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高中数学必修2:1.3 空间几何体的表面积与体积 教案

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1.3 空间几何体的表面积与体积
教学任务分析:根据柱,锥,台的结构特征,并结合它们的展开图,推导它们的表面积
的计算公式,从度量的角度认识空间几何体;用极限思想推导球的体积公式 和表面公式,使学生初步了解利用极限思想解决问题的基本步骤,体会极限 思想的基本内涵。与此同时,培养学生积极探索的科学精神,培养学生的思 维能力,空间想象能力。
教学重点:柱体,锥体,台体的表面积和体积的计算公式。
教学难点:球的体积和表面积的推导
教学设计:
1. 从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手,分析展开图与其表面积的关系。 其目的是㈠复习表面积的概念,即表面积是各个面的面积的和㈡介绍求几何 体表面积的方法,把它们展开成平面图形,利用平面图形求面积的方法,求 立体图形的表面积。
2. 通过类比正方体和长方体的表面积,讨论棱柱,棱锥,棱台的表面积问题。 实际上,求棱柱,棱锥,棱台的表面积问题可转化成求平行四边形,三角形 和梯形问题。
3. 利用计算机或实物展示圆柱的侧面可以展开成一个矩形。圆锥的侧面可以展 开成一个扇形。 随后的有关圆台表面积的探究,也可以按照这样的思路进行教学。 说明圆台表面积公式时,可推导侧面积公式。
圆台侧面积的推导:
设圆台侧面的母线长为,上,下底周长分别是,半径分别是

1 c?l ? x? ? 1 c?x

则 S 圆台侧= 2

2

= 1 ?cl ? ?c ? c??x?
2
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?c ? x c? x ? l

? x ? c?l c ? c?

S圆台侧

?

1 2

???cl

?

?c

?

c??

c?l ? c ? c???

? 1 ?c ? c??l ? ? ?r ? r??l
2

在分别学习了圆柱,圆锥,圆台的表面积公式后,可以引导学生用运动,变化的观点分 析它们之间的关系。圆柱可看成上,下两底面全等的圆台,圆锥可看成上底面半径为零的圆 台。因此,圆柱,圆锥可看成圆台的特例。(可用计算机演示)

4.柱体, 锥体和台体的体积 从正方体,长方体的体积公式引入到一般棱柱的体积也是 V=Sh 若有时间,可推导棱锥的体积公式
棱锥的体积公式的推导
如图,设三棱柱 ABC-ABC 的底面积(即Δ ABC 的面积)为 S,高(即点 A?到平面 ABC 的距离) 为 h,则它的体积为 Sh,沿平面 A?BC 和平面 A?B?C,将这个三棱柱分割为 3 个三棱锥,其 中三棱锥 1,2 的底面积相等(SΔ A?AB=SΔ A?B?B),高也相等点 C 到平面 AB,BA 的距离) 三棱锥也有相等的底面积,和相等的高(点 A?到平面 BCC?B? 的高)因此,这三个三棱锥的 体积相等,每个三棱锥体积是 sh,得 sh 台体 推导出台体的体积公式 V=S?+Sh 让学生思考,柱体,锥体台体的体积公式之间的联系。

C'

C'

B`

B`

B`

A`'

A` A' A'

B A

C BB
A

CC

5.球的表面积和体积 本节课可以用多媒体课件演示球体的分割过程,使整个推导过程更加形象直观。 本课的重点放在引导学生了解其所运用的基本思想方法,即‘分割、求近似和、再由近似和
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转化为球的体积(表面积)’的极限思想方法。 例四和例五都是球的体积公式和表面公式的应用。 例五的教学可以先要学生分析几何组合体的结构特征,分析清楚之后自然明白花柱的表面积 由哪些部分构成。
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