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2019-2020人教A版高中数学选修2-2课件:1.4生活中的优化问题举例优质课件_图文

高中数学课件
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1.4 生活中的优化问题举例

生活中经常遇到求利润 最大、用料 最省、效率最高等问题 , 这些问题 通常称为 优化问题 .通 过 前面的学
习,我们知道,导数是求函数最大 ?小?
值的有力工具 .本节我们运用导 数, 解决一些生活中的优化 问题.

例1 汽油的使用效率何时最 高
我们知道,汽油的消耗量 w ?单位 : L?与汽车的速度 v ?单位 : km / h?之间有一定关系,汽油的消耗量w是汽车
速度v的函数.根据你的生活经验,思考下面两个问题 :
?1?是不是汽车的速度越快,汽油的消越量越大 ? ?2?"汽油的使用效率最高"的含义是什么?
现实生活中,当汽车行驶路程一定时,我们希望汽油 的使用效率最高 ,即每千米路程的汽油消 耗量最少 或每升汽油能够使汽车 行驶最长路程.这就需要考 虑如何提高汽油的使用 效率,使汽油使用效率最高.

研究汽油的使用效率?单位 : L / km?就是研究汽
油消耗量与汽车行驶路程的比值.如果用G表示
每千米平均的汽油消耗量,那么 G ? w ,其中,w s
表示汽油消耗量?单位 : L?,s表示汽车行驶的路 程?单位 : km?.这样,求"每千米路程的汽车消耗
量最少",就是求G的最小值问题. 解决" 优化问题"的途径之一是通过搜集大量的
统计数据,并对数据进行整理 和分析,建立与其
相应的函数模型 ;再通过研究相应函数的性 质,
提出优化方案,使问题得到解决.在这个过程中,
导数往往是一个有力的工具.

g?L / h? 通过大量的统计数据,并
15
对数据进行分析、研究,

人们发现, 汽车在行驶 10

过程中, 汽油平均消耗 5

率g(即每小时的汽油消 耗量,单位:L / h)与汽车 o

30 50 60 90
图1.4 ? 1

v?km / h?
120

行驶的平均速度v(单位 : km / h)之间有如图1.4 ? 1

所示的函数关系g ? f?v?.

那么,我们如何根据这个图象 中的数据信息,解决汽 油使用效率最高的问题 呢 ?

从图象中我们不能直接 g?L /h?

解决汽油使用效率最高 15

问题.因此,我们首先需要 10

将问题转化为汽 油平均 5

消耗率 g(即每小时的汽

v?km / h?

油消耗量 ,单位 : L / h) 与 o

30 50 60 90 120
图1.4 ? 1

汽车行驶的平均速度 v 之间关系的问题,然后利用

图象中的数据信息,解决汽油使用效率最高的问题.

如图 1.4 ? 1,函数 g ? f?v? 最小值的意义是什么?它是
否表示在此点处汽油的 使用效率最高?

g?L / h?

解 因为G ? W ? W / t . 15

S S/t 这样,问题就转化为求 g



10

斜率

?

g v

?L

/

km?

?

v

g

最小值.从图象上看, g 表示 5

v

什么?

o

30 50 60 90
图1.4v ? 2

v?km / h?
120

从图1.4 ? 2可以看出, g 表示经过原点与曲线上点

v

?v,g?的直线的斜率. 继续观察图象,我们可以发现,

当直线与曲线相切时 ,其斜率最小.在此切点处速 度约为90km / h.

因此,当汽车行驶距离一定时,要使汽油 的使用效率最高 ,即每千米的汽油消耗 量最少,此时的车速约为 90km / h . 从数 值上看,每千米的汽油消耗量就是图1.4
? 2中切线的斜率,即f ' ?90?,约为 L.

例2 磁盘的最大存储量问题
?1?你知道计算机是如何存 储、检索信息的吗 ? ?2?你知道磁盘的结构吗 ? ?3?如何使一个圆环状的磁 盘存储尽可能多的
信息 ?

背景知识 计算机把信息存储在磁 盘上.磁盘是带

有磁性介质的圆盘,并由操作系统将其格式 化成磁

道和扇区.磁道是指不同半径所构 成的同心圆轨道,

扇区是指被圆心角分割 成扇形
R
区域.磁道上的定长的弧可作 为

基本存储单元,根据其磁化与否

r

可分别记录数据0 或1,这个基本

单元通常称为比 特 ?bit?.磁盘的

构造如图1.4 ? 3所示.

图1.4 ? 3

为了保障磁盘的分辩率,磁道之间的宽度必须大 于

m,每比特所占用的磁道长 度不得小于 n .为了数据

检索的方便,磁盘格式化时要求要求 所有磁道具有

相同的比特数.

问题 : 现有一张半径为R的磁盘,

它的存储区是半径介于 r 与R的

R

环形区域.

r

?1? 是不是 r越小,磁经盘的存储

量越大 ?

?2? r为多少时,磁盘具有最大的

图1.4 ? 3

存储量(最外面的磁道不存储任 何信息)?

解 存储量 ? 磁道数 ? 每磁道的比特数.

设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽 度必须大于m,且最外面的磁道不存储任何信息,所

以磁道数最多可达 R ? r . m

又由于每条磁道上的比特数 相同,为获得最大存储量,最内 一条磁道必须装满,即每条磁 道上的比特数可达到 2πr .所
n 以,磁盘总存储量
f?r? ? R ? r ? 2πr ? 2π r?R ? r?.
m n mn

R
r
图1.4 ? 3

?1?它是关于r的二次函数,从函数的解析式上可
以判断,不是r越小,磁盘的存储量越大.

?2?为求f?r?的最大值,计算f '?r? ? 0.

f ' ?r? ? 2π ?R ? 2r?,令 f ' ?r? ? 0,解得r ? R .

mn

2

当r ? R 时,f ' ?r? ? 0;当r ? R 时,f ' ?r? ? 0.因此,当r ? R

2

2

2

时,磁盘具有最大存储量,最大存储量为 πR2 . 2mn

思考 如果每条磁道存储信息 与磁道的长度成

正比,那么如何计算磁盘的存 储量?此时,是不是 r越小,磁盘的存储量越大 ?

例3 饮料瓶大小对饮料公司 利润的影响
?1? 你是否注意过 ,市场上等量的小包装的 物品
一般比大包装的贵些 ? 你想从数学上知道它的 道理吗 ?
?2?是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大 ?
背景知识 某制造商制造 并出售球形 瓶 装的
某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分,其中r 是 瓶子的半径,单位是厘米.已知每出售1mL 的饮 料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子 最大半径为6cm.
问题 ?1?瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利
润最大 ?
?2? 瓶子半径多大时,每瓶饮料利润最小?

解 由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是

? ? y
0

? ?

f r

?r? ?
? 6.

0.2 ? 4 3
令f ' ?r?

πr3 ? 0.8πr ? 0.8π r2 ?

2? 2r

0.8π???? ? 0.

r3 3

? r2 ???, ?

当r ? 2时,f ' ?r? ? 0.

当r ? ?0,2?时,f ' ?r? ? 0;当r ? ?2,6?时,f ' ?r? ? 0.

因此,当半径r ? 2时,f ' ?r? ? 0,它表示f?r?单调递增,

即半径越大,利润越高;半径r ? 2时,f ' ?r? ? 0,它表

示f ?r ?单调递减,即半径越大,利润越低.

①半径为2cm时,利润最小,这时f?2? ? 0,表示此种

瓶内饮料的利润还不够瓶子成本,此时利润是负值.

② 半径为6cm时,利润最大.

换一个角度 : 如果我们不用导 y

数工具 ,直接 从函数的图象(图

1.4 ? 4)上观察,你有什么发现?

f ?r ?

?

0.8π????

r3 3

?

r2 ??? ?

从 图象上容 易看出,当 r ? 3 时,

f?3? ? 0,即瓶子半径是 3cm 时,
饮料的利润与饮料瓶的成本恰

23

o

r

好相等;当r ? 3时,利润才为正值.

当r ? ?0,2?时,f?r?是减函数,你能
解释它的实际意义吗?

图1.4 ? 4

通过此问题的解决,我们很容易回答开始时的问

题.请同学们自己作出回答.

动画演示,直观解释.

由上述例子,我们不难发现,解决优化问题的基 本思路是 :

优化问题

用函数表示的数学问题

优化问题的答案

用导数解决数学问题

上述解决优化问题的过 程是一个典型的数学 建模过程.


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