高考数学二轮复习专题10数列求和及其应用教学案理(数学教案)_图文

专题 10 数列求和及其应用 高考对本节内容的考查仍将以常用方法求和为主， 尤其是错位相减法及裂项求和， 题型 延续解答题的形式．预测 2018 高考对数列求和仍是考查的重点．数列的应用以及数列与函 数等的综合的命题趋势较强，复习时应予以关注． 1．数列求和的方法技巧 (1)公式法：直接应用等差、等比数列的求和公式求和． (2)错位相减法 这种方法主要用于求数列{an·bn}的前 n 项和， 其中{an}、 {bn}分别是等差数列和等比数 列． (3)倒序相加法 这是在推导等差数列前 n 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反 序)，当它与原数列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用 倒序相加法求和． (4)裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩 下有限项的和． (5)分组转化求和法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几 个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并． 2．数列的综合问题 (1)等差数列与等比数列的综合． (2)数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的综合． (3)增长率、分期付款、利润成本效益的增减等实际应用问题． 数列的实际应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要 解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问 题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决. 【误区警示】 1 1．应用错位相减法求和时，注意项的对应． 2．正确区分等差与等比数列模型，正确区分实际问题中的量是通项还是前 n 项和． 考点一．数列求和 例 1、25.【2017 江苏，19】 对于给定的正整数 k ,若数列 {an } 满足 an?k ? an?k ?1 ? ? an?1 ? an?1 ? ? an?k ?1 ? an?k ? 2kan 对任意正整数 n(n ? k ) 总成立，则称数列 {an } 是“ P(k ) 数列”. （1）证明：等差数列 {an } 是“ P(3) 数列”; （2）若数列 {an } 既是“ P(2) 数列”，又是“ P(3) 数列”，证明： {an } 是等差数列. 【答案】 （1）见解析（2）见解析 （2）数列 ?an ? 既是“ P ? 2 ? 数列”，又是“ P ? 3? 数列”，因此， 当 n ? 3 时， an ? 2 ? an ?1 ? an ?1 ? an ? 2 ? 4an ，① 当 n ? 4 时， an ?3 ? an ? 2 ? an ?1 ? an ?1 ? an ? 2 ? an ?3 ? 6an .② 由①知， an ?3 ? an ? 2 ? 4an ?1 ? ? an ? an?1 ? ，③ an ? 2 ? an ?3 ? 4an ?1 ? ? an?1 ? an ? ，④ 将③④代入②，得 an ?1 ? an ?1 ? 2an ，其中 n ? 4 ， 所以 a3 , a4 , a5 , 是等差数列，设其公差为 d ' . 在①中，取 n ? 4 ，则 a2 ? a3 ? a5 ? a6 ? 4a4 ，所以 a2 ? a3 ? d ' ， 2 在①中，取 n ? 3 ，则 a1 ? a2 ? a4 ? a5 ? 4a3 ，所以 a1 ? a2 ? 2d ' ， 所以数列 {an } 是等差数列. 【变式探究】(2016·浙江卷)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S2＝4，an＋1＝2Sn＋1， n∈N*. (1)求通项公式 an； (2)求数列{|an－n－2|}的前 n 项和． 【举一反三】 若 An 和 Bn 分别表示数列{an}和{bn}的前 n 项的和，对任意正整数 n，an ＝2(n＋1)，3An－Bn＝4n. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)记 cn＝ 2 An＋Bn ，求{cn}的前 n 项和 Sn. 解：(1)由于 an＝2(n＋1)， ∴{an}为等差数列，且 a1＝4. ∴An＝ n（a1＋an） n（4＋2n＋2） 2 ＝ 2 2 ＝n ＋3n， 2 2 ∴Bn＝3An－4n＝3(n ＋3n)－4n＝3n ＋5n， 3 当 n＝1 时，b1＝B1＝8， 当 n≥2 时，bn＝Bn－Bn－1＝3n ＋5n－[3(n－1) ＋5(n－1)]＝6n＋2. 由于 b1＝8 适合上式， ∴bn＝6n＋2. (2)由(1)知 cn＝ ∴Sn＝ 1??1 1? ?1 1? ?1 1? ?1 1? ?? － ?＋? － ?＋? － ?＋? － ?＋…＋ 4??1 3? ?2 4? ?3 5? ?4 6? 2 2 ? ? An＋Bn 4n2＋8n 4?n n＋2? ＝ ＝ － 2 2 1?1 1 ? ， ? 1 － 1 ?＋?1－ 1 ??＝ ?n－1 n＋1? ?n n＋2?? ? ? ? ?? 1 1 ? 3 1? 1 1 ? 1? 1 1＋ － － ＋ ＝ － ? ? ? ?. 2 n ＋ 1 n ＋ 2 n ＋ 1 n ＋ 2? 4? ? 8 4? 【变式探究】(2016·山东卷)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n ＋8n，{bn}是等差数列， 且 an＝bn＋bn＋1. (1)求数列{bn}的通项公式； （an＋1） (2)令 cn＝ n ，求数列{cn}的前 n 项和 Tn. （bn＋2） n＋1 2 （6n＋6） n＋1 (2)由(1)知 cn＝ . n ＝3(n＋1)·2 （3n＋3） 又 Tn＝c1＋c2＋…＋cn， 得 Tn＝3×[2×2 ＋3×2 ＋…＋(n＋1)×2 2Tn＝3×[2×2 ＋3×2 ＋…＋(n＋1)×2 两式作差，得 － Tn ＝ 3×[2×2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ … ＋ 2 2 3 4 3 4