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广东省广州市2014年普通高中毕业班综合测试数学(理)试题


2014 年广州市普通高中毕业班综合测试一 理科数学
第Ⅰ卷(共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,若 ? m ? i ? ? 3 ? 4i ,则实数 m 的值为(
2

) D. 2

A. ?2

B. ?2

C. ? 2

2.在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若 C ? 2 B ,则 A. 2 sin C
2 2

c 为( b

) D. 2 cos C

B. 2 cos B

C. 2 sin B )

3.圆 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 关于直线 y ? x 对称的圆的方程为( A. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1
2 2 2 C. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1 2

B. ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

D. ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

4.若函数 f ? x ? ? A. ? ?2, 2 ?

x 2 ? ax ? 1 的定义域为 R ,则实数 a 的取值范围是(
B. ? ??, ?2? ? ? 2, ???

) D. ? ?2, 2?

C. ? ??, ?2? ? ?2, ???

5.某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数,并绘制成如图 1 所示的频率分布直方图,样本数据分 组为 ?50,60? 、 ?60,70? 、 ?70,80? 、 ?80,90? 、?90,100? .若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在 ?80,100? 范围内的数据 16 个,则其中分数在 ?90,100? 范围内的样本数据有( A. 5 个 B. 6 个
频率/组距 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010

) D.10 个

C. 8 个

50

60

70

80 图1

90

100 分数

6.已知集合 A ? ? x x ? Z 且

? ?

3 ? ? Z ? ,则集合 A 中的元素个数为( 2? x ?
B. 3 C. 4

) D. 5 ) D. a //b

A. 2

7.设 a 、 b 是两个非零向量,则使 a ? b ? a ? b 成立的一个必要非充分的条件是( A. a ? b

?

?

? ?

? ?

?

?

B. a ? b

?

?

C. a ? ? b ? ? ? 0?

?

?

? ?

b、 8.设 a 、 若 a 和 b 被 m 除得余数相同, 则称 a 和 b 对模 m 同余, 记为 a ? b ? mod m? . m 为整数 ? m ? 0? ,
0 1 2 20 若 a ? C20 ? C20 ? 2 ? C20 ? 22 ? ?? C20 ? 220 ,且 a ? b ? mod10? ,则 b 的值可以为(

) D. 2014

A. 2011

B. 2012 第Ⅱ卷(共 110 分)

C. 2013

二、填空题(本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,,每小题 5 分,满分 30 分) 9.若不等式 x ? a ? 1的解集为 x 1 ? x ? 3 ,则实数 a 的值为
? 10.执行如图 2 所示的程序框图,若输出 S ? 7 ,则输入 k k ? N 的值为

?

?

.

?

?

.

开始 输入 k
n ? 0, S ? 0

n?k?




n ? n ?1

输出S

S ? S ? 2n ?1
图2

结束

11.一个四棱锥的底面为菱形,其三视图如图 3 所示,则这个四棱锥的体积是

.

5

2 2 正(主)视图

1 1 侧(左)视图 图3

4 俯视图

12.设 ? 为锐角,若 cos ? ? ?

? ?

?? 3

? ? ? ? ? ,则 sin ? ? ? ? ? 6? 5 12 ? ?

.

13.在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1 , an ?1 ? ?

1 ,记 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,则 S2014 ? an ? 1

.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线 ? ?sin ? ? cos? ? ? a 与曲线 ? ? 2cos ? ? 4sin ? 相 交于 A 、 B 两点,若 AB ? 2 3 ,则实数 a 的值为 .

15.(几何证明选讲选做题)如图 4, PC 是圆 O 的切线,切点为点 C ,直线 PA 与圆 O 交于 A 、 B 两点,

?APC 的角平分线交弦 CA 、 CB 于 D 、 E 两点,已知 PC ? 3 , PB ? 2 ,则

PE 的值为 PD

.

C D O A E B
图4

P

三、解答题 (本大题共 6 小题,满分 80 分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? sin x ? a cos x 的图象经过点 ? ? (1)求实数 a 的值; (2)设 g ? x ? ? ? ? f ? x ?? ? ? 2 ,求函数 g ? x ? 的最小正周期与单调递增区间.
2

? ? ? ,0? . ? 3 ?

17.(本小题满分 12 分)甲、乙、丙三人参加某次招聘会,假设甲能被聘用的概率是 不能被聘用的概率是

2 ,甲、丙两人同时 5

6 3 ,乙、丙两人同时能被聘用的概率为 ,且三人各自能否被聘用相互独立. 25 10

(1)求乙、丙两人各自被聘用的概率; (2) 设 ? 为甲、 乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值,求 ? 的分布列与均值(数 学期望).

18.(本小题满分 14 分)如图 5,在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 E 是棱 D1D 的中点,点 F 在棱 B1B 上,且满足 B1F ? 2BF . (1)求证: EF ? AC 1 1; (2)在棱 C1C 上确定一点 G ,使 A 、 E 、 G 、 F 四点共面,并求此时 C1G 的长; (3)求平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值.

D1 A1 B1

C1

E D

F
图5

C

A

B

19.(本小题满分 14 分)已知等差数列 ?an ? 的首项为 10 ,公差为 2 ,等比数列 ?bn ? 的首项为 1 ,公比为 2 ,

n? N? .
(1)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (2)设第 n 个正方形的边长为 cn ? min ?an , bn ? ,求前 n 个正方形的面积之和 Sn . (注: min ?a, b? 表示 a 与 b 的最小值.)

20.(本小题满分 14 分)已知双曲线 E :

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0 ? 的中心为原点 O ,左、右焦点分别为 F1 、 F2 , a2 4

离心率为

???? ? ???? ? a2 3 5 ,点 P 是直线 x ? 上任意一点,点 Q 在双曲线 E 上,且满足 PF2 ? QF2 ? 0 . 3 5

(1)求实数 a 的值; (2)证明:直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值; (3)若点 P 的纵坐标为 1 ,过点 P 作动直线 l 与双曲线右支交于不同的两点 M 、 N ,在线段 MN 上去异 于点 M 、 N 的点 H ,满足

PM PN

?

MH HN

,证明点 H 恒在一条定直线上.

2 x 21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x ? 1 e (其中 e 为自然对数的底数).

?

?

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)定义:若函数 h ? x ? 在区间 ? s, t ? ? s ? t ? 上的取值范围为 ? s, t ? ,则称区间 ? s, t ? 为函数 h ? x ? 的“域同区 间”.试问函数 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是否存在“域同区间”?若存在,求出所有符合条件的“域同区间”;若 不存在,请说明理由.


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