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函数的单调性5(16张PPT)


函数的单调性
即墨市第二职业中专
黄小调

3.3.1 函数的单调性

观察以下函数的图象,你能说说它们 导入:

反映了函数图象的哪些变化规律吗? y y

o

x

y

o

x y = -x+1

y=x y= x2 o x

新课

函数的单调性

如果在给定的区间上 y 自变量x增大(减小) B y2 △y>0 时,函数值y随着增大 (减小),即对于属 y1 A f(x2) 于这个区间的任意两 f ( x 1) 个不相等的值x1、x2, o x1 x2 x 记△x=x2-x1, △y=y2-y1 △y △ x> 0 当 △x >0 时,那么 就说 y = f(x)在这 y = f(x) 个区间上是增函数.

函数的单调性
y
y1 y2 如果在给定的区间上 自变量x增大(减小) 时,函数值y反而随着 △ y < 0 A 减小(增大),即对 于属于这个区间的任 B f(x1) f(x2) 意两个不相等的值x1x2,

o

x1

x2

x

记△x=x2-x1, △y=y2-y1

△ x> 0

△y 当 △x <0 时,那么

y = f(x)

就说 y = f(x)在这 个区间上是减函数.

函数的单调性
图象特征
从左向右 逐渐上升

数学语言
对于给定区间的任意两个值x1≠x2 , △y 当 >0 时,就说 y = f(x)在 △x 这个区间上是增函数. 对于给定区间的任意两个值x1≠x2 , △y 当 <0 时,就说 y = f(x) △x 在这个区间上是减函数.

从左向右 逐渐下降

函数的单调性

如果一个函数在某个区间 上是增函数或是减函数就说 这个函数在这个区间上具有 (严格的)单调性
函数的单调区间,一般是指保 持函数单调性的最大区间.

例题

从图像上,比比我们谁 先找到函数的单调区间?

例1:如图,函数y=f(x)的定义域是[-10,10],根据图象指出函 数y=f(x)的单调区间,并指出在每一个单调区间上函数y=f(x)的单 调性。
y y=f(x)

-10 -8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10 x

解:函数y=f(x)的单调区间有:[-10,-4],(-4,-1],(-1,2],(2,8],(8,10] 其中函数y=f(x)在区间[-10,-4], (-1,2] ,(8,10]上是减函数;在区间(-4,-1] , (2,8]上是增函数。

判断函数单调性的一般步骤
1、在给定的区间上任取两个不相等的自变量的值x1,x2 △x=x2-x1 从而计算出⊿y ⊿y 2、计算出 K= ⊿x 则 3、当k>0时,函数y=f(x)在这个区间上是增函数 当k<0时,函数y=f(x)在这个区间上是减函数

思考一下,证明的步骤是???

例题
例2、证明函数f(x)=2x+1在 (??, ??) 上是增函数
证明:设 x1
因为 ? x ? x2 ? x1

x2 是任意两个不相等的实数

? y ? f ( x2 ) ? f ( x1 )
? (2 x2 ? 1) ? (2 x1 ? 1) ? 2( x2 ? x1 ) ? 2? x

?y 2? x ? ?2?0 ?x ?x
因此函数f(x)=2x+1在

(??, ??) 上是增函数。

例题
例3、证明函数f(x)=
证明:设

1 x



(??, 0)

上是减函数

x1 x2

是任意两个不相等的负实数,

? x ? x2 ? x1 ? y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) 1 1 ? ? x2 x1 x1 ? x2 ? x1 x2 x2 ? x1 ? ? x1 x2 ?x ? ? x1 x2

?y 1 ?? ?0 ?x xx
1 2

因此,函数f(x)= 上是减函数

1 x

在区间( ??, 0)

课堂练习
⑴ 证明函数 f(x)= -x + 1 在 (-∞,+∞)上是减函数. 3 ⑵证明函数f(x)= 在(-∞,0)上是减 x 函数.

练习

⑶ 证明函数 f(x)= (-∞,0)上是减函数.

2 x



⑷证明函数f(x)= x2在(0, +∞)上 是增函数.

回顾 观察图象,请你根据图象说出函 数单调性的定义 y
y2 y1 A

B
y1 y2 f(x2) f ( x 1) x1 x2 x

y
A B
f(x1)

o

o

x1

x2

x

y = f(x)

y = f(x)

小结:
1、这节课我们学习了函数单调性的定 义,要特别注意定义中“给定区间”、“任 意”、“不相等”这几个关键词语;在写单 调区间时不要轻易用并集的符号连接;、 2、证明函数的单调性时,应该注意证 明的几个步骤。

思考
⑴如果函数y=f(x)是区间(- ∞, +∞)上的增函数,

①求证k>0时, kf(x)在区间(- ∞, +∞)上也是增 函数
②k<0时,判断函数kf(x)在区间(- ∞, +∞)上的单 调性,并证明之. ⑵思考你对单调性定义中“严格”的理解.

祝同学们 学习进步!


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