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2.1.2 数列的递推公式 (选学)-王后雄学案


张喜林制 2.1.2 数列的递推公式(选学) 教材知识检索 考点知识清单 1.如果已知数列的第 1 项(或前几项) ,且从 开始的任一项 an 与 间的关系可以用一个 公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 2.递推公式与通项公式的异同: 3.定义:数列 {an } 的和称为该数列的前 n 项和,一般记作 S n , 即 s n ? .数列 {an } 的 的和称为该数列的各项和,一般记作.S,S= n ? 1), ? ________( 4.S n 与an 的关系:数列前 n 项和 sn 与通项 an 间的关系为 an ? ? n ? 2, n ? N ? ). ? _________( 要点核心解读 1.数列的递推公式 已知数列 {an } 的第一项(或前几项) ,且从第二项(或某一项)开始的任一项 an 与它的前一项 a n ?1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个数列的递推公式.通过递推公式给 出的数列,一般称为递推数列. 常见的递推公式如: an ? an?1 ? d ; an ? an?1 ? q; an?1 ? an ? an?1 , 等等, 又如,数列:1,3,5,?,2n-1,?用递推法表示为:a1 ? 1, an ? an?1 ? 2(n ? 2), 其中 an ? an?1 ? 2 是递推公式. [注意] (1)用递推公式给出一个数列,必须给出①“基础”——数列 {an } 的第 1 项或前几项;②递推 1 / 18 关系——数列 {an } 的任一项 an 与它的前一项 a n ?1 (或前几项)之间的关系,并且这个关系可以用一个公 式来表示.如果两个条件缺一个,数列就不能确定,例如,已知数列 {an } 的 a1 ? 1, a2 ? 2, 这个数列就不 能确定,因为有的说 a n ? n, 有的说 an ? 2 n?1 , 等等.再如,已知数列 {an } 满足 an ? 2an?1 (n ? 2), 你能说 出这个数列的第 1 项、第 2 项、第 n 项是多少吗?(不能. ) (2)递推公式是给出数列的一种方法,并不是一种新的数列.应注意,类似 bn ? an .an ?] 这样的公式不 是递推公式,数列 {bn } 是由数列 {an } 中的项通过公式 bn ? am . a n ?1 构造出来,不是由 {bn } 中的项经过递 推得到的. (3)与并不是所有的数列都有通项公式一样,并不是所有的数列都有递推公式;递推公式也是给出数 列的一种重要方法,有时候并不一定要知道数列的通项公式,只要知道数列的递推公式,即可解决问,题, 有的递推公式与通项公式之间也可以进行互化. 2.数列的前几项和 sn 与通项 an 的关系 数列 {an } 的前 n 项和 sn 与 n 的关系,可以用一个公式表示,则这个公式叫做这个数列的前 n 项和公 式,即 S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an , 如 s5 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 表示数列 {an } 的前 5 项和. a1 ? S1 , 即 S1 为数列 {an } 的首项,而 sn?1 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a n?1 ? a ? 2, 且 n ? N ? ), 故有 a n ? { S1 s n , ? L n ?1 x ?S n ?1, ? hn ? 2r ?. ? 这就是 数列 {an } 2 / 18 的前 n 项和

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