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有理函数的和可化为有理函数的不定积分_图文

§3 有理函数的和可化为有理函数的不定积分 有理函数的不定积分 内容:1)有理函数的部分分式分解 2)有理函数的不定积分 难点:有理函数的部分分式分解 要求:掌握有理函数的积分方法 我们已经学习了不定积分的三种基本积分方法:第一换元法,第二 换元法,分部积分法。灵活的应用它们,就可以求出许多不定积分。 有理函数是指两个多项式的商表示的函数 P( x ) a 0 x n ? a1 x n?1 ? ? ? a n ? Q( x) b0 x m ? b1 x m ?1 ? ? ? bm 先介绍代数学中两个定理:

定理 1 (多项式的因式分解定理)任何实系数多项式 Q ( x ) 总那个 可以唯一分解为实系数一次或二次因式的乘积: Q ( x ) ? b0 ( x ? a) k ?( x ? b) l ( x 2 ? px ? q ) s ? ( x 2 ? rx ? h ) v 定理 2 ( 部分分式展开定理) A1 A2 Ak P( x ) ? ? ? ? ? ?? 2 k Q ( x) ( x ? a ) ( x ? a) ( x ? a) B1 B2 dx Bl ? ? ? ? ?? ? ( x ? c) m ( x ? b ) ( x ? b) 2 ( x ? b) l 和 P x ? Q P x ? Q P 1 1 2 2 1 x ? Q1 ? ? ? ? ?? x 2 ? px ? q ( x 2 ? px ? q ) 2 ( x 2 ? px ? q) s R x ? H1 R x ? H2 Rv x ? H v ? 21 ??? 2 2 ? ? ? x ? rx ? h ( x ? rx ? h ) 2 ( x 2 ? rx ? h) v ? 因此有理函数的积分问题就归结为

Mx ? N ? ( x 2 ? px ? q) n

例 1.

求不定积分

?

2x ? 1 dx 2 x ? 5x ? 6

将被积函数按部分分式分解 2x ?1 A B ? ? x 2 ? 5x ? 6 x ? 2 x ? 3 两边同乘 ( x ? 2)( x ? 3) 2 x ? 1 ? A( x ? 3) ? B( x ? 2) 比较同次项系数 ?A? B ? 2 ? ?3 A ? 2 B ? 1 解此方程组 f1='A+B-2'; A = -3 由此得到 f2='3*A+2*B-1'; [A,B]=solve(f1,f2)

[B = 5

2x ?1 5 3 ? ? x 2 ? 5x ? 6 x ? 3 x ? 2 2x ? 1 5 3 ( x ? 3) 5 ? x 2 ? 5 x ? 6 dx ? ? ( x ? 3 ? x ? 2 )dx ? ln | (x ? 2)3 | ? C

也可直接用下面命令 b=[2,-1]; a=[1,-5,6];

[r,p,k]=residue(b,a)

r = 5

-3

2x ?1 5 3 ? ? x 2 ? 5x ? 6 x ? 3 x ? 2

例 2 解

2 x 4 ? x 3 ? 4 x 2 ? 9 x ? 10 ? x 5 ? x 4 ? 5 x 3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 8 dx 将分母分解因式

f=sym('x^5+x^4-5*x^3-2*x^2+4*x-8'); factor(f) ans =(x-2)*(x^2-x+1)*(x+2)^2 因此可分成部分分式 2 x 4 ? x 3 ? 4 x 2 ? 9 x ? 10 A B C Dx ? E ? ? ? ? x 5 ? x 4 ? 5x 3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 8 x ? 2 x ? 2 ( x ? 2) 2 x 2 ? x ? 1 两边同乘 ( x ? 2)( x ? 2) 2 ( x 2 ? x ? 1) ,比较同次项系数得 2 x 4 ? x 3 ? 4 x 2 ? 9 x ? 10 ? A( x ? 2) 2 ( x 2 ? x ? 1) ? B( x ? 2)( x ? 2)( x 2 ? x ? 1) ? C ( x ? 2)( x 2 ? x ? 1) ? ( Dx ? E )( x ? 2)( x ? 2) 2

clc,f=sym('A*(x+2)^2*(x^2-x+1)+B*(x-2)*(x+2)*(x^2-x+1)+C*(x-2)*(x^2x+1)+(D*x+E)*(x-2)*(x+2)^2');collect(f,'x') ans = (B+A+D)*x^4+(E+2*D+C-B+3*A)*x^3+(-3*C+2*E-4*D-3*B+A)*x^2+(3*C-4*E-8*D +4*B)*x+4*A-2*C-4*B-8*E

比较同次项系数得 ?B ? A ? D ? 2 ? E ? 2 D ? C ? B ? 3 A ? ?1 ? ? ?? 3C ? 2 E ? 4D ? 3B ? A ? 4 ?3C ? 4 E ? 8D ? 4 B ? 9 ? ? ?4 A ? 2C ? 4 B ? 8E ? ?10 解此方程组

f1='B+A+D-2'; f2='E+2*D+C-B+3*A+1'; f3='-3*C+2*E-4*D-3*B+A-4';

f4='3*C-4*E-8*D+4*B-9' ; f5='4*A-2*C-4*B-8*E+10' ; [A,B,C,D,E]=solve(f1,f2,f3,f4,f5) A =1 B =2 C =-1 D =-1 E =1

2 x 4 ? x 3 ? 4 x 2 ? 9 x ? 10 1 2 1 x ?1 dx ? ( ? ? ? ? x5 ? x 4 ? 5x3 ? 2x 2 ? 4x ? 8 ? x ? 2 x ? 2 ( x ? 2)2 x 2 ? x ? 1)dx ? ln | x ? 2 | ?2 ln | x ? 2 | ? ? ln | x ? 2 | ( x ? 2) 2 x2 ? x ? 1 ? 1 1 2x ?1 ? ln( x 2 ? x ? 1) ? arctg ?C x? 2 3 3

1 1 2x ?1 ? arctg ?C x?2 3 3

另一种方法是

2 x 4 ? x 3 ? 4 x 2 ? 9 x ? 10 ? A( x ? 2) 2 ( x 2 ? x ? 1) ? B( x ? 2)(x ? 2)(x 2 ? x ? 1) ? C ( x ? 2)(x 2 ? x ? 1) ? ( Dx ? E )(x ? 2)(x ? 2) 2

令 x ?0



? 10 ? 4 ? 4 B ? 2 ? 8 E x ? 1 ? 4 ? 9 ? 3 B ? 1 ? 9( D ? E) x ? ?1 ? ?12 ? 3 ? 9 B ? 9 ? 3( E ? D )

§4

不定积分的计算 (4)

三角函数有理式

? R (sin x, cos x) dx

型的积分

万能代换: 万能代换常用于三角函数有理式的积分, 令 t ? tg x x x 2 ? 2t , sin x ? 2 sin cos ? 2 2 1? t2 2 x sec 2 2tg 1?t2 cos x ? , 2 1? t tgx ? 2t 1?t2 , dx ? 2 dt , 2 1? t

x , 2

就有

x ? 2arctgt.

dx ? 1 ? cos x . 2 2 x 1 ? t I ????? ? dt ? dt ? t ? c ? tg ?c. 2 ? 1?t 2 1? 1?t2
t ?tg x 2

解法一 ( 用万能代换 )

解法二 ( 用初等化简 )

I?

1 dx x x 2 x ? sec d ( ) ? tg ?c. ? ? x 2 cos 2 2 2 2 2

解法三 ( 用初等化简, 并凑微 ) 1 ? cos x d sin x 2 I ?? dx ? csc xdx ? ? 2 ? ? 2 1 ? cos x sin x 1 x ? ?ctgx ? ? c ? csc x ? ctgx ? c ? tg ? c. sin x 2 代换法是一种很灵活的方法.

例 1



? sin x(1 ? cos x) dx

1 ? sin x

f='2*(1+sin(x))/(sin(x)*(1+cos(x))*(1+t^2))';

f1=simplify(subs(subs(f,'2*t/(1+t^2)','sin(x)'),'(1-t^2)/(1+t^2)' ,'cos(x)'))

f1 = 1/2*(1+t^2+2*t)/t expand(f1)

ans = 1/2/t+1/2*t+1 1 ? sin x 1 t dx ? ( ? sin x(1 ? cos x ) ? 2t ? 2 ? 1) dt

int(f1) ans = 1/4*t^2+t+1/2*log(t)

1 ? sin x t2 ln | t | dx ? ? t ? ?C ? sin x(1 ? cos x ) 4 2 例 2 求 3 ? sin x ? 3 ? cos x ) dx

f='2*(3-sin(x))/((3+cos(x))*(1+t^2))';

f1=simplify(subs(subs(f,'2*t/(1+t^2)','sin(x)'),'(1-t^2)/(1+t ^2)','cos(x)')) f1 = (3+3*t^2-2*t)/(2+t^2)/(1+t^2) 利用部分分式展开,积分

f2=int(f1) f2 =log(2+t^2)+3/2*2^(1/2)*atan(1/2*t*2^(1/2))-log(1+t^2) 3 ? sin x 3 2 2 2 2 dx ? ln( 2 ? t ) ? arctg t ? ln( 1 ? t )?C ? 3 ? cos x ) 2 2 例3 求 1 ? a 2 sin 2 x ? b 2 cos 2 x dx



1 sec 2 x dtgx dx ? dx ? ? a 2 sin 2 x ? b 2 cos 2 x ? a 2 tg 2 x ? b 2 ? a 2tg 2 x ? b 2

f='1/(a^2*t^2+b^2)'; int(f) ans = 1/b/a*atan(a*t/b)

dtgx 1 a ? arctg tgx ? C ? a 2tg 2 x ? b 2 ab b 1 ?x x?2 dx x?2

s='t-sqrt((x+2)/(x-2))';x=solve(f)

x = 2*(1+t^2)/(-1+t^2) simplify(diff(x,'t')) ans = -8*t/(-1+t^2)^2

g='-8*t^2/(x*(t^2-1)^2)'; g1=simplify(subs(g,'x','2*(t^2+1)/(t^2-1)')) g1 = -4*t^2/(1+t^2)/(t^2-1)

int(g1) ans = -log(t-1)+log(1+t)-2*atan(t)

1 ?x

x?2 t ?1 dx ? ln | | ?2arctg t ? C x?2 t ?1 1 2? x? x
2

? (1 ? x)

dx ??

1 (1 ? x ) (1 ? x )( 2 ? x )

dx

f='t^2-(2-x)/(1+x)';x=solve(f), dx=simplify x = -(t^2-2)/(1+t^2) dx = -6*t/(1+t^2)^2

g='(-6/(1+x)^2)/(1+t^2)^2';

g1=simplify(subs(g,'x','(2-t^2)/(1+t^2)'))

g1 = -2/3

2? x? x 2 2 ? ? ? dt ? ? t ? C 3 3
2

? (1 ? x)

1

dx ??

1 (1 ? x ) (1 ? x )( 2 ? x )

dx

?
?

1
3

( x ? 1) 2 ( x ? 2)

dx ? ?

1 dx 2 /3 ( x ? 2)[ x ? 1) /( x ? 2)]

1 ? ( x ? 2)t 2 dx

f='y^3-(x-1)/(x+2)'; x=solve(f), dx=simplify(diff(x,'y'))

x =-(2*y^3+1)/(y^3-1),dx = 9*y^2/(y^3-1)^2

g='1/((x+2)*y^2)*(9*y^2/(y^3-1)^2)'; g1=simplify(subs(g,'x','(2*y^3+1)/(1-y^3)')) g1 =-3/(y^3-1)

int(g1) ans = -log(y-1)+1/2*log(y^2+y+1)+3^(1/2)*atan(1/3*(2*y+1)*3^(1/2))

?

3

1 3 dx ? ? ln | y ? 1 | ? ln | y 2 ? y ? 1 | ? 3arctg (2 y ? 1) ? C 2 2 3 ( x ? 1) ( x ? 2)

1


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