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3+X全国模拟试卷北京市数学卷_图文

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2004 年 3+X 全国模拟试卷北京市数学卷
参考公式: 三角函数的和差化积公式 正棱台、圆台的侧面积公式

其中 c?、c 分别表示上、下底面周长,l 表示斜高或母线长

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A={x|a-1≤x≤a+2},B={x| 3<x<5},则能使 A ? B 成立的实数 a 的取值范 围是 ( ) A.{a|3<a≤4} B.{a|3≤a≤4} C.{a|3<a<4} D. ?

2 2.函数 y= 的定义域是(- ? ,1) ? [2,5),则其值域是 ( ) x ?1 1 A.(- ? ,0) ? ( ,2] B.(- ? ,2] 2 1 C.(- ? , ) ? [2,+ ? ) D.(0,+ ? ) 2 2? 3.极坐标系中,点 A(1, )到圆 ? =2cos ? 上动点的距离的最大值为 3
A. 3 -1 B. 3 +1 C.2 D.1

(

)

4.夹在两个平行平面之间的球、圆柱、圆锥在这两个平面上的射影都是等圆,则它们的体 积之比为( ) A.2:3:1 B.3:2:1 C.3:6:2 D.6:8:3 5.以下命题正确的是 ( ) A.α ,β 都是第一象限角,若 cosα >cos β ,则 sinα >sinβ B.α , β 都是第二象限角,若 sinα >sin β ,则 tgα >tgβ C.α ,β 都是第三象限角,若 cosα >cosβ ,则 sinα >sinβ D.α ,β 都是第四象限角,若 sinα >sinβ ,则 tgα >tgβ 6.已知双曲线 C 的方程是

( x ? 1) 2 Y 2 ? =1,给出下列四个命题 4 9
3 4 x;②双曲线 C 的准线方程是 x=± ; 2 13

①双曲线 C 的渐近线方程是 y=±

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③双曲线 C 的离心率是

13 ; 2

④双曲线 C 与直线 y=

2 x 有两个交点 3

其中正确的是 ( ) A.①②③④ B.③④ C.①③ D.②④ 7.已知平面α 与平面β 相交,直线 m ? α ,则 ( ) A.β 内必存在直线与 m 平行,且存在直线与 m 垂直 B.β 内不一定存在直线与 m 平行,不一定存在直线与 m 垂直 C.β 内不一定存在直线与 m 平行,但必存在直线与 m 垂直 D.β 内必存在直线与 m 平行,不一定存在直线与 m 垂直 8.条件“复数 z=

1 1 3 + i”是条件“z+ ∈R”,的 2 2 z
B.必要非充分条件

(

)

A.充分非必要条件

C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

9.C 是曲线 y= 1 ? x 2 (x≤O)上一点,CD ? y 轴,D 是垂足,A 点坐标是(-1,O),设∠CAO=

? (其中 O 表示原点),将 AC+CD 表示成关于 ? 的函数 f( ? ),则 f( ? )= A.2 cos ? -cos2 ? B.cos ? +sin ? .
C.2 cos ? (1+cos ? ) D.2sin ? +cos ? - 2

(

)

10. 等比数列{a n }中, 1 =512, a 公比 q=则Ⅱ 1 ,Ⅱ 2 ,?,中最大的是 A.Ⅱ 11 B.Ⅱ 10 (

1 , 用Ⅱ n 表示它的前 n 项之积: n =a 1 ·a 2 ?a n Ⅱ 2
) D.Ⅱ 8

C.Ⅱ 9

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题含 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上。 11.若过点(m,2)总可以作两条直线和圆(x+1)
2

+(y-2)

2

=4 相切,则实数 m 的取值范

围是__________。 12.将 A、B、C、D、E、F、G 七个不同的电子元件在线路上排成一排,组成一个电路,如 果元件 A 及 B 均不能排在两端, 那么, 这七个电子元件组成不同电路的种数是_________(用 数字做答)。 13.三棱柱 A 1 B 1 C 1 一 ABC 的底面是正三角形,且么 A 1 AB=么 A 1 AC,A 1 点到底面 ABC 的距 离等于点 A 1 到侧面 B 1 BCC 1 的距离,则 A 1 A:AB=_______。 14.以下有四个命题 ①一个等差数列{a n }中, 若存在 a k +1>a k >O(k∈N), 则对于任意自然数 n>k, 都有 a n >0; ②一个等比数列{a n }中,若存在 a k <0,a k +1<O(k∈N),则对于任意 n∈N,都有 a n <0;

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③一个等差数列{a n }中,若存在 a k <0,a k ?1 <0(k∈N),则对于任意 n∈N,都有 a n <O; ④一个等比数列{a n }中,若存在自然数 k,使 a k ·a k ?1 <0,则对于任意 n∈N,都有 a n .a n ?1 <0;其中正确命题的序号是____________。 三、解答题:本大题含 6 个小题,共 84 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分 12 分) 已知关于 x 的不等式

ax ? 5 <0 的解集为 M。 x2 ? a

(I)当 a=4 时,求集合 M; (Ⅱ)若 3∈M 且 5 ? M,求实数 a 的取值范围. 16.(本小题满分 14 分)

? 5 <y< ? 且 sin(x+y)= 13 2 x 1 (I)若 tg = ,分别求 cos x 及 cos y 的值; 2 2
已知 0<x< (Ⅱ)试比较 sin y 与 sin(x+y)的大小,并说明理由。

17.(本小题满分 16 分) 正方形 ABCD 中,AB=2,E 是 AB 边的中点,F 是 BC 边上一点,将△AED 及△DCF 折起(如 图),使 A、C 点重合于 A′点。 (I)证明 A′D┴EF; (Ⅱ)当 F 为 BC 中点时,求 A′D 与平面 DEF 所成角; (Ⅲ)当 BF=

1 BC 时,求三棱锥 A′-EFD 的体积。 4

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18.(本小题满分 14 分) 某小区欲建一面积为 a m 的矩形绿地,四周有小路,绿地长边外小路宽 5 m,短边外小 路宽 8 m(如图),绿地长边至多长 28 m,至少长 20 m。对于给定的 a(300≤a≤700),怎样 设计绿地的长宽使绿地和小路总占地面积最小?
2

19.(本小题满分 14 分) 已知半圆 x +y =4(y≥O),动圆与此半圆相切且与 x 轴相切。 (I)求动圆圆心的轨迹,并画出其轨迹图形; (Ⅱ)是否存在斜率为
2 2

1 的直线 l, 它与(I)中所得轨迹的曲线由左至右顺次交于 A、 C、 B、 3

D 四点,且满足|AD|=2|BC|? 若存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由。

20.(本小题满分 14 分) 已知数列{a n }中,a 1 >-1,对任意自然数 n,都有 a n ?1 +

an ? 2 an ? 1

(I)设 a 1 =1,求 a 2 ,a 3 ,a 4 ; (Ⅱ)试比较 a n 与 2 的大小,并证明你的结论; (Ⅲ)当 a 1 ≠ 2 时,证明:对于任意自然数 n,或者都满足 a 2 n ?1 <a 2 n ?1 ;或者都满足 a 2 n ?1 > a 2 n ?1

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2004 年 3+X 全国模拟试卷北京数学卷 参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)
题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 A 5 D 6 B 7 C 8 A 9 A 10 C

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