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2016-2017年《金版学案》数学·选修4-5(人教A版)练习:第四讲4.2用数学归纳法证明不等式 Word版含解析

第四讲 4.2 数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明不等式 A级 一、选择题 基础巩固 1.用数学归纳法证明 3n≥n3(n≥3,n∈N),第一步应验证( A.n=1 C.n=3 B.n=2 D.n=4 ) 解析:由题意 n≥3 知应验证 n=3. 答案:C 1 1 1 2.用数学归纳法证明“1+ + +…+ n <n,(n∈N+,n> 2 3 2 -1 1)”时,由 n=k(k>1)不等式成立,推证 n=k+1 时,左边应增加的 项数是( ) B.2k-1 D.2k+1 A.2k-1 C.2k 解析:增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k+1-2k=2k.故选 C. 答案:C 1 1 1 127 3.用数学归纳法证明不等式 1+ + +…+ n-1> (n∈N+) 2 4 64 2 成立,其初始值至少应取( A.7 ) D.10 B.8 C.9 1 1- n 2 1 1 1 1 解析:左边=1+ + +…+ n 1= =2- n 1,代入验证可 2 4 1 2- 2- 1- 2 知 n 的最小值是 8. 答案:B 4 .用数学归纳法证明“ 1 1 1 1 11 + + +…+ ≥ n+1 n+2 n+3 n+n 24 ) (n∈N*)”时, 由 n=k 到 n=k+1 时, 不等式左边应添加的项是( 1 A. 2(k+1) 1 1 B. + 2k+1 2k+2 1 1 1 C. + - 2k+1 2k+2 k+1 1 1 1 1 D. + - - 2k+1 2k+2 k+1 k+2 解析:当 n=k 时,不等式为 1 1 1 11 + +…+ ≥ . k+1 k+2 k+k 24 当 n=k+1 时, 左边= + 1 1 1 + +…+ (k+1)+1 (k+1)+2 (k+1)+(k-1) 1 1 1 1 1 + = + +…+ + (k+1)+k (k+1)+(k+1) k+2 k+3 k+k 1 1 + . 2k+1 2k+2 比较 n=k 与 n=k+1 的左边, 1 1 1 可知应添加的项为 + - . 2k+1 2k+2 k+1 答案:C 5.若不等式 1 1 1 m + +…+ > 对大于 1 的一切自然数 n 2n 24 n+1 n+2 ) 都成立,则自然数 m 的最大值为( A.12 C.14 B.13 D.不存在 1 1 1 解析:令 f(n)= + +…+ ,取 n=2,3,4,5 等值发 2n n+1 n+2 m 现 f(n)是单调递减的,所以[f(n)]max> , 24 m 所以由 f(2)> ,求得 m 的值.故应选 B. 24 答案:B 二、填空题 6. 设 x>-1, 且 x≠0, n 为大于 1 的自然数, 则(1+x)n>_______. 解析:由贝努利不等式知(1+x)n>1+nx. 答案:1+nx 7.设通过一点的 k 个平面,其中任何三个或三个以上的平面不 共有一条直线,这 k 个平面将空间分成 f(k)个部分,则 k+1 个平面 将空间分成 f(k+1)=f(k)+________个部分. 答案:2k 2n+1 1 1 1 8.在应用数学归纳法证明“1+ 2+ 2+…+ 2< 2 3 (n+1) n+1 (n∈N*)”时, 从 n=k 到 n=k+1, 不等式左边增加的项是________. 解析: 解决此题的关键是看清不等式的左边每一项的分母的变 化,一看“头”,从 12 开始;二看“尾”,当 n=k 时,尾项的分母 为(k+1)2,n=k+1 时尾项的分母为(k+2)2;三看中间,如果忽略平 方,1,2,3,…,(n+1)这些数都是连续相差 1 时.因此,从 n=k 1 到 n=k+1 只增加了一项,即 (k∈N+). (k+2)2 答案: 1 (k+2)2 三、解答题 1 1 1 2n 9.求证:1+ + +…+ ≥ . n n+1 2 3 2×1 证明:(1)当 n=1 时,左边=1,右边= =1,左式=右式. 1+1 2×2 4 3 4 1 3 当 n=2 时,左边=1+ = ,右边= = , > , 2 2 2+1 3 2 3 左边>右边. 故当 n=1 或 n=2 时,不等式成立. 1 1 1 2k (2)假设当 n=k(k≥1)时,有 1+ + +…+ ≥ . k k+1 2 3 1 1 1 1 2k 则当 n=k+1 时,左边=1+ + +…+ +…+ ≥ + k 2 3 k+1 k+1 2k+1 1 = . k+1 k+1 2k+1 2(k+1) k 因为 - = >0, k+1 (k+1)+1 (k+1)(k+2) 2k+1 2(k+1) 所以 > =右边. k+1 (k+1)+1 由不等式的传递性可得:左边>右边. 故当 n=k+1 时不等式也成立. 由(1)(2)知,对一切 n∈N*原不等式都成立. 1 10.设 0<a<1,定义 a1=1+a,an+1= +a. an 1 求证:对于任意的 n∈N*,都有 1<an< . 1-a 1 证明: (1)当 n=1 时, a1>1, 又 a1=1+a< , 显然命题成立. 1-a (2)假设 n=k(k∈N+)时,不等式成立. 1 即 1<ak< . 1-a 1 当 n=k+1(k∈N+)时,由递推公式可知 ak+1= +a>(1-a)+a ak =1. 1-a2 1 1 同时 ak+1= +a<1+a= < . ak 1-a 1-a 所以当 n=k+1(k∈N+)时,命题也成立, 1 即 1<ak+1< . 1-a 1 由(1)(2)可知对于任意的 n∈N+,都有 1<an< . 1-a B级 能力提升 1 1 1 1.用数学归纳法证明不等式 1+ + +…+ n <f(n)(n≥2, 2 3 2 -1 n∈N+)的过程中,由 n=k 到 n=k+1 时,左边增加了( A.1 项 C.2k-1 项 B.k 项 D.2k

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