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高考数学二轮复习专题10数列求和及其应用教学案理(数学教案)_图文
专题 10 数列求和及其应用 高考对本节内容的考查仍将以常用方法求和为主， 尤其是错位相减法及裂项求和， 题型 延续解答题的形式．预测 2018 高考对数列求和仍是考查的重点．数列的应用以及数列与函 数等的综合的命题趋势较强，复习时应予以关注． 1．数列求和的方法技巧 (1)公式法：直接应用等差、等比数列的求和公式求和． (2)错位相减法 这种方法主要用于求数列{an·bn}的前 n 项和， 其中{an}、 {bn}分别是等差数列和等比数 列． (3)倒序相加法 这是在推导等差数列前 n 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反 序)，当它与原数列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用 倒序相加法求和． (4)裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩 下有限项的和． (5)分组转化求和法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几 个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并． 2．数列的综合问题 (1)等差数列与等比数列的综合． (2)数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的综合． (3)增长率、分期付款、利润成本效益的增减等实际应用问题． 数列的实际应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要 解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问 题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决. 【误区警示】 1 1．应用错位相减法求和时，注意项的对应． 2．正确区分等差与等比数列模型，正确区分实际问题中的量是通项还是前 n 项和． 考点一．数列求和 例 1、25.【2017 江苏，19】 对于给定的正整数 k ,若数列 {an } 满足 an?k ? an?k ?1 ? ? an?1 ? an?1 ? ? an?k ?1 ? an?k ? 2kan 对任意正整数 n(n ? k ) 总成立，则称数列 {an } 是“ P(k ) 数列”. （1）证明：等差数列 {an } 是“ P(3) 数列”; （2）若数列 {an } 既是“ P(2) 数列”，又是“ P(3) 数列”，证明： {an } 是等差数列. 【答案】 （1）见解析（2）见解析 （2）数列 ?an ? 既是“ P ? 2 ? 数列”，又是“ P ? 3? 数列”，因此， 当 n ? 3 时， an ? 2 ? an ?1 ? an ?1 ? an ? 2 ? 4an ，① 当 n ? 4 时， an ?3 ? an ? 2 ? an ?1 ? an ?1 ? an ? 2 ? an ?3 ? 6an .② 由①知， an ?3 ? an ? 2 ? 4an ?1 ? ? an ? an?1 ? ，③ an ? 2 ? an ?3 ? 4an ?1 ? ? an?1 ? an ? ，④ 将③④代入②，得 an ?1 ? an ?1 ? 2an ，其中 n ? 4 ， 所以 a3 , a4 , a5 , 是等差数列，设其公差为 d ' . 在①中，取 n ? 4 ，则 a2 ? a3 ? a5 ? a6 ? 4a4 ，所以 a2 ? a3 ? d ' ， 2 在①中，取 n ? 3 ，则 a1 ? a2 ? a4 ? a5 ? 4a3 ，所以 a1 ? a2 ? 2d ' ， 所以数列 {an } 是等差数列. 【变式探究】(2016·浙江卷)设数列{an}的
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