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宁夏银川一中2013届高三第二次月考数学文试题


银川一中 2013 届高三年级第二次月考

数 学 试 卷(文)
2012.09

命题人:唐伯锦

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.) 1.满足{a} ? M ? {a, b, c, d}的集合 M 共有 (
?



A.6 个

B.7 个

C.8 个 )

D.15 个

2.下列各组函数是同一函数的是( ① f ( x) ?

?2 x3 与 g ( x) ? x ?2x ; ② f ( x) ? x 与 g ( x) ? x 2 ;
1 ; x0
④ f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1与 g (t ) ? t 2 ? 2t ? 1 。 C. ③④ D. ①④

③ f ( x) ? x0 与 g ( x ) ? A. ①②

B. ①③

3.化简 AB ? BD ? AC ? CD ? ( A. AD B. DA ) D.-4

)
C. BC D. 0

4.已知定义在 R 上的函数 f (x) 是偶函数,对 x ? R都 有f (2 ? x) ? f (2 ? x),当f (?3) ? ?2 时,

f (2007) 的值为(
A.2

B.-2 C.4

5.已知扇形的周长是 3cm,面积是 A. 1 B. 1 或 4

1 2 cm ,则扇形的中心角的弧度数是( 2
C. 4 D. 2 或 4



6.设 a n} { 为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和,若 S10=S11,则 a1=( A.18 7.曲线 y ? A. ? B. 22 C. 20 D.24 )



sin x 1 ? ? 在点 M ( , 0) 处的切线的斜率为( sin x ? cos x 2 4
B.

1 2

1 2

C. ?

2 2

D.

2 2


8.已知向量 AB ? (cos1200 , sin 1200 ), BC ? (cos300 , sin 450 ),则 ?ABC 的形状为( A.直角三角形 B. 等腰三角形
3 2

C.锐角三角形

D. 钝角三角形 )

9. a>0, 若 b>0, 且函数 f ( x) ? 4 x ? ax ? 2bx ? 2 在 x=1 处有极值, ab 的最大值等于 则 ( A.2 B.3 C.6 D.9

10.函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) (其中 | ? |?

?
2

)的图象如图所示,

为了得到 y ? sin ?x 的图象,只需把 y ? f (x) 的图象上所有点( A. 向左平移 C. 向左平移



? 个单位长度 12

B. 向右平移

? 个单位长度 12

? 个单位长度 6

D. 向右平移

? 个单位长度 6

11.设 a ? b ? 4 ,若 a 在 b 方向上的投影为 2,且 b 在 a 方向上的投影为 1,则 a 和 b 的夹角等于 ( A. )

? 3

B.

? 6

C.

2? 3

D.

?
3



2? 3

12.已知 y ? f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时不等式 f ? x ? ? xf ' ? x ? ? 0 成立,若

a ? 30.3 ? f ? 30.3 ? ,
关系是( ) A. b ? a ? c

, b ? log? 3? f ? log? 3? , c ? log3 1 ? f ? log3 1 ? ,则 a , ? ?
9 ? 9?
B. a ? b ? c C. a ? c ? b D. b ? c ? a

b , c 大小

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 13 题~第 21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须做答. 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.数列 a n} { 中,Sn 为其前 n 项和,S n = n2-2n+3,则 a n =____________. 14.若在△ABC 中, ?A ? 60 , b ? 1, S?ABC ? 3, 则
0

a?b?c =_______。 sin A ? sin B ? sin C

15.设 f(sin?+cos?)=sin??cos?,则 f(sin 16. 已知下列命题: ①函数 y ? sin? ? 2 x ?

? )的值为______。 6

? ?

??

? 5? ? ? ?k ? Z ?. ? 的单调增区间是 ?? k? ? ,?k? ? 3? 12 12 ? ? ?
?
6 ) 的图象,需把函数 y ? sin x 的图象上所有点向左平行移动

②要得到函数 y ? cos( x ? 个单位长度.

? 3

2 ③ 已 知 函 数 f ( x) ? 2 cos x ? 2a cos x ? 3 , 当 a ? ?2 时 , 函 数 f (x) 的 最 小 值 为

g (a) ? 5 ? 2a .
④ y ? sin wx( w ? 0) 在[0,1]上至少出现了 100 次最小值,则 w ? 其中正确命题的序号是___________. 三、解答题(要求写出必要的计算步骤和思维过程。 )

399 ?. 2

17. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (1, y),b ? (1,?3),且(2a ? b) ? b 。 (1)求 a ; (2)若 k a ? 2b // 2a ? 4b ,求 k 的值。 18. (本小题满分 12 分) 如图,在河的对岸可以看到两个目标物 M,N,但不能 到达,在河岸边选取相距 40 米的两个目标物 P,Q 两点,测 得 ?MPN ? 75? , ?NPQ ? 45? , ?MQP ? 30? , ?MQN ? 45? , 试求两个目标物M,N之间的距离. 19. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ( 3sin(? ? wx), coswx),b ? (coswx,? coswx), 函数 f ( x) ? a ? b ? (1)求 ? 值; (2)若 cos x ?

?

??

?

1 ? (? ? 0) 的图象的两相邻对称轴间的距离为 . 4 2

1 , x ? (0, ?) ,且 f ( x) ? m 有且仅有一个实根,求实数 m 的值. 2

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (log 2 x ? 2)(log 4 x ? ). (1)当 x∈[2,4]时.求该函数的值域; (2)若 f ( x) ? m log2 x对于x ? [4,16] 恒成立,求 m 的取值范围。 21. (本小题满分 12 分)
1 1 已知函数 f ( x) ? ln( ? ax) ? x 2 ? ax ( a 为常数, a ? 0 ). 2 2

1 2

(Ⅰ)若 x ?

1 是函数 f ( x ) 的一个极值点,求 a 的值; 2

1 (Ⅱ)求证:当 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 [ , ??) 上是增函数; 2 1 (Ⅲ)若对任意的 a ?(1,2) ,总存在 x0 ? [ ,1] ,使不等式 f ( x0 ) ? m(1 ? a 2 ) 成立,求实数 m 的 .. .. 2

取范围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 《选修 4—1:几何证明选讲》

如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的 延长线交于 E 点,且 EC=ED. (I)证明:CD//AB; (II)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG, 证明:A,B,G,F 四点共圆. 23. (本小题满分 10 分) 《选修 4-4:坐标系与参数方程》 在直接坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为

? x ? 3cos? ? (? 为参数) ? ? y ? sin? ? .
(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴 为极轴)中,点 P 的极坐标为(4,

? ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2

(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 24. (本小题满分 10 分) 《选修 4-5:不等式选讲》 已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? x ? 5 . (I)证明: ? 3 ? f ( x) ? 3 ; (II)求不等式 f ( x) ? x 2 ? 8x ? 15的解集.

银川一中 2013 届高三第二次月考数学(文科)参考答案
一、选择题:BCDBB CBDDD AA 二、填空题 (13)2ln2 (14)

2 39 3

(15) -

3 8

(16)②③④

三、解答题 17 题: (本题满分 12 分) 解: (1) 2a ? b ? (3,2 y ? 3),? y ? 2,? a ?

5

(2) k a ? b ? (k ? 2,2k ? 6),2a ? 4b ? (?2,16) ? k ? ?1. 18 题: (本题满分 12 分)

19 题: (本题满分 12 分) 解: (1) f ( x) ?

3 sin wx cos wx ? cos 2 wx ?

T?

?
2

,? w ? 2,? f ( x) ? sin( 4 x ?

?
6

1 ? ? sin( 2wx ? ) 2 6 )

(2)易知 x ? (0,

?
3

] ,? 4 x ?

?
6

? (?

? 7?
6 ,

?? 1 ? ] ,? f ? 4 x ? ? ? [? ,1] ? m ? 1 6 6? 2 ?
1 2

20 题: (本题满分 12 分) 解: (1) f ( x) ? (2 log 4 x ? 2)(log 4 x ? ) , 令t ? log 4 x, x ? [2,4]时, t ? [ ,1] 此时, y ? (2t ? 2)( t ? ) ? 2t ? 3t ? 1,? y ? [? ,0]
2

1 2

1 2

1 8

? (2)即 2t ? 3t ? 1 ? mt 对t ? [1,2]恒成立, m ? 2t ? ? 3对t ? [1,2]恒成立 ,
2

1 t

易知 g (t ) ? 2t ?

1 ? 3在t ? [1,2]上单调递增, g (t ) min ? g (1) ? 0,? m ? 0. ? t

21 题: (本小题满分 12 分)

22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解:

(I)因为 EC=ED,所以∠EDC=∠ECD. 因为 A,B,C,D 四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA, 所以 CD//AB. …………5 分 (II)由(I)知,AE=BE,因为 EF=FG,故∠EFD=∠EGC 从而∠FED=∠GEC. 连结 AF,BG,则△EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE, 又 CD//AB,∠EDC=∠ECD,所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180°. 故 A,B,G,F 四点共圆 …………10 分 23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

P (4, ) 2 化为直角坐标,得 P(0,4) 解: (I)把极坐标系下的点 。
因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 , 所以点 P 在直线 l 上,

?

(II)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin ? ) , 从而点 Q 到直线 l 的距离为

2 cos(? ? ) ? 4 | 3 cos ? ? sin ? ? 4 | ? 6 d? ? ? 2 cos(? ? ) ? 2 2 6 2 2 ,
cos(? ?
由此得,当

?

?
6

) ? ?1

时,d 取得最小值,且最小值为 2.

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

解: )

x ? 2, ??3, ? f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 |? ?2 x ? 7, 2 ? x ? 5, ?3, x ? 5. ?
所以 ?3 ? f ( x) ? 3. ………………5 分

当 2 ? x ? 5时, ?3 ? 2 x ? 7 ? 3. (II)由(I)可知,

当 x ? 2时, f ( x) ? x ? 8x ? 15 的解集为空集;
2

{ 当 2 ? x ? 5时, f ( x) ? x ? 8x ? 15的解集为 x | 5 ? 3 ? x ? 5} ;
2

{ 当 x ? 5时, f ( x) ? x ? 8x ? 15的解集为 x | 5 ? x ? 6} .
2

{ 综上,不等式 f ( x) ? x ? 8x ? 15的解集为 x | 5 ? 3 ? x ? 6}.
2

…………10 分

()


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