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解析几何初步典型例题


平面解析几何初步
§7.1 直线和圆的方程 经典例题导讲 [例 1]直线 l 经过 P(2,3),且在 x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程. 解:在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为: k ? ∴直线方程为 y=

3?0 3 ? , 2?0 2

3 x 2 3 x . 2

综上可得:所求直线方程为 x+y-5=0 或 y=

[例 2]已知动点 P 到 y 轴的距离的 3 倍等于它到点 A(1,3)的距离的平方,求动点 P 的轨迹 方程. 5 2 21 1 2 3 2 2 解: 接前面的过程,∵方程①化为(x- ) +(y-3) = ,方程②化为(x+ ) +(y-3) = - , 2 4 2 4 5 2 21 2 由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点 P 的轨迹方程为: (x- ) +(y-3) = (x≥ 2 4 0) 2 2 2 2 [例 3]m 是什么数时,关于 x,y 的方程(2m +m-1)x +(m -m+2)y +m+2=0 的图象表示一个 圆? 2 2 解:欲使方程 Ax +Cy +F=0 表示一个圆,只要 A=C≠0, 2 2 2 得 2m +m-1=m -m+2,即 m +2m-3=0,解得 m1=1,m2=-3, 2 2 (1) 当 m=1 时,方程为 2x +2y =-3 不合题意,舍去.
2 2 2 2 1 (2) 当 m=-3 时,方程为 14x +14y =1,即 x +y = ,原方程的图形表示圆. 14

[例 4]自点 A(-3,3)发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆 2 2 x +y -4x-4y+7=0 相切,求光线 L 所在的直线方程. 解:设反射光线为 L′,由于 L 和 L′关于 x 轴对称,L 过点 A(-3,3),点 A 关于 x 轴的对称 点 A′(-3,-3), 于是 L′过 A(-3,-3). 设 L′的斜率为 k,则 L′的方程为 y-(-3)=k[x-(-3)] ,即 kx-y+3k-3=0, 2 2 已知圆方程即(x-2) +(y-2) =1,圆心 O 的坐标为(2,2),半径 r=1 因 L′和已知圆相切,则 O 到 L′的距离等于半径 r=1

2k ? 2 ? 3k ? 3 k2 ?1

?

5k ? 5 k2 ?1

?1

即 2 整理得 12k -25k+12=0 解得 k=

4 3 或 k= 3 4 4 3 (x+3);或 y+3= (x+3)。 3 4

L′的方程为 y+3=

即 4x-3y+3=0 或 3x-4y-3=0 因 L 和 L′关于 x 轴对称 故 L 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0. [例 5] 求过直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 和圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 的交点, 且满足下列条件之
2 2

一的圆的方程:

(1) 过原点; (2)有最小面积. 解:设所求圆的方程是: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? ? ?x ? 2 y ? 4? ? 0 即: x 2 ? y 2 ? ?2 ? ? ?x ? 2?2 ? ? ?y ? 1 ? 4? ? 0 (1)因为圆过原点,所以 1 ? 4? ? 0 ,即 ? ? ? 故所求圆的方程为: x ? y ?
2 2

1 4

7 7 x ? y ? 0. 4 2
2

(2) 将圆系方程化为标准式,有:

2??? 5? 2? 4 ? 2 ?x ? ? ? ?y ? 2 ? ?? ? ? ? ? ? ? 2 ? 4? 5? 5 ?
当其半径最小时,圆的面积最小,此时 ? ? ?
2

2

2 为所求. 5
2

4? ? 8? 4 ? 故满足条件的圆的方程是 ? x ? ? ? ? y ? ? ? . 5? ? 5? 5 ?
[例 6] (06 年辽宁理科) 已知点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ( x1 x2 ≠0) 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的两个动点,O 是坐标原点,向量 OA, OB 满足| OA ? OB |=| OA ? OB |.设圆 C 的 方程为 x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 (1)证明线段 AB 是圆 C 的直径; (2)当圆 C 的圆心到直线 x ? 2 y ? 0 的距离的最小值为

2 5 时,求 p 的值. 5
2 2

解: (1)证明 ∵| OA ? OB |=| OA ? OB |,∴( OA ? OB ) =( OA ? OB ) , 整理得: OA ? OB =0 ∴ x1 x2 + y1 y 2 =0

设 M( x , y )是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则 MA ? MB =0 即

( x ? x1 )(x ? x2 ) + ( y ? y1 )( y ? y2 ) =0
2 2

整理得: x ? y ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 故线段 AB 是圆 C 的直径. (2)设圆 C 的圆心为 C( x , y ) ,则

x ? x2 ? x? 1 ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y 2 ? 2 ?

∵ y1 ? 2 px1 , y2 ? 2 px2 ( p ? 0) ∴ x1 x 2 ?

2

2

y1 y 2 4 p2

2

2

又∵ x1 x2 + y1 y 2 =0 , x1 x2 =- y1 y 2

y y2 ∴- y1 y 2 ? 1 2 4p

2

2

∵ x1 x2 ≠0,∴ y1 y 2 ≠0 ∴ y1 y 2 =-4 p 2

x?

x1 ? x2 1 1 1 2 2 2 2 ? ( y1 ? y 2 ) ? ( y1 ? y 2 ? 2 y1 y 2 ) ? y1 y 2 2 4p 4p 4p



1 (y2 ? 2 p2 ) p

所以圆心的轨迹方程为 y 2 ? px ? 2 p 2 设圆心 C 到直线 x ? 2 y ? 0 的距离为d,则



| x ? 2y | 5

| ?

1 2 (y ? 2 p2 ) ? 2y | p 5
p 5

?

| ( y ? p) 2 ? p 2 | 5p
p 5


当 y = p 时,d有最小值 ∴ p =2.

,由题设得

2 5 5

圆锥曲线 经典例题导讲 [例 1]设双曲线的渐近线为: y ? ? 解:由双曲线的渐近线为 y ? ? 轴上时,

3 x ,求其离心率. 2

3 x 是不能确定焦点的位置在 x 轴上的,当焦点的位置在 y 2

b 2 ? ,故本题应有两解,即: a 3

e?

13 c b2 13 或 . ? 1? 2 ? 3 a 2 a

[例 2]设点 P(x,y)在椭圆 4x 2 ? y 2 ? 4 上,求 x ? y 的最大、最小值. 剖析:本题中 x、y 除了分别满足以上条件外,还受制约条件 4x 2 ? y 2 ? 4 的约束.当 x=1 时,y 此时取不到最大值 2,故 x+y 的最大值不为 3.其实本题只需令 x ? cos? , y ? 2 sin ? , 则 x ? y ? cos? ? 2 sin ? ? 5 sin(? ? ? ) ,故其最大值为 5 ,最小值为 ? 5 . [例 3]已知双曲线的右准线为 x ? 4 ,右焦点 F (10,0) ,离心率 e ? 2 ,求双曲线方程. 解法一: 设 P( x, y ) 为双曲线上任意一点, 因为双曲线的右准线为 x ? 4 , 右焦点 F (10,0) , 离心率 e ? 2 ,由双曲线的定义知

( x ? 10) 2 ? y 2 ( x ? 2) 2 y 2 ? ? 1. ? 2. 整理得 16 48 | x?4|

解法二: 依题意,设双曲线的中心为 (m,0) ,



?a2 ? ?m?4 c ? ? ?c ? m ? 10 解得 ?c ? ? 2. ? ?a

?a ? 4 ? 2 2 2 ?c ? 8 ,所以 b ? c ? a ? 64 ? 16 ? 48, ? m ? 2. ?

故所求双曲线方程为

( x ? 2) 2 y 2 ? ? 1. 16 48
3 3 ,已知点 P ( 0, ) 到这个 2 2

[例 4]设椭圆的中心是坐标原点,长轴 x 在轴上,离心率 e ? 椭圆上的最远距离是 7 ,求这个椭圆的方程. 解:若 b ?

1 2 ,则当 y ? ?b 时, d (从而 d )有最大值. 2 3 2 3 1 1 2 于是 ( 7 ) ? (b ? ) , 从而解得 b ? 7 ? ? , 与b ? 矛盾 . 2 2 2 2 1 1 2 所以必有 b ? ,此时当 y ? ? 时, d (从而 d )有最大值, 2 2
所以 4b 2 ?3 ? ( 7 ) 2 ,解得 b ? 1, a ? 4.
2 2

x2 ? y 2 ? 1. 于是所求椭圆的方程为 4
[例 5]从椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,( a >b>0)上一点 M 向 x 轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点 F1, a2 b2

A、B 分别是椭圆长、短轴的端点,AB∥OM 设 Q 是椭圆上任意一点,当 QF2⊥AB 时,延长 QF2
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与椭圆交于另一点 P,若⊿F1PQ 的面积为 20 3 ,求此时椭圆的方程 解:本题可用待定系数法求解
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∵b=c, a = 2 c,可设椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 2c 2 c 2

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∵PQ⊥AB,∴kPQ=-

1 a ? ? 2 ,则 PQ 的方程为 y= 2 (x-c), k AB b
2 2

代入椭圆方程整理得 5x -8cx+2c =0, 根据弦长公式,得 PQ=

6 2 c, 5

又点 F1 到 PQ 的距离 d=

2 6 c 3

∴ S ?F1PQ ?

1 4 3 2 4 3 2 PQ d ? c ,由 c ? 20 3,得c 2 ? 25, 2 5 5

故所求椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 50 25

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? x2 2 ? y ? 1 ,过左焦点 F 作倾斜角为 6 的直线交椭圆于 A、B 两点,求 [例 6]已知椭圆: 9
弦 AB 的长
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解:a=3,b=1,c=2 2 ; 由题意知: l : y ?

则 F(-2 2 ,0)

1 3

(x ? 2 2) 与

x2 ? y 2 ? 1 联立消去 y 得: 9

4 x 2 ? 12 2 x ? 15 ? 0
设 A( x1 , y1 ) 、B( x 2 , y 2 ) ,则 x1 , x 2 是上面方程的二实根,由违达定理, x1 ? x2 ? ?3 2

x1 ? x 2 ?

x ? x2 15 3 2 ?? , xM ? 1 又因为 A、B、F 都是直线 l 上的点, 4 2 2

所以|AB|= 1 ? ? | x1 ? x2 |?

1 3

2 3

? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?
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2 3

18 ? 15 ? 2

点评:也可利用“焦半径”公式计算

[例 7] (06 年全国理科)设 P 是椭圆 个动点,求|PQ|的最大值.

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 短轴的一个端点,Q 为椭圆上的一 2 a

2 2 解: 依题意可设 P(0,1) ,Q( x , y ) ,则|PQ|= x ? ( y ? 1) ,又因为 Q 在椭圆上,

所以, x 2 ? a 2 (1 ? y 2 ) ,|PQ| = a 2 (1 ? y 2 ) ? y 2 ? 2 y ? 1 = (1 ? a 2 ) y 2 ? 2 y ? 1 ? a 2
2

1 2 1 ) ? ?1? a2. 2 2 1? a 1? a 1 1 | ≤ 1 ,当 y ? 因为 | y | ≤ 1 , a > 1 ,若 a ≥ 2 ,则 | 时,| PQ |取最大值 2 1? a 1? a2
= (1 ? a )( y ?
2

a2 a2 ?1 ;若 1< a < 2 ,则当 y ? ?1 时,|PQ|取最大值 2. a2 ?1
[例 8]已知双曲线的中心在原点,过右焦点 F(2,0)作斜率为 M、N 两点,且 MN =4,求双曲线方程

3 的直线,交双曲线于 5

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解:设所求双曲线方程为

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,由右焦点为(2,0) 知 C=2,b2=4- a 2 2 a b
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则双曲线方程为

x2 y2 3 ? ? 1 ,设直线 MN 的方程为: y ? ( x ? 2) ,代入双曲线方程 2 2 5 a 4?a
2 2 2 4 2

整理得:(20-8 a )x +12 a x+5 a -32 a =0 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1 ? x 2 ?

? 12a 2 5a 4 ? 32a 2 x x ? , 1 2 20 ? 8a 2 20 ? 8a 2

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? ? ? MN ? 1 ? ? 3 ? ? ? 5? ? ?
8 ? ? 5
解得
2

2

?x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2

? ? 12a 2 ? 5a 4 ? 32a 2 ? ? ? 4 ? ?4 ? 20 ? 8a 2 ? 20 ? 8a 2 ? ?
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a 2 ? 1 ,? b 2 ? 4 ? 1 ? 3
2

y2 ?1 故所求双曲线方程为: x ? 3
经典例题导讲

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点、直线和圆锥曲线 [例 1]求过点 (0,1) 的直线,使它与抛物线 y ? 2 x 仅有一个交点.
2

解: ①当所求直线斜率不存在时,即直线垂直 x 轴,因为过点 (0,1) ,所以 x ? 0, 即 y 轴, 它正好与抛物线 y 2 ? 2 x 相切.②当所求直线斜率为零时,直线为 y = 1 平行 x 轴,它正好 与 抛 物 线 y 2 ? 2 x 只 有 一 个 交 点 . ③ 一 般 地 , 设 所 求 的 过 点 (0,1) 的 直 线 为

? y ? kx ? 1 , y ? kx ? 1 (k ? 0) ,则 ? 2 ? y ? 2x
1 1 ? k 2 x 2 ? (2k ? 2) x ? 1 ? 0. 令 ? ? 0, 解得 k = 2 ,∴ 所求直线为 y ? x ? 1. 2 1 综上,满足条件的直线为: y ? 1, x ? 0, y ? x ? 1. 2
[例 2]已知曲线 C: y ?

20 ? x 2 与直线 L: y ? ? x ? m 仅有一个公共点,求 m 的范围. 2
y

解:原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.(如图) ,结合图 形易求得 m 的范围为 m ? 5或 ? 2 5 ? m ? 2 5 . 注意: 在将方程变形时应时时注意范围的变化, 这样才不会出 错. [例 3]已知 A、 B 是圆 x 2 ? y 2 ? 1 与 x 轴的两个交点,CD 是垂 直于 AB 的动弦,直线 AC 和 DB 相交于点 P,问是否存在两个 定点 E、F, 使 | | PE |-| PF | | 为定值?若存在,求出 E、 F 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:由已知得 A (-1, 0 )、B ( 1, 0 ), 设 P ( x, y ), C ( x0 , y0 ) , 则 D ( x0 ,? y 0 ), 由 A、C、P 三点共线得

o

x

y P C

y0 y ? x ? 1 x0 ? 1 ? y0 y ? x ? 1 x0 ? 1
2

A ①

O D

B

x

由 D、B、P 三点共线得



①×② 得
2 2

?y y2 ? 20 2 x ? 1 x0 ? 1
2 2



又 x0 ? y0 ? 1 ,

∴ y0 ? 1 ? x0 , 代入③得 x ? y ? 1 ,
2 2

2 2 即点 P 在双曲线 x ? y ? 1 上, 故由双曲线定义知,存在两个定点 E (- 2 , 0 )、

F ( 2 , 0 )(即此双曲线的焦点) ,使 | | PE |-| PF | | = 2 (即此双曲线的实轴

长为定值). [例 4]已知椭圆的中心在坐标原点 O, 焦点在坐标轴上, 直线 y=x+1 与该椭圆相交于 P 和 Q,

10 ,求椭圆的方程. 2 x2 y2 解:设所求椭圆的方程为 2 ? 2 =1. a b
且 OP⊥OQ,|PQ|= 依题意知,点 P、Q 的坐标满足方程组: ?x 2 y2 ? 2 ? 2 ? 1    ① ?a b ?y ? x ? 1     ② ? 将②代入①,整理得 ③ (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0 , 设方程③的两个根分别为 x1 、 x2 ,则直线 y=x+1 和椭圆的交点为 P( x1 , x1 +1),Q( x2 , x2 +1) 由题设 OP⊥OQ,|OP|=

10 ,可得 2

? x1 ? 1 x 2 ? 1 ? x ? x ? ?1 ? 1 2 ? 10 2 ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? [(x 2 ? 1) ? ( x1 ? 1)]2 ? ( ) ? 2 ?
整理得

?( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 ? 1 ? 0       ① ? 2 ?4( x1 ? x 2 ) ? 16x1 x 2 ? 5 ? 0     ②
解这个方程组,得

1 ? x1 x 2 ? ? ? 4 ? ?x ? x ? ? 3 1 2 ? 2 ?

1 ? x1 x 2 ? ? ? ? 4 或 ? ?x ? x ? ? 1 1 2 ? 2 ?

根据根与系数的关系,由③式得

? 2a 2 3 ? ? 2 2 ?a ? b 2 (1) ? 2 2 ? a (1 ? b ) ? 1 ? 4 ? a2 ? b2
解方程组(1)、(2)得

? 2a 2 1 ? ? 2 2 ?a ? b 2 或 (2) ? 2 2 ? a (1 ? b ) ? ? 1 ? 4 ? a2 ? b2

?a 2 ? 2 ? ? 2 2 ?b ? 3 ?
x2 y2 ? 2 2 3

? 2 2 ?a ? 或? 3 ?b 2 ? 2 ?
=1 , 或

故所求椭圆方程为

x2 y2 ? =1. 2 2 3

[ 例 5] ( 06 年 高 考 湖 南 ) 已 知 椭 圆 C1 :

x2 y2 ? 4 3

= 1 , 抛 物 线 C2 :

(1)当 AB⊥ x 轴时, ( y ? m) 2 ? 2 px( p ? 0) ,且 C1、C2 的公共弦 AB 过椭圆 C1 的右焦点。 4 求 m 、 p 的值,并判断抛物线 C2 的焦点是否在直线 AB 上; (2)若 p = ,且抛物线 C2 的 3 焦点在直线 AB 上,求 m 的值及直线 AB 的方程. 解: (1)当 AB⊥ x 轴时,点 A、B 关于 x 轴对称,所以 m =0,直线 AB 的方程为 x =1, 3 3 从而点 A 的坐标为(1, )或(1,- ) , 2 2 9 9 因为点 A 在抛物线上,所以 ? 2 p , p = . 4 8 9 此时,抛物线 C2 的焦点坐标为( ,0) ,该焦点不在直线 AB 上. 16 (2)当抛物线 C2 的焦点在直线 AB 上时,由(1)知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程 为 y ? k ( x ? 1) .

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 消去 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 y2 ?1 ? ? 3 ?4 设 A、B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ).
则 x1 , x2 是方程①的两根, x1 + x2 =



8k 2 . 3 ? 4k 2

因为 AB 既是过 C1 的右焦点的弦,又是 C2 的焦点的弦, 所以|AB|= (2- 且

1 1 1 x1 )+(2- x 2 )=4- ( x1 ? x 2 ) , 2 2 2

p p 4 )+( x 2 ? )= x1 ? x2 ? p = x1 ? x 2 ? . 2 2 3 4 1 从而 x1 ? x 2 ? =4- ( x1 ? x 2 ) 3 2 16 16 8k 2 ? 所以 x1 ? x 2 ? ,即 2 9 9 3 ? 4k 解得 k ? ? 6 . 2 1 、 因为 C2 的焦点 F ( , m )在直线 y ? k ( x ? 1) 上,所以 m ? ? k , 3 3 6 即m ? ? 3 6 当m ? 时直线 AB 的方程为 y ? ? 6 ( x ? 1) ; 3 6 当m ? ? 时直线 AB 的方程为 y ? 6 ( x ? 1) . 3
|AB|=( x1 ?


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