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高考数学二轮复习专题10数列求和及其应用教学案理(数学教案)_图文

专题 10 数列求和及其应用 高考对本节内容的考查仍将以常用方法求和为主, 尤其是错位相减法及裂项求和, 题型 延续解答题的形式.预测 2018 高考对数列求和仍是考查的重点.数列的应用以及数列与函 数等的综合的命题趋势较强,复习时应予以关注. 1.数列求和的方法技巧 (1)公式法:直接应用等差、等比数列的求和公式求和. (2)错位相减法 这种方法主要用于求数列{an·bn}的前 n 项和, 其中{an}、 {bn}分别是等差数列和等比数 列. (3)倒序相加法 这是在推导等差数列前 n 项和公式时所用的方法,也就是将一个数列倒过来排列(反 序),当它与原数列相加时若有公因式可提,并且剩余项的和易于求得,则这样的数列可用 倒序相加法求和. (4)裂项相消法 利用通项变形,将通项分裂成两项或几项的差,通过相加过程中的相互抵消,最后只剩 下有限项的和. (5)分组转化求和法 有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将数列通项拆开或变形,可转化为几 个等差、等比数列或常见的数列,可先分别求和,然后再合并. 2.数列的综合问题 (1)等差数列与等比数列的综合. (2)数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的综合. (3)增长率、分期付款、利润成本效益的增减等实际应用问题. 数列的实际应用问题一般文字叙述较长,反映的事物背景陌生,知识涉及面广,因此要 解好应用题,首先应当提高阅读理解能力,将普通语言转化为数学语言或数学符号,实际问 题转化为数学问题,然后再用数学运算、数学推理予以解决. 【误区警示】 1 1.应用错位相减法求和时,注意项的对应. 2.正确区分等差与等比数列模型,正确区分实际问题中的量是通项还是前 n 项和. 考点一.数列求和 例 1、25.【2017 江苏,19】 对于给定的正整数 k ,若数列 {an } 满足 an?k ? an?k ?1 ? ? an?1 ? an?1 ? ? an?k ?1 ? an?k ? 2kan 对任意正整数 n(n ? k ) 总成立,则称数列 {an } 是“ P(k ) 数列”. (1)证明:等差数列 {an } 是“ P(3) 数列”; (2)若数列 {an } 既是“ P(2) 数列”,又是“ P(3) 数列”,证明: {an } 是等差数列. 【答案】 (1)见解析(2)见解析 (2)数列 ?an ? 既是“ P ? 2 ? 数列”,又是“ P ? 3? 数列”,因此, 当 n ? 3 时, an ? 2 ? an ?1 ? an ?1 ? an ? 2 ? 4an ,① 当 n ? 4 时, an ?3 ? an ? 2 ? an ?1 ? an ?1 ? an ? 2 ? an ?3 ? 6an .② 由①知, an ?3 ? an ? 2 ? 4an ?1 ? ? an ? an?1 ? ,③ an ? 2 ? an ?3 ? 4an ?1 ? ? an?1 ? an ? ,④ 将③④代入②,得 an ?1 ? an ?1 ? 2an ,其中 n ? 4 , 所以 a3 , a4 , a5 , 是等差数列,设其公差为 d ' . 在①中,取 n ? 4 ,则 a2 ? a3 ? a5 ? a6 ? 4a4 ,所以 a2 ? a3 ? d ' , 2 在①中,取 n ? 3 ,则 a1 ? a2 ? a4 ? a5 ? 4a3 ,所以 a1 ? a2 ? 2d ' , 所以数列 {an } 是等差数列. 【变式探究】(2016·浙江卷)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S2=4,an+1=2Sn+1, n∈N*. (1)求通项公式 an; (2)求数列{|an-n-2|}的前 n 项和. 【举一反三】 若 An 和 Bn 分别表示数列{an}和{bn}的前 n 项的和,对任意正整数 n,an =2(n+1),3An-Bn=4n. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)记 cn= 2 An+Bn ,求{cn}的前 n 项和 Sn. 解:(1)由于 an=2(n+1), ∴{an}为等差数列,且 a1=4. ∴An= n(a1+an) n(4+2n+2) 2 = 2 2 =n +3n, 2 2 ∴Bn=3An-4n=3(n +3n)-4n=3n +5n, 3 当 n=1 时,b1=B1=8, 当 n≥2 时,bn=Bn-Bn-1=3n +5n-[3(n-1) +5(n-1)]=6n+2. 由于 b1=8 适合上式, ∴bn=6n+2. (2)由(1)知 cn= ∴Sn= 1??1 1? ?1 1? ?1 1? ?1 1? ?? - ?+? - ?+? - ?+? - ?+…+ 4??1 3? ?2 4? ?3 5? ?4 6? 2 2 ? ? An+Bn 4n2+8n 4?n n+2? = = - 2 2 1?1 1 ? , ? 1 - 1 ?+?1- 1 ??= ?n-1 n+1? ?n n+2?? ? ? ? ?? 1 1 ? 3 1? 1 1 ? 1? 1 1+ - - + = - ? ? ? ?. 2 n + 1 n + 2 n + 1 n + 2? 4? ? 8 4? 【变式探究】(2016·山东卷)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n +8n,{bn}是等差数列, 且 an=bn+bn+1. (1)求数列{bn}的通项公式; (an+1) (2)令 cn= n ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. (bn+2) n+1 2 (6n+6) n+1 (2)由(1)知 cn= . n =3(n+1)·2 (3n+3) 又 Tn=c1+c2+…+cn, 得 Tn=3×[2×2 +3×2 +…+(n+1)×2 2Tn=3×[2×2 +3×2 +…+(n+1)×2 两式作差,得 - Tn = 3×[2×2 + 2 + 2 + … + 2 2 3 4 3 4

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