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江西省东乡一中、都昌一中、丰城中学等八校2016届高三数学下学期第二次联考试题 文(扫描版)


江西省东乡一中、都昌一中、丰城中学等八校 2016 届高三数学下学 期第二次联考试题 文(扫描版)

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2

3

4

新八校第二次联考(文科)数学试题参考答案
一、选择题: (本大题共 60 分)D CDAD 二、填空题: (本大题共 20 分) 13. 三、解答题: (本大题共 70 分) 17.(本小题满分 12 分) 解: (1)? BD 为 ?ABC 的平分线 由角平分线定理知: BCBAD AA 15.18 或

? 2

14.[3,11]

2 9

16.

2 26 13

OA AB 3 ? ? OC BC 2

?

S?OAB OA 3 ? ? ; S?OBC OC 2

(6 分)

(2)由 AD / / BC 且 AB ? AC

??ABC ? ?ACB ? ?CAD
?sin ?BAD ? sin(?BAC ? ?CAD) ? sin(?BAC ? ?ABC) ? sin C
在 ?ABC 中, cos C ?

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 1 ? 2 ? AC ? BC 3
2 2 . 3
(12 分)

? sin C ?

2 2 3

故 sin ?BAD 的值为

18. (本小题满分 12 分) 解: (1)由题意知本 题是一个古典概型,设抽到相邻两个月的数据为事件 A 试验发生 包含的事件是从 5 组数据中选取 2 组数据共有 C5 =10 种情况,每种情况都是等 可能出现的 其中,满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有 4 种 ∴P(A)= = ; (4 分)
2

(2) 由数 据求得 =3, =72,

xiyi=1200,

=55,

故 ∴

= = ﹣ =36,

=

=12,

5

∴y 关于 x 的线性回归方程为 =12x+36, 当 x=6, =108(件) , 即预测该工人第 6 个月生产的合格零件的件数为 108 件. 19. (本小题满分 12 分) (1)证明:取 CE 的中点 G,连 FG、BG.∵F 为 CD 的中点, ∴GF∥DE 且 GF=

(10 分)

(12 分)

1 DE. 2

∵AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,∴AB∥DE,∴GF∥AB. 又 AB=

1 DE,∴GF=AB.∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF∥BG. 2

∵△ACD 为等边三角形,F 为 CD 的中点,∴AF⊥CD ∵DE⊥平面 ACD, AF? 平面 ACD, ∴DE⊥AF. 又 CD∩DE=D,故 AF⊥平面 CD E.∵BG∥AF,∴BG⊥平面 CDE. ∵BG? 平面 BCE,∴平面平面 BCE⊥平面 CDE; (2)解:取 AD 中点 M,连接 CM, ∵△ACD 为等边三角形,则 CM⊥AD, ∵ DE⊥平面 ACD,且 DE? 平面 ABED, ∴平面 ACD⊥平面 ABED,又平面 ACD∩平面 ABED=AD,∴CM⊥平 面 ABED, ∴CM 为四棱锥 C﹣ADEB 的高,∴V= CM?SABED= AF?SABED= 20.(本小题满分 12 分) 解: (1)设 M ( x, y ) . (12 分) (6 分)

? M 到圆 C 的切线长与 | MQ | 的比值为 2

? | MO |2 ?2 ? 2 | MQ |2
2 2

? x 2 ? y 2 ? 2 ? 2[(x ? 3)2 ? y 2 ]

整理得: x ? y ? 12x ? 20 ? 0

? 点 M 的轨迹方程为: x 2 ? y 2 ? 12x ? 20 ? 0 ;
(2)设 l 的方程为: y ? kx ? 2 联立方程: ?

(4 分)

? y ? kx ? 2 ?x ? y ? 12x ? 20 ? 0
2 2

,可得: (1 ? k ) x ? (4k ?12) x ? 24 ? 0
2 2

2 由 ? ? 0 可得 5k ? 6k ? 3 ? 0

(*)

6

? x1 ? x2 ?

12 ? 4k 4 ? 12 k , y1 ? y2 ? 2 1? k 1? k 2 ? ? 12 ? 4k 4 ? 12 k ? OA ? OB ? ( , ) 1? k 2 1? k 2
? ? ? ?

(8 分)

? PQ ? (3,?2) 若 OA? OB// PQ
∴k ? ?

则 2(12 ? 4k ) ? 3(4 ? 12k ) ? 0

9 代入(*)中符合题意. 7 ? ? ? 9 ∴存在常数 k ? ? 使 得 OA ? OB 与 PQ 共线. 7
21.(本小题满分 12 分) 解: (1)由(1)可得 f ?( x) ?

(12 分)

1 a x?a ? ? 2 , x x2 x

?若 a ? ?1 时, 则x?a ? 0, 即 f ?( x) ? 0 在 ?1, e? 上恒成立, 此时, f ( x) 在 ?1, e? 上 单调递增,∴ f ? x ?min ? f (1) ? ? a ?

3 3 ,∴ a ? ? (舍去) , 2 2

?若 a ? ? e 时, 则x?a ? 0, 即 f ?( x) ? 0 在 ?1, e? 上恒成立, 此时, f ( x) 在 ?1, e? 上 单调递减,∴ f ? x ?min ? f (e) ? 1 ?

a 3 e ? ,∴ a ? ? (舍去) , 2 e 2

?若 ? e ? a ? ?1 ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? ?a , 当 1 ? x ? ? a 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 ?1,?a ? 上单调递减, 当 ? a ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 ?? a, e? 上单调递增, ∴ f ? x ?min ? f (?a) ? ln( ?a ) ? 1 ? 综上所述, a ? ? e ; (2)∵ ln x ?

3 ,∴ a ? ? e , 2
(6 分)

a ? x ? a ,在 (1,??) 上恒成立 x a x(ln x ? x) , x ? (1,?? ) , ∴ a ? ? ln x ? x , ∴ a ? x x ?1 x(ln x ? x) , x ? (1,?? ) 则 a ? g ( x)max 令 g ( x) ? x ?1

g ?( x) ?

ln x ? x 2 ? x ? 1 2 ,令 h( x) ? ln x ? x ? x ? 1 2 ( x ? 1)
1 ? 2 x 2 ? x ? 1 ? (2 x ? 1)(x ? 1) ? 2x ?1 ? ? ? 0 在 (1,??) 上恒成立, x x x

? h ' ( x) ?

7

∴ h( x) 在 (1,??) 上单调递减,∴ h( x) ? h(1) ? ?1 ? 0, ? g ' ( x) ? 0 ∴ g ( x) 在 (1,??) 上单调递减,? g ( x) ? g (1) ? ? ∴当 a ? ?

1 , 2
(12 分)

1 时, f ( x) ? x ? a 在 (1,??) 上恒成立 . 2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题 记分.答时用 2B 铅笔在答题 卡上 把所选题目的题号涂黑. 22. ( 本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 解: (1)连接 OC,OD,OE,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系 结合题中条件弧长 AE 等于弧长 AC 可得∠CDE=∠AOC, 又∠CDE=∠P+∠PFD,∠AOC=∠P+∠OCP, 从而∠PFD=∠OCP,故△PFD∽△PCO ,∴ 由割线定理知 PC?PD=PA?PB=12,故 ; (5 分)

(2)若圆 F 与圆 O 内切,设圆 F 的半径为 r,因为 OF=2﹣r=1 即 r=1 所以 OB 是圆 F 的直径,且过 P 点圆 F 的切线为 PT 则 PT =PB?PO=2×4=8,即
2

.

(10 分)

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程: 解: (1)将点 M 的极坐标 ( 4,

?
6

) 代入方程 ? ? a sin(? ?

?
3

) ,得, 4 ? a sin(

?
6

?

?
3

),

∴ a ? 4 ,由 ? ? 4 sin(? ?

?
3

) 得 ? ? 2 sin ? ? 2 3 cos? ,

∴ ? 2 ? 2? sin ? ? 2 3? cos? 将?

? x ? ? cos? 代入化简得 x2 ? y 2 ? 2 3x ? 2 y ? 0 , y ? ? sin ? ?
(5 分)

∴曲线 C 直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 3x ? 2 y ? 0 ; (2)由 x2 ? y 2 ? 2 3x ? 2 y ? 0 配方得 x ? 3

? ∴曲线 C 是圆,且圆心坐标为 ? 3,1?,
∴?

? ? ? y ? 1?
2

2

?4,

由点 M 关于直线 l 的对称点 N 在圆 C 上得,直线 l 经过圆 C 的圆心,

? ? 3 ? ?3t , ,∴ m ? 2 , ? 1 ? m ? 3 t ?
8

这是直线 l 的参数方程是 ?

? x ? ?3t , ? y ? 2 ? 3t

,消去参数 t 得 x ? 3 y ? 2 3 ? 0 ,

∴点 M 的直角坐标为 2 3,2 ,∴点 M 到直线 l 的距离为 3 , ∴ MN ? 2 3 . 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲: 解: (1)当 a ? ?3 时, f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3 (10 分)

?

?

?x ? 2 ?2 ? x ? 3 ?x ? 2 或? ? 或? ? ?? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ?x ? 3 ? x ? 2 ? 3

? x ? 1或 x ? 4 ;
(2)原命题 ? f ( x) ? x ? 4 在 ?1,2? 上恒成立

(5 分)

? x ? a ? 2 ? x ? 4 ? x 在 ?1,2? 上恒成立 ? ? 2 ? x ? a ? 2 ? x 在 ?1,2? 上恒成立 ? ? 3 ? a ? 0 .
(10 分)

9


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