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汕头市2013年普通高中高三数学一模试题及答案(理)

围.

理解二:由于涂色过程中,要保证满足条件(用四种颜色,相邻的面不同色),正方体的三对面,必 然有两对同色,一对不同色,而且三对面具有“地位对等性”,因此,只需从四种颜色中选择 2 种涂在
2 其中一对面上,剩下的两种颜色涂在另外两个面即可。因此共有 C 4 =6 种不同的涂法。

16 证明:(Ⅰ)因为 PA ? PB ? PC ? AC ? 4 ,
1

取 AC 的中点 O ,连接 OP, OB ,易得: OP ? AC ,……………………………(1 分)

P

OP ? PC 2 ? OC 2 ? 4 2 ? 2 2 ? 2 3
? AC ? 4, AB ? 2, BC ? 2 3 ,
A ? AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ,? ?ABC为Rt?, .……………………………(2 分)

O

C

? OB ? OC ? 2, PB 2 ? OB 2 ? OP 2 ,? OP ? OB .……………(3 分)
又? AC ? BO ? O且AC、OB ? 面ABC

B

? OP ? 平面 ABC ,又? OP ? 平面PAC
? 平面PAC ? 平面ABC ……………………………(5 分)
注意:该步骤要求学生的表达严谨规范,对于几个垂直的证明,如果没有过程,相应步骤得分为 0 分,而利用结论 的后续证明只要正确,可以相应步骤得分) (Ⅱ) V P ? ABC ?

1 1 1 1 OP ? AB ? BC ? ? 2 3 ? ? 2 ? 2 3 ? 4 …………………(7 分) 3 2 3 2

(注意:该步骤只要计算出错,就 0 分) (Ⅲ)方法一:过点 E 作 EH ? AC 于 H,过点 H 作 HM ? AD 于 M, 连接 ME ,因为平面 PAC ? 平面 ABC ,平面 PAC ? 平面 ABC = AC ,

EH ? AC , EH ? 平面 ABC ,所以 EH ? 平面 PAC ,
? ME ? AD (三垂线定理)(注意:也可以证明线面垂直) ? ?EMH 即为所求的二面角的平面角………(10 分)

? E, D 分别为中点, EH ? AC , ? 在 RT?HEC 中:

HC ? EC cos 30 0 ?

3 , 2

EH ? EC sin 30 0 ?
? AH ? 4 ? HC ? 5 2

3 …………………(11 分) 2

在 RT?HMA 中, MH ? AH sin 30 0 ?

5 …………(12 分) 4
2

所以, RT?HME 中, ME ?

HE 2 ? HM 2 ?

3 25 37 ? ? 4 16 4

所以 cos ?EMH ?

MH ? ME

5 4 ? 5 37 ………………(14 分) 37 37 4

y

方法二:以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系

O(0,0,0) , A(0,?2,0) , B( 3 ,?1,0) , C (0,2,0) , D(0,1, 3 ) , E (

3 1 , ,0) , P(0,0,2 3 ) , 2 2

? AE ? (

3 5 , ,0) , AD ? (0,3, 3 ) ,…………………………………………(9 分) 2 2

所以,可以设平面 AED 的一个法向量为 n1 ? ( x, y, z ) , 平面 ACD 的一个法向量为 n 2 ? (1,0,0) ,…………………………………………(10 分)

? 3 5 x? y ?0 3 3 ?n1 ? AE ? ,所以令 x ? 1 ,则 y ? ? ,z ? 2 2 ? 5 5 ?n ? AD ? 3 y ? 3 z ? 0 ? 1
3

所以 n1 ? (1,?

3 2 , ) ,可以设所求的二面角为 ? ,显然 ? 为锐角…………(11 分) 5 5

由 n1 ? n 2 ? n1 ? n 2 ? cos ? n1 , n 2 ?, 可得:………………………………(12 分)

cos ? ? cos ? n1 , n2 ? ?

n1 ? n2 ? n1 ? n2

(1,?

3 2 , ) ? (1,0,0) 5 37 5 5 ………………(14 分) ? 37 3 9 1? ? 25 25

17. 解: (Ⅰ)设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件,则

1 1 1 1 1 P( A)=C30 ? ( )3 ? C3 ? ? ( ) 2 ? 2 2 2 2.
所以走 L1 路线,最多遇到 1 次红灯的概率为

………………3分

1 .………4 分 2

(II)依题意,X的可能取值为0,1,2………………5分

3 3 1 ) ? (1 ? ) = 4 5 10 3 3 3 3 9 P( X ? 1) ? ? (1 ? ) + (1 ? ) ? ? 4 5 4 5 20 3 3 9 ………………7分 P( X ? 2) ? ? ? 4 5 20 随机变量 X 的分布列为: 1. X 2. 0 3. 1 4. 2
p ( X ? 0) =(15.

P 6.

1 7. 10

9 8. 20

9 20

1 9 9 27 …………9分 ?0? ?1 ? ?2 ? 10 20 20 20 (Ⅲ)设选择 L1 路线遇到红灯次数为 Y ,随机变量 Y 服从二项分布, EX ?
1 Y ? B (3, ) 2 ,…11 分

EY ? 3 ?
所以

1 3 ? 2 2.

………………13分 ………………14分

因为 EX ? EY ,所以选择L2路线上班最好.

19. 解:(1)双曲线

b x2 y 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) ,过一、三象限的渐近线为 y ? x ,………1 分 2 a a b
2 2 2

设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? c) ,由于与圆 x ? y ? a 相切,

4

?

| kc | k 2 ?1

? a ,即 k 2 ?

a2 ,………3 分 b2
………4 分

直线 AB 的斜率 k ? ?

a b ,所以 k ? ?1 。 b a

? y ? k ( x ? c) ? (2)由 ? x 2 y 2 得 (b2 ? a2 k 2 ) x2 ? 2a2k 2cx ? a2k 2c2 ? a2b2 ? 0 ,………6 分 ? 2 ? 2 ?1 ?a b
? ?2a 2 k 2 c x1 ? x2 ? 2 ? ? b ? a2k 2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? ,………7 分 ? a 2 k 2 c 2 ? a 2b 2 ?x x ? ? 1 2 b2 ? a 2k 2 ?
所以

| AB |? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ?

2ab 2ab(1 ? k 2 ) ? 2 ,………9 分 2 2 2 | b ? a k | b ? a2

| BF1 | ,因为 OT ? AB , | OF |2 ?| OT |2 ? | FT |2 , 2 | BF | ?b , | FO |? c,| OT |? a ,所以, | TF |? b , | MT |? 2 | BF1 | | BF | ? ? b ? b ? a ? 1 ,即 b ? a ? 1 。 又 | OM | ? | MT |? 2 2
又设双曲线左焦点为 F ,则 | MO |? 1

| AB |?

2ab 2a(a ? 1) 2a 2 ? 2a ,………12 分 ? ? b 2 ? a 2 (a ? 1)2 ? a 2 2a ? 1

令 t ? 2a ? 1, t ? [3,7] ,则 | AB |?

t 2 ?1 1 1 ? (t ? ) , 2t 2 t

1 1 (1 ? 2 ) ? 0 ,为增函数, 2 t 4 24 ?| AB |? ∴ ………14 分 3 7 f ?(t ) ?
http://item.taobao.com/item.htm?spm=a230r.1.10.46.t514hE&id=20359468186 http://item.taobao.com/item.htm?spm=a230r.1.10.13.sl2OBx&id=1797095624220.解:(Ⅰ)存在 a ? 0, b ? ?1 使

y ? f (x) 为偶函数,………………(2 分)
证明如下:此时: f ( x) ? e ? e
x ?x

? ex , x ? R

? f (? x) ? e

?x

? e x ? e ? x ? f ( x) ,? y ? f (x) 为偶函数。………………(4 分)

(注: a ? 0, b ? 0) 也可以)
5

(Ⅱ)? g ( x) ? e

x ?2

x ? x?2 ?e ? e ? e x = ? 2? x ?e ? e x ?

( x ? 2) ( x ? 2)

,………………(5 分)

①当 x ? 2 时 g ( x) ? e

x ?2

? e x ,? g ' ( x) ? e x ? 2 ? e x ? 0

? y ? g (x) 在 ?2,?? ? 上为增函数。………………(6 分)
②当 x ? 2 时 g ( x) ? e 则 g ( x ) ? ?e
' 2? x 2? x

? ex ,

? e x ,令 g ' ( x) ? 0 得到 x ? 1 ,
'

(ⅰ)当 x ? 1 时 g ( x) ? 0 ,? y ? g (x) 在 ?? ?,1? 上为减函数。 (ⅱ) 当 1 ? x ? 2 时 g ( x) ? 0 ,? y ? g (x) 在 ?1,2 ? 上为增函数。………………(8 分)
'

综上所述: y ? g (x) 的增区间为 ?1,?? ? ,减区间为 ?? ?,1? 。………………(9 分) (Ⅲ)? f1 ( x) ? f 2 ( x0 ) ? 1 ,? f 2 ( x0 ) ? 1 ? f1 ( x) ? f 2 ( x0 ) ? 1

? ?x0 ? ?0,1?对?x ? ?0,1?, f 2 ( x0 ) ? 1 ? f1 ( x) ? f 2 ( x0 ) ? 1 成立。
即: ?

? f 2 ( x) min ? 1 ? f1 ( x) min …………………………………………………(10 分) ? f 2 ( x) max ? 1 ? f1 ( x) max

①当 b ? 0 时, f 2 ( x) 为增函数或常数函数,? 当 x ? [0,1] 时

? f 2 ( x) min ? f 2 (0) ? 1,

f 2 ( x) max ? f 2 (1) ? eb

? f1 ( x) ? e

x ?a

?0

? f 2 ( x) min ? 1 ? f 2 (0) ? 1 ? 0 ? f1 ( x) min 恒成立。
? eb ? 1 ? e1? a

1 当a ? 时 f1 ( x) max ? f1 (1) ? e1? a 2

? a ? 1 ? ln(eb ? 1)
1 2

? ln(e b ? 1) ? ln 2 ? ln e ?

1 2

?1 ? ln(e b ? 1) ?

1? ? ? a ? ?1 ? ln(eb ? 1), ? 2? ?
1 当a ? 时 f1 ( x) max ? f1 (0) ? e a 2
? eb ? 1 ? e a

? a ? ln(eb ? 1)

? ln(e b ? 1) ? ln 2 ? ln e ?

1 2

?1 ? ? a ? ? , ln(e b ? 1) ? ?2 ?
综上所述:? a ? 1 ? ln(e ? 1), ln(e ? 1) ……………………………………………(12 分)
b b

?

?

6

②当 b ? 0 时, f 2 ( x) 在[0,1]上为减函数,? f 2 ( x) max ? f 2 (0) ? 1,

f 2 ( x) min ? f 2 (1) ? eb

? f1 ( x) ? e

x?a

? 0,

eb ? 1 ? e0 ? 1 ? 0

? f 2 ( x) min ? 1 ? f1 ( x) min 恒成立。

1 当a ? 时 f1 ( x) max ? f1 (1) ? e1? a 2

? f 2 ( x) max ? 1 ? 2 ? e1? a

?a ? 1? ln 2

1? ? ? a ? ?1 ? ln 2, ? 2? ?
1 当a ? 时 f1 ( x) max ? f1 (0) ? e a 2
?2 ? e a

?a ? ln 2

?1 ? ? a ? ? , ln 2 ? ?2 ?
综上所述:?a ? ?1? ln 2, ln 2 ? ……………………………………………(13 分) 由①②得当 b ? 0 时, a ? 1 ? ln(e ? 1), ln(e ? 1) ;
b b

?

?

当 b ? 0 时, a ? ?1? ln 2, ln 2 ? .……………………………………………(14 分)

7