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第4讲平面向量的应用(教师用)


第4讲
【2013 年高考会这样考】

平面向量的应用

1.考查利用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 2.考查利用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 【复习指导】 复习中重点把握好向量平行、 垂直的条件及其数量积的运算,重视平面向量体现 出的数形结合的思想方法,体验向量在解题过程中的工具性特点.

基础梳理 1.向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何 中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题. (1)证明线段平行或点共线问题,包括相似问题,常用共线向量定理:a∥b?a= λb(b≠0)?x1y2-x2y1=0. (2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质 a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0. (3)求夹角问题,利用夹角公式 a· b cos θ=|a||b|= x1x2+y1y2 2 2(θ x1+y2 x2 1 2+y2 为 a 与 b 的夹角).

2.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的加法 和减法相似,可以用向量的知识来解决. (2)物理学中的功是一个标量,这是力 F 与位移 s 的数量积.即 W=F· s=|F||s|cos θ(θ 为 F 与 s 的夹角).

一个手段 实现平面向量与三角函数、 平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的 坐标运算. 两条主线 (1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象,向量本身是一个数形结合 的产物,在利用向量解决问题时,要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形 象思维与逻辑思维的结合. (2)要注意变换思维方式,能从不同角度看问题,要善于应用向量的有关性质解 题. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)某人先位移向量 a:“向东走 3 km”,接着再位移 向量 b:“向北走 3 km”,则 a+b 表示( A.向东南走 3 2 km C.向东南走 3 3 km 解析 ).

B.向东北走 3 2 km D.向东北走 3 3 km

→ 要求 a+b, 可利用向量和的三角形法则来求解, 如图所示, 适当选取比例尺作OA → =b=“向北走 3 km”,则OB → =OA → +AB → =a+b. =a=“向东走 3 km”,AB → |= 32+32=3 2(km), |OB → 与OB → 的夹角是 45° 又OA ,所以 a+b 表示向东北走 3 2 km. 答案 B

→ +DC → -2DA → )· → -AC → )=0,则 2.平面上有四个互异点 A、B、C、D,已知(DB (AB

△ABC 的形状是( A.直角三角形 C.等腰三角形

). B.等腰直角三角形 D.无法确定

→ +DC → -2DA → )· → -AC → )=0,得[(DB → -DA → )+(DC → -DA → ]· → -AC → )= 解析 由(DB (AB (AB → +AC → )· → -AC → )=0. 0,所以(AB (AB → |2-|AC → |2=0,∴|AB → |=|AC → |, 所以|AB 故△ABC 是等腰三角形. 答案 C 3.(2012· 银川模拟)已知向量 a=(cos θ,sin θ),b=( 3,-1),则|2a-b|的最大 值,最小值分别是( A.4,0 C.2,0 B.16,0 D.16,4 ).

解析 设 a 与 b 夹角为 θ, ∵|2a-b|2=4a2-4a· b+b2=8-4|a||b|cos θ=8-8cos θ, ∵θ∈[0,π],∴cos θ∈[-1,1], ∴8-8cos θ∈[0,16],即|2a-b|2∈[0,16], ∴|2a-b|∈[0,4]. 答案 A → →? → AC → 1 ? AB AC AB → → → ? ? + 4.在△ABC 中,已知向量AB与AC满足? · BC=0 且 · =2,则 → →? → | |AC →| |AB ?|AB| |AC|? △ABC 为( ). B.直角三角形 D.三边均不相等的三角形

A.等边三角形 C.等腰非等边三角形

→ →? → AC → 1 ? AB AC → =0 知△ABC 为等腰三角形,AB=AC.由 AB · ? ?· + 解析 由? BC = 知, → →? → | |AC →| 2 |AB ?|AB| |AC|? → ,AC → 〉=60° 〈AB ,所以△ABC 为等边三角形,故选 A. 答案 A 5.(2012· 武汉联考)平面直角坐标系 xOy 中,若定点 A(1,2)与动点 P(x,y)满足

→ → OP· OA=4,则点 P 的轨迹方程是______________________________________. →· → =4,得(x,y)· 解析 由OP OA (1,2)=4, 即 x+2y=4. 答案 x+2y-4=0

考向一

平面向量在平面几何中的应用

→ =a,OB → =b,则△OAB 【例 1】?(2010· 辽宁)平面上 O,A,B 三点不共线,设OA 的面积等于( ). B. |a|2|b|2+?a· b?2 1 D.2 |a|2|b|2+?a· b?2

A. |a|2|b|2-?a· b?2 1 C.2 |a|2|b|2-?a· b?2

[审题视点] 由数量积公式求出 OA 与 OB 夹角的余弦,进而得正弦,再由公式 S 1 =2absin θ,求面积. a· b 解析 ∵cos∠BOA=|a||b|, 则 sin∠BOA= 1 ∴S△OAB=2|a||b| 1 =2 |a|2|b|2-?a· b?2. 答案 C 平面向量的数量积是解决平面几何中相关问题的有力工具:利用|a|可以 a· b 求线段的长度,利用 cos θ=|a||b|(θ 为 a 与 b 的夹角)可以求角,利用 a· b=0 可以 证明垂直,利用 a=λb(b≠0)可以判定平行. 【训练 1】 设 a,b,c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满 足 a 与 b 不共线,a⊥c,|a|=|c|,则|b· c|的值一定等于( A.以 a,b 为邻边的平行四边形的面积 B.以 b,c 为邻边的平行四边形的面积 C.以 a,b 为两边的三角形的面积 D.以 b,c 为两边的三角形的面积 ). ?a· b?2 1-|a|2|b|2, ?a· b?2 1-|a|2|b|2

解析

∵|b· c|=|b||c||cos θ|,如图, ∵a⊥c,∴|b||cos θ|就是以 a,b 为邻边的平行四边形的高 h,而|a|=|c|,∴|b· c| =|a|(|b||cos θ|),∴|b· c|表示以 a,b 为邻边的平行四边形的面积. 答案 A 考向二 平面向量与三角函数的交汇

?π 3π? 【例 2】 ?已知 A, B, C 的坐标分别为 A(3,0), B(0,3), C(cos α, sin α), α∈?2, 2 ?. ? ? → |=|BC → |,求角 α 的值; (1)若|AC →· → =-1,求2sin α+sin 2α的值. (2)若AC BC 1+tan α → 、BC → 的坐标,第(1)问利用两个向量的模相等建立角 [审题视点] 首先求出向量AC → 与BC → 数量积的坐标运算化简已知条 α 的三角方程进行求解;第(2)问利用向量AC 件,得到角 α 的三角函数值,把所求式子化简,寻找两个式子之间的关系. → =(cos α-3,sin α),BC → =(cos α,sin α-3), 解 (1)∵AC → 2=(cos a-3)2+sin2α=10-6cos α, ∴AC → 2=cos2α+(sin α-3)2=10-6sin α, BC → |=|BC → |,可得AC → 2=BC → 2,即 10-6cos α=10-6sin α,得 sin α=cos α. 由|AC 5π ?π 3π? 又∵α∈?2, 2 ?,∴α= 4 . ? ? →· → =-1, (2)由AC BC 得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1, 2 ∴sin α+cos α=3.① 2sin2α+sin 2α 2sin2α+2sin αcos α 又 = =2sin αcos α. sin α 1+tan α 1+cos α
2

4 由①式两边分别平方,得 1+2sin αcos α=9,
2 5 2sin α+sin 2α 5 ∴2sin αcos α=-9.∴ =-9. 1+tan α

解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键,准确利用向量的坐标运算 化简已知条件,将其转化为三角函数中的有关问题解决. 【训练 2】 已知向量 a=(sin θ,cos θ-2sin θ),b=(1,2). (1)若 a∥b,求 tan θ 的值; (2)若|a|=|b|,0<θ<π,求 θ 的值. 解 (1)因为 a∥b,所以 2sin θ=cos θ-2sin θ, 1 于是 4sin θ=cos θ,故 tan θ=4. (2)由|a|=|b|知,sin2θ+(cos θ-2sin θ)2=5, 所以 1-2sin 2θ+4sin2θ=5. 从而-2sin 2θ+2(1-cos 2θ)=4, π? 2 ? 即 sin 2θ+cos 2θ=-1,于是 sin?2θ+4?=- 2 . ? ? π π 9π 又由 0<θ<π 知,4<2θ+4< 4 , π 5π π 7π π 3π 所以 2θ+4= 4 或 2θ+4= 4 .因此 θ=2或 θ= 4 .

考向三

平面向量与平面解析几何交汇

【例 3】?(2012· 兰州模拟)已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l:x=8,P 为该平面 → +1PQ → (PC → -1PQ → 上一动点,作 PQ⊥l,垂足为 Q,且(PC 2 )· 2 )=0. (1)求动点 P 的轨迹方程; →· → 的最值. (2)若 EF 为圆 N:x2+(y-1)2=1 的任一条直径,求PE PF [审题视点] 第(1)问直接设动点 P 的坐标,先把向量之间的关系化简,然后代入 向量坐标,化简整理即得轨迹方程;第 (2)问先利用圆的性质化简向量数量积, 将其转化为动点 P 与定点 N 的距离的最值,最后代入点的坐标将其转化为函数 的最值求解.

解 (1)设 P(x,y),则 Q(8,y). → +1PQ → )· → -1PQ → )=0,得|PC|2-1|PQ|2=0, 由(PC ( PC 2 2 4 1 x2 y2 即(x-2)2+y2-4(x-8)2=0,化简得16+12=1. x2 y2 所以点 P 在椭圆上,其方程为16+12=1. →· → =(NE → -NP → )· → -NP → )=(-NF → -NP → )· → -NP → )=(-NP → )2-NF → 2=NP → (2)因PE PF (NF (NF
2

-1,

x2 y2 x2 y2 4y2 0 0 0 2 P 是椭圆16+12=1 上的任一点,设 P(x0,y0),则有16+12=1,即 x0=16- 3 , → 2=x2+(y -1)2=-1y2-2y +17=-1(y +3)2+20. 又 N(0,1),所以NP 0 0 0 3 0 3 0 → 2 取得最大值 20,故PE →· → 的最大 因 y0∈[-2 3,2 3],所以当 y0=-3 时,NP PF 值为 19; → 2 取得最小值(2 3-1)2=13-4 3,(此时 x =0),故PE →· →的 当 y0=2 3时,NP PF 0 最小值为 12-4 3. 平面向量与平面解析几何交汇的题目,涉及向量数量积的基本运算,数 量积的求解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中最值等问题,解决此类问题应从 向量的坐标运算入手,这也是解决解析几何问题的基本方法——坐标法. 【训练 3】 已知点 P(0,-3),点 A 在 x 轴上,点 Q 在 y 轴的正半轴上,点 M →· → =0,AM → =-3MQ → ,当点 A 在 x 轴上移动时,求动点 M 的轨迹方程. 满足PA AM 2 → =(a,3), → 解 设 M(x, y)为所求轨迹上任一点, 设 A(a,0), Q(0, b)(b>0), 则PA AM → =(-x,b-y), =(x-a,y),MQ →· → =0,得 a(x-a)+3y=0.① 由PA AM → =-3MQ →, 由AM 2 3 ?3 3 ? 得(x-a,y)=-2(-x,b-y)=?2x,2?y-b??, ? ?

3 ? ?x-a=2x, ∴? 3 3 y = ? ? 2y-2b,

x ? ?a=-2, ∴? y b = ? ? 3.

x x? x? 把 a=-2代入①,得-2?x+2?+3y=0, ? ? 1 整理得 y=4 x2(x≠0).

难点突破 12——高考中平面向量与其他知识的交汇问题 平面向量是高中数学的重要知识,是高中数学中数形结合思想的典型体现.近几 年新课标高考对向量知识的命题, 既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样 化, 又保持与其他知识交汇的命题思路, 呈现出“综合应用, 融会贯通”的特色, 充分彰显平面向量的交汇价值.

一、平面向量与命题的交汇 【示例】? (2011· 陕西)设 a,b 是向量,命题“若 a=-b,则|a|=|b|”的逆命题 是 ( A.若 a≠b,则|a|≠|b| B.若 a=-b,则|a|≠|b| C.若|a|≠|b|,则 a≠-b D.若|a|=|b|,则 a=-b ).

二、平面向量与函数

【示例】? (2010· 北京)若 a,b 是非零向量,且 a⊥b,|a|≠|b|,则函数 f(x)=(xa +b)· (xb-a)是( ).

A.一次函数且是奇函数 B.一次函数但不是奇函数 C.二次函数且是偶函数 D.二次函数但不是偶函数

▲平面向量与线性规划(教师备选) 【示例】? (2011· 福建)已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1).若点 M(x,y)为平面区

?x+y≥2, 域?x≤1, ?y≤2
A.[-1,0]

→· → 的取值范围是( 上的一个动点,则OA OM

).

B.[0,1] C.[0,2]

D.[-1,2]

.


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