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安徽省合肥八中2015届高三最后一卷数学理试题

“合肥八中”2015 年高三学生最后一卷 理科数学
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.在复平面内,复数 z 满足 (2 ? i) z ? i 3 ( 其中 i 为虚数单位),则复数 z 对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.集合 A ? {x | m ? 1 ? x ? m ? 5}, B ? {x |1 ? x ? 16} ,则使得 A ? ( A ? B) 成立的所有 m 的值的集合是 A. [0,11] B. (??,0] ? [11, ??) C. [1, 21] D. [11, 21] 3.已知程序框图如图所示,则该程序框图的功能是

1 1 B.求数列 { } 的前 11 项和 (n ? N * ) n 2n 1 1 C.求数列 { } 的前 12 项和 (n ? N * ) D.求数列 { } 的前 12 项和 (n ? N * ) n 2n 4.如图是正态分布 N (0,1) 的正态曲线图,下面四个式 1 1 1 子 :① ? ? ( ? a ) ;② 1 ? ?(a) ;③ ? ( a ) ? ;④ ? ? ( a ) ( 其中 ?(a ) ? p ( x ? a) ) 2 2 2
A.求数列 { } 的前 11 项和 (n ? N * ) 则这些式子等于图中阴影部分面积的个数为 A.0 B.1 C.2 5.若 (1 ? D.3

1 n 1 1 1 1 ) (n ? N * , n ? 1) 的展开式中,含 4 的系数为 an ,则 ? ? ? ? 等于 2 x x a2 a3 an n ?1 2n ? 2 1? n 2 ? 2n A. B. C. D. n n n n 2 y 2 ? 1上存在两点 M , N 关于直线 y ? x ? m 对称,且 MN 的中点 6.已知双曲线 x ? 3 在抛物线 y 2 ? 9 x 上,则实数 m 的值为 A.4 B. ?4 C.0 或 4 D.0 或 ?4 7.如图, O 为直线 A1 A2015 外一点,若 A 中任意相邻两点的距离相等 ,设 1, A 2 ,?, A2015 ???? ? ?????? ? ? ? ? ???? ???? ? ?????? ? OA1 ? a, OA2015 ? b ,用 a, b 表示 OA1 ? OA2 ? ?? OA2015 ,其结果为 ? ? ? ? ? ? A. 2014(a ? b ) B. 2015(a ? b ) C. 1007(a ? b ) 2015 ? ? (a ? b ) D. 2
8.现准备将 7 本相同的杂志全部分发给 5 个不同的阅读小组,其中甲,乙两个小组每 个小组至少两本,其他小组允许 1 本也没有,则不同的分发方案共有 A.27 种 B.29 种 C.35 种 D.125 种 9.已知棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, E , F , M 分别是 AB, AD, AA 1的 中 点 , 又 P, Q 分 别 在 线 段 A ? x,0 ? x ? 1 , 设 平 面 1 P ? AQ 1 1B 1, A 1D 1 上,且 A

MEF ? 平面 MPQ ? l ,则下列结论不成立的是 A. l // 平面 ABCD B. l ? AC C.当 x 变化时, l 不是定直线 D.平面 MEF 与平面 MPQ 不垂直 f ( x) ? 1? | 2 x ? 1|, x ?[0,1] 10. 已 知 函 数 , 定 ) 为 义 : f1 ( x) ? f ( x),?, f n ( x) ? f [ f n?1 ( x)], n ? 2,3,? 满 足 f n ( x) ? x 的 点 x( x ? [ 0 , 1]称 f ( x) 的 n 阶不动点,则 f ( x) 的 n 阶不动点的个数是

A. 2 n B. 2 C. 2 n D. 2(2 n ?1) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在答题卡的相应位置.
n

2

?x ? 0 ?y ? 0 ? 11.已知点 M 的坐标 ( x, y ) 满足不等式组 ? ,则 | x ? y | 的取值范围是 x ? 2 y ? 6 ? ? ?3 x ? y ? 12 12.已知函数 f ( x) ? a sin x ? 3 x ? 5 ,若 f [lg(lg 2)] ? 3 ,则 f [lg(log 2 10)] ? ??? ? ??? ? 13.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 DE ? EC 的最大值为
14.画在每一个边长为 1 的正方形网格上的一个几何体的三视图如图所示,则该几何体 的表面积为 15.将函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3x( x ? 0) 的所有极大值点从小到大依次排成数列 {xn } ,

?n ? x1 ? x2 ? ?? xn ,则下列命题正确的是
命题的序号) ①函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 x 在 x ? ② tan xn ? 2 ? 3 ; ③ sin ?n ? sin ?n?1 对于任意正整数 n 恒成立;

(写出你认为正确的所有

?
12

处取得极大值;

④存在正整数 T ,使得对于任意正整数 n ,都有 sin ?n ? sin ?n?T ? 0 成立; ⑤ n 取所有的正整数, sin ? n 的最大值为 1 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,已知 a, b, c 成等比数列,且 sin B ?

3 ,求 a , c 的值; 2 1 1 ? (Ⅱ)求 的值. tan A tan C
(Ⅰ)若 BA ? BC ?

??? ? ??? ?

7 . 4

17(本小题满分 12 分) 某工厂在实验阶段大量生产一种零件 ,这种零件有 A, B 两项技术指标需要检验,设各项技术指 标达标与否互不影响.若有且仅有一项技术指标达标的概率为 率为

5 ,至少一项技术指标达标的概 12

11 ,按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品. 12

(Ⅰ)求一个零件经过检测为合格品的概率; (Ⅱ)任意一次抽取该种零件 100 个,设 ? 表示其中合格品的个数,求 ? 的概率分布列及数学期望 和方差.

18(本小题满分 12 分)
? F 是 AB 的 中 如 图 , 已 知 直 三 棱 柱 ABC ? A 1B 1C1 , ?ACB ? 90 , E 是 棱 CC1 上 的 动 点 ,

点, AA1 ? 4,

AC ? BC ? 2 . (Ⅰ)求证: CF ? 平面 ABB1 ;
(Ⅱ)当 E 为棱 CC1 的中点时,求证: CF // 平面 AEB1 ; (Ⅲ)在棱 CC1 上是否存在点 E ,使得二面角 A ? EB1 ? B 的大小是 45 ,若
?

存在,求出 CE 的长,若不存在,请说明理由.

19(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e x cos x, g ( x) ? x sin x, 其中 e ? 2.71828? 是自然对数的底数. (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)若对任意 x ? [? (Ⅲ)试探究当 x ? [ ?

?
2

, 0] ,不等式 f ( x) ? g ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围;

? ?

, ] 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 的解的个数,并说明理由. 2 2

20(本小题满分 13 分) 曲线 C 是由方程为

1 x2 y2 ? 2 ? 1( y ? 0) 的弧线及方程为 y ? ( x 2 ? a 2 )( y ? 0) 的弧线构成的 2 4 a b

封闭曲线,若点 F1 (?c,0)、F2 (c,0)、F (0, ?3) 为等边三角形的三个顶点(其中 c ? a2 ? b2 ),

x2 y2 3 椭圆 2 ? 2 ? 1 的离心率为 . a b 4
(Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在过原点的直线 l 与曲线 C 交于不在 x 轴上的 A、B 两点,使得 F1 A ? BF2 ,若存在, 求出该直线的斜率,若不存在,请说明理由.

????

????

21(本小题满分 12 分) 已知函数 fn ( x) ? x ? (1 ? x) , x ? (0,1), n ? N .
n n *

(Ⅰ)求证: 2 (Ⅱ)令 bn ?

1?n

? fn ( x) ? 1 ;

3 ? 2log 2 f n ( x) 2n ,求证: b1 ? b2 ?? ? bn ? 2 (n ? 1) 1 ? log 2 f n ( x)

参考答案: DADC BDDC CB 11.[0,4] 12.7 13. ?

3 4

14. 64 ? 6 2 15.①②④⑤

16. a ? 2, c ? 1 或 a ? 1, c ? 2 17.

4 7 7

1 2 1 2

? ~ (100, ) ? E (? ) ? 50, D(? ) ? 25
5 2 19. y ? x ? 1
18. CE ?

m??

?
2

两个解 20. 【解:】(Ⅰ)因为点 F1 (?c,0)、F2 (c,0)、F (0, ?3) 为等边三角形的三个顶点 所以, 3c ? 3 ? c ? 3 ,

x2 y2 3 2 2 2 又椭圆 2 ? 2 ? 1 的离心率为 .所以 a ? 4 ,故 b ? a ? c ? 13 a b 4
所以,曲线 C 的方程是

1 x2 y2 ? ? 1( y ? 0) 和 y ? ( x 2 ? 16)( y ? 0) ………………7 分 4 16 13

( Ⅱ ) 若存在这样的直线 , 则四边形 F1 AF2 B 是平行四边形 , 由对称性 , 过原点的直线与椭圆

x2 y2 x2 y2 ? ?1 的 交 点 都 符 合 , 设 这 样的 直 线 存 在 , 与 ? ? 1( y ? 0) 交 于 A 点 , 与 16 13 16 13
y? 1 2 1 x2 y2 ( x ? 16)( y ? 0) 交于 B 点,故 B 是 ? ? 1 与 y ? ( x 2 ? 16)( y ? 0) 的交点. 4 4 16 13

? x2 y2 ?x ? ? 3 ?x ? 3 ? ?1 ? ? x ? 4 ? x ? ?4 ? ? 16 13 ? 联立方程 ? 得? 或? 或? 或? 13 13 ? y ? 1 ( x 2 ? 16)( y ? 0) ? y ? 0 ? y ? 0 ?y ? ? ?y ? ? ? 4 ? 4 ? ? 4

13 ? 13 13 13 由图形知 B ( ? 3, ? ) 或 B ( 3, ? ) 符合,所以这样的直线的斜率为 4 ? 3或 4 4 ? 3 12 13 ? 4 ? ? 13 3 12 3 13 13 3或? 3 …………………13 分 所以,这样的直线的存在 其斜率为 12 12
本题也可以设过原点的直线,求交点,也可以直接设点,相应给分. 21. 【解析:】(Ⅰ) f n' ( x) ? nxn?1 ? n(1 ? x)n?1 ,由 f n ( x) ? 0 ? 1 ? x ?
'

1 2

由 f n ( x ) ? 0 ?? 0 ? x ?
'

1 1 1 ,所以, f n ( x) 在区间 (0, ] 上单调递减,在区间 [ ,1) 上单调递增, 2 2 2

1 2 1 2n ? 1 2n ? 2 ? (Ⅱ)由(Ⅰ) bn ? ,累乘,即得 2 2n 2n ? 1

所以, f n ( ) ? f n ( x) ? max{ f n (0), f n (1)} ,即 21?n ? fn ( x) ? 1 …………………6 分


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