

?

2

?

联想图形

令 b ? a ? c ,得
2 2 2

b x ?a y ?a b
2 2 2 2

2 2

两边同时除以 a b,得
2 2

x y ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b
椭圆的方程

2

2

椭圆的标准方程:

x y ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 2 a b
y
?
?

2

2

P ( x, y )
F2
?

F1

o

x

①此方程表示焦点在

x轴上的椭圆的方程;

若椭圆的焦点在 y 轴上时,椭圆的标准方程如何表示?

y

F1 (0,?c) , F2 (0, c)

| PF1 | ? | PF2 |? 2a
?

F2

?

P( x , y )
X

x 2 ? ( y ? c ) 2 ? x 2 ? ( y ? c ) 2 ? 2a

O

F

? 1

a

x ? y ?1 2 2
b

2

2

椭圆的方程

焦点在 y 轴上的椭圆标准方程:

y x ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b
①椭圆的焦点在y轴,坐标为 F1(0,-c)、F2(0,c); ② a 2 ? b2 ? c 2

2

2

y F2 M
O

x

F1

y
?
?

y

P ( x, y )
F2
?

F2?

?

P ( x, y )

F1

o

x

o
F1?

x

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b

2

2

如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上?

椭圆的方程

两种形式的标准方程的比较:
y2 x2 x2 y2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 与 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 2 a b a b
椭圆的焦点在x轴上 椭圆标准方程中x2

项的分母较大;
椭圆的焦点在y轴上 椭圆标准方程中y2

项的分母较大.

椭圆的方程

填空:

x y 3 2 ? ? 1中, a=___,b=___, (1) 在椭圆 9 4
x (? 5 ,0), ( 5 ,0) 焦点位于____轴上,焦点坐标是__________.
4 (2) 在椭圆 16x ? 7 y ? 112 中,a=___, b=___, 7
2 2

2

2

y (0,?3), (0,3) 焦点位于____轴上,焦点坐标是__________.

x y ? ?1 7 16
椭圆的方程

2

2

(3)已知椭圆的方程为: 10 则a=____,该椭圆上一点P到焦点F1 的距离为8,则点P到另一个焦点F2的 距离
12 等于______。

椭圆的方程

2.求适合下列条件的椭圆方程 (1)、a=4,b=3,焦点在x轴上;

x y ? ?1 16 9
c (2)b=1, ? 15,焦点在y轴上

2

2

a?4
2

y 2 ? x ?1 16
椭圆的方程

焦点在x轴上
(3)、若椭圆满足: a=5 , c=3 ,求它的标准 方程。

焦点在x轴上时: 焦点在y轴上时:

y x ? ?1 16 25

2

2

椭圆的方程

3、 求适合下列条件的椭圆的标准方程. ①两个焦点的坐标分别是 ?? 4,?、4,? 0 ? 0 椭圆上一点到两焦点距离的和等于10.

小结
椭圆的方程

①焦点坐标:(-4,0)、(4,0),
椭圆上一点到两焦点距离的和等于10. 解: 由题意可知 2a ? 10 , a ? 5 ∴

?c ? 4

? b ? a ?c ? 9
2 2 2

所以所求椭圆的标准方程为:

x y ? ?1 25 9
椭圆的方程

2

2

小结

② 求适合下列条件的椭圆的标准方程.

两个焦点的坐标分别是

? 2 ?0, 2?、0,? ?

? 3 5? 并且经过点 ? ? , ? . ? 2 2?

解法2
椭圆的方程

小结

解: 因为椭圆的焦点在

y 轴上,所以设它的标准方程为

y2 x2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 2 a b
由椭圆的定义知:
? 3? ? 5 ? ? 3? ? 5 ? 2a ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 10 ? 2? ? 2 ? ? 2? ? 2 ?
2 2 2 2



a ? 10 ,又 c ? 2 ,

∴ b2 ? a 2 ? c 2 ? 6

y2 x2 所以所求椭圆的标准方程为: ? ?1 10 6
椭圆的方程

小结

解:设所求的标准方程为

y x ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 2 a b
2 依题意得 ? ? 5?

2

2

解得: ? 3? ?? ? ?? ? ?? 2 ? ? 2? ?1 ? 2 ? a . b2 ? ?a 2 ? b 2 ? 4 ?

2

? a 2 ? 10 ? 2 ?b ? 6

y2 x2 所以所求椭圆的标准方程为: ? ?1 10 6
小结
椭圆的方程

4、若动点P到两定点F1(-4,0),

F2(4,0)的距离之和为8,则动点
P的轨迹为( A. 椭圆

B )
B. 线段F1F2

C. 直线F1F2

D. 不存在

椭圆的方程

备用题:
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

1、椭圆 的两个焦点分别为 F1、F2、,过F1的直线交椭圆于AB两点,则 ?ABF2 的周长为 。

4a

2、若a+c=10,a-c=4,则椭圆的标

x2 y 2 ? ?1 准方程为 49 40 。

小结
椭圆的方程

3、已知点P是椭圆 上的一 点,且以点P及焦点 为顶点的三角形 的面积等于1,求点P的坐标。

x2 y2 ? ?1 5 4

小结
椭圆的方程

思考题:
如图,“神舟六号”载人飞船的运行轨道是以地心(地 球的中心) 为一个焦点的椭圆,已知它的近地点 A (离 F2 (离地面最近 地面最近的点)距地面200 km ,远地点 B 的点)距地面约350 km ,椭圆的另一个焦点是 F1 ,且

F1、F2 、 、 在同一直线上, A B
地球半径约为6400 km ,求

B

. .
F1 F2

A

“神舟六号”运行轨道的方程.
(精确到1 km ,参考数据: 44550000 ? 6674 )

小结

近地点距地面200 km , 远地点距地面350 km , 地球半径约为6400 km , 求椭圆的方程(精确到1 km 参考数据: 44550000 ? 6674 )

y

B

.O.
F1 F2

A

x

解:由题意可知

a ? c =6400+200 a ? c =6400+350 ? 解得:a=6675, c =75 ? b2 ? 66752 ? 752 44550000


x2 y2 ? ?1 2 2 6675 6674

为椭圆方程.

归纳、小结:
1.椭圆的定义:
平面内与两个定点 F1 、F2 的距离的和 等于常数( 大于 F1F2) 的点的轨迹是椭圆.

椭圆的方程

归纳、小结:
2.椭圆的标准方程
焦点在 x轴上椭圆的标准方程为:

x y ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b 焦点在 y 轴上椭圆的标准方程为: y x ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b
椭圆的方程

2

2

2

2

归纳、小结:
3. a 、 b 、 c 之间的关系:

b ? a ?c
2 2

2

椭圆的方程

归纳小结
坐标法 数形结合 思维能力 化归与转化 运算能力

椭圆的方程

课后作业:
1.基础题:课本53页习题2.2 第2题
2.思考题: 动圆与定圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 32 ? 0 相内切且过定圆内的一个定点A(0,-2).

求动圆圆心P的轨迹方程.
椭圆的方程

椭圆的方程


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