当前位置:首页 >> 数学 >>

函数奇偶性及其应用


本科毕业论文

题 院 专

目 别 业

函数奇偶性及其应用 数学与信息科学学院 数学与应用数学 吕 晓 亚

指导教师 评阅教师 班 姓 学 级 名 号

2011 级 3 班 杨 春 梅 20110241023

2015 年 4 月 17 日






要· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · I

Abstract · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · I 1 引言 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 2 函数奇偶性的定义 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 3 函数奇偶性的性质 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2
3.1 奇(偶)函数图象的性质 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 3.2 函数奇偶性与其单调性之间的性质关系 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 3.3 和函数的奇偶性 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 3.4 积函数的奇偶性 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 3.5 复合函数的奇偶性 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5

4 函数奇偶性的判定 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6
4.1 定义法 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 4.2 图象法 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 4.3 性质法 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7

5 函数奇偶性的应用 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8
5.1 求值 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 5.2 求函数解析式 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 5.3 解不等式 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 5.4 求解方程根的个数 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10

结束语 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 参考文献 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 致谢 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12

内江师范学院本科毕业论文

摘 要:在讨论函数的奇偶性在定义部分时候我们需要特别注意函数定义域关于原
点对称的情况.函数奇偶性在性质方面的体现,分别从图像、函数奇偶性与其单调性之间 的性质关系以及和函数、积函数、复合函数奇偶性五个方面入手进行探究,并对这些性 质逐一地进行了证明.针对函数奇偶性的判定问题,主要列举了定义法、图像法和性质法 三种常用方法来说明. 最后, 函数奇偶性在高中数学解题中得应用主要体现在函数求值、 求函数解析式、解函数不等式和求解函数方程的根的个数这五大类问题上,在阐述每一 类型的应用时并结合典型例题进行分析讨论,进一步说明了函数奇偶性在数学解题中的 重要作用.

关键词:函数;奇偶性;应用 Abstract: this paper respectively from the definition, nature, determination, and four
aspects of application system of the parity of function is introduced and studied. In the definition part emphasized function domain should pay attention to questions about the origin of symmetry. Then talked about the function of the nature, and to prove the character seriatim. Then introduces the several methods of decision function parity sex, in order to further understand the use of each method, and then introduced after each method drilling speak list relevant examples. Is the function the odd-even sexual knowledge related applications of different types of math problems, and combined with typical examples are analyzed to discuss, further illustrates the function parity in the important role of mathematical problem solving.

Key words: function; parity;application

I

内江师范学院本科毕业论文

1 引言
函数奇偶性的学习是进入高中后的第一个学期所以学习的函数的性质的内容, 它是 高中学习的函数三个重要性质(单调性、奇偶性、周期性)中的其中一个比较重要的. 函数奇偶性贯穿整个高中函数的学习是整个高中数学学习过程中一个极为重要的知识 点,在历年的高考中也会涉及到,因此掌握好函数的奇偶性对学好函数知识乃至整个高 中数学都有着举足轻重的作用.一般考察函数奇偶性的知识点的形式有很多,可以从函 数奇偶性的定义、性质下手,也会让学生对函数的奇偶性进行判断,还有一些较难而又 特殊的函数类型的题通过运用函数奇偶性的知识可以得到巧妙的解决,达到事半功倍的 简化问题的效果.因此,在数学竞赛对函数奇偶性的应用也是一个考察点.所以,一直以 来许多许多学者都在对有关函数奇偶性及其在各个领域应用进行研究探讨.如段本强 [1] 从函数奇偶性的定义和判断和应用方面进行了探讨;陈婷婷 [ 2 ] 对判别函数奇偶性的步骤 和方法进行了一个较为详细的叙述;潘晓鸣 [ 3 ] 通过实例分析了一系列判别函数奇偶性的 方法;还有胡大勇 [ 4 ] 和贾伟国 [ 5 ] 分别从函数奇偶性的判断和性质进行研究等.

2 函数奇偶性的定义
我们在学习或运用一个东西时首先要了解它是什么,因此,我们要了解或运用有关 函数奇偶性的知识时,我们首先要明白什么是函数的奇偶性,即函数奇偶性的定义.在高 中课本中,我们是这样来描述奇函数的定义和偶函数定义的: 一般地,对于函数 f ( x) : (1)如果对于函数定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 就叫做 奇函数; (2)如果对于函数定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 就叫做 偶函数. 但是,在这里,它这里却没有强调函数奇偶性存在与其定义域之间的关系.辨别一个 函数的奇偶性的首要前提条件是函数要满足其定义域是关于坐标原点对称的,那么我们 在判定一个函数的奇偶性如果一开始其定义域就不关于原点对称,即使该函数满足
f (? x) ? ? f ( x) 或 f (? x) ? f ( x) ,也不能说明该函数为奇函数或偶函数.

例1

请判断定义域在区间 ?? 3,5? 上的函数 f ( x) ? x 2 的奇偶性.

解: 因为题目当中该函数的定义域为 ?? 3,5? ,显而易见其定义域是不关于坐标原点对
1

内江师范学院本科毕业论文

称的,所以定义在区间 ?? 3,5? 上的函数 f ( x) ? x 2 是不存在奇偶性的. 点评:此题是着重在于考验学生对函数奇偶性定义的了解与掌握,仅从函数表达式 上看它是满足关系式 f (? x) ? f ( x) 的, 因此会有同学将会认为该函数为偶函数, 其实不然. 在这道题中在定义域上面是给学生设了一个陷阱的,目的就是为了强调函数定义域与其 奇偶性之间的联系. 因此,对于函数奇偶性定义这方面,学生头脑中必须明确以下三点: (1)如果函数 f ( x) 的定义域不是关于坐标原点对称的,那么 f ( x) 肯定不会是奇函数 或偶函数,即便从形式上来看有 f (? x) ? ? f ( x) 或 f (? x) ? f ( x) 成立; (2)如果函数 f ( x) 的定义域是关于原点对称的,那么再验证该函数是否满足关系式
f (? x) ? ? f ( x) 或 f (? x) ? f ( x) ,若满足,则函数 f ( x) 为奇函数或偶函数,若不满足,则

函数既不是奇函数也不是偶函数,若同时满足,则函数 f ( x) 既是奇函数也是偶函数(如 定义在 R 上的函数 f ( x) ? 0 ); (3)如果已经知道了函数的奇偶性,那么肯定有函数的定义域关于坐标原点对称.

3 函数奇偶性的性质
3.1 奇(偶)函数图象的性质 若一个函数为奇函数,那么该函数图象关于坐标原点对称(如定义在 R 上的函数
f ( x) ? x 的函数图象、定义在 R 上的函数 f ( x) ? sin x 的正弦函数图象);

若一个函数为偶函数, 那么该函数图象关于 y 轴对称 (如定义在 R 上的函数 f ( x) ? x 2 的函数图象、定义在 R 上的函数 f ( x) ? cos x 的余弦函数图象). 3.2 函数奇偶性与其单调性之间的性质关系 奇函数在其定义域内的某个区间上单调递增(递减),则在它的对称区间上也单调 递增(递减); 偶函数在其定义域内的某个区间上单调递增(递减),则在它的对称区间上单调递 减(递增). 点拨:该性质可通过观察奇函数与偶函数的图象得到. 3.3 和函数的奇偶性 (1)设在定义域为 I 上, 函数 f ( x) 和 g ( x) 均为奇函数, 则有函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 也
2

内江师范学院本科毕业论文

为奇函数. 证明:因为函数 f ( x) 与 g ( x) 在 R 上均为奇函数 则有 f (? x) ? ? f ( x) , g ( ? x) ? ? g ( x)

所以 F (? x) ? f (? x) ? g (? x) ? ? f ( x) ? g ( x) 即 F (? x) ? ?? f ( x) ? g ( x)? ? ?F ( x) 所以函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 为奇函数. (注:同理我们可以得到奇函数-奇函数=奇函数,两函数的定义域也是均满足关于原点 对称) (2) 设在定义域为 I 上, 函数 f ( x) 和 g ( x) 均为偶函数, 则有函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 也 为偶函数. 证明:因为函数 f ( x) 与 g ( x) 在 R 上均为偶函数 则有 f (? x) ? f ( x) , g (? x) ? g ( x) 所以 F (? x) ? f (? x) ? g (? x) ? f ( x) ? g ( x) 即 F ( ? x) ? F ( x) 所以函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 为偶函数. (注:同理我们可以得到偶函数-偶函数=偶函数,两函数的定义域也是均关于原点对称) (3)设在定义域为 I 上,有这样的函数其中函数 f ( x) 和 g ( x) 一个为奇函数,另一个 为偶函数,则有函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 为非奇非偶的函数. 证明:假设 f ( x) 为奇函数, g ( x) 为偶函数, 则有 f (? x) ? ? f ( x) , g (? x) ? g ( x) 所以 F (? x) ? f (? x) ? g (? x) ? ? f ( x) ? g ( x) 即 F ( ? x) ? ? F ( x) 且 F ( ? x ) ? F ( x ) 所以函数 F ( x) 是非奇非偶的函数. (注:同理可得奇函数-偶函数=非奇非偶函数,偶函数-奇函数=非奇非偶函数,两函数 的定义域也是均关于原点对称)
3

内江师范学院本科毕业论文

3.4 积函数的奇偶性 (1)设在定义域为 I 上, 函数 f ( x) 和 g ( x) 均为奇函数, 则有函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 为偶 函数. 证明:因为函数 f ( x) 和 g ( x) 均为奇函数 则有 f (? x) ? ? f ( x) , g (? x) ? ? g ( x) 所以 F (? x) ? f (? x) g (? x) ? ? f ( x)?? g ( x)? 即 F ( ? x) ? f ( x) g ( x) 所以 F (? x) ? F ( x) 所以函数 F ( x) 为偶函数. (注: 同理可得
奇函数 ? 偶函数 , 根据分母存在意义可以知道分母上的奇函数不能取 0, 奇函数

且两函数的定义域均关于原点对称) (2)设在定义域为 I 上, 函数 f ( x) 和 g ( x) 均为偶函数, 则有函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 为偶 函数. 证明:因为函数 f ( x) 和 g ( x) 均为偶函数 则有 f (? x) ? f ( x) , g (? x) ? g ( x) 所以 F (? x) ? f (? x) g (? x) ? f ( x) g ( x) 即 F ( ? x) ? F ( x) 所以函数 F ( x) 为偶函数. (注:同理可得
偶函数 ? 偶函数 ,由分母存在的意义分母处的偶函数不能取 0,且两函 偶函数

数的定义域均关于原点对称) (3)设在定义域为 I 上,函数 f ( x) 和 g ( x) 一个是奇函数,另一个是偶函数,则有函数
F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 为是奇函数.

证明:假设有一个函数 f ( x) 为奇函数,另一个 g ( x) 为偶函数
4

内江师范学院本科毕业论文

则有 f (? x) ? ? f ( x) , g (? x) ? g ( x) 所以 F (? x) ? f (? x) g (? x) ? ? f ( x) g ( x) 即 F ( ? x) ? ? F ( x) 所以函数 F ( x) 为奇函数. (注:同理可得
奇函数 偶函数 ? 奇函数, ? 奇函数 , 由分母存在的意义分母处的函数不能 偶函数 奇函数

取 0,且两函数的定义域均关于原点对称) 3.5 复合函数的奇偶性 设在定义域为 I 上,函数 f ( x) 为奇函数, g ( x) 为偶函数,则有 (1)函数 F ( x) ? f ( f ( x)) 为奇函数. 证明:因为函数 f ( x) 为奇函数 所以有 f (? x) ? ? f ( x) 所以 F (? x) ? f ( f (? x)) ? f (? f ( x) ? ? f ( f ( x)) 即 F ( ? x) ? ? F ( x) 所以函数 F ( x) ? f ( f ( x)) 为奇函数. (2)函数 F ( x) ? g ( g ( x)) 为偶函数. 证明:因为函数 g ( x) 为偶函数 所以 g (? x) ? g ( x) 所以 F (? x) ? g ( g (? x)) ? g ( g ( x)) 即 F ( ? x) ? F ( x) 所以函数 F ( x) ? g ( g ( x)) 为偶函数 (3)函数 F ( x) ? f ( g ( x)) 为偶函数 证明:因为函数 f ( x) 为奇函数, g ( x) 为偶函数 所以 f (? x) ? ? f ( x) , g (? x) ? g ( x)
5

内江师范学院本科毕业论文

所以 F (? x) ? f ( g (? x)) ? f ( g ( x)) 即 F ( ? x) ? F ( x) 所以函数 F ( x) ? f ( g ( x)) 为偶函数 (4)函数 F ( x) ? g ( f ( x)) 为偶函数 证明:因为 f ( x) 为奇函数, g ( x) 为偶函数 所以 f (? x) ? ? f ( x) , g (? x) ? g ( x) 所以 F (? x) ? g ( f (? x)) ? g (? f ( x)) ? g ( f ( x)) 即 F ( ? x) ? F ( x) 所以函数 F ( x) ? g ( f ( x)) 为偶函数.

4.函数奇偶性的判定
4.1 定义法 判断函数奇偶性我们通常情况下采取最基本最常用的方法是通过运用函数奇偶性的 定义来进行判定的,而在实际采取定义判定的操作过程中,我们需要注意所求函数的定 义域是否关于原点对称, 这是运用定义法来判定一个函数奇偶性的必要前提.如若函数定 义域首先都不满足关于原点对称的条件,那么很显然该函数不存在奇偶性;若函数的定 义域满足关于原点对称的条件,那么接下来就需要再根据 f ( x) 与 f (? x) 之间的关系来判 定这个函数函数的奇偶性. 例 2 请判断下面列举出的函数的奇偶性 (1) f ( x) ? log2 ( x ? x2 ? 1 (2) f ( x) ? lg x ? 2 解:(1)由题已知函数 f ( x) 的定义域为 R 又因为
f (? x) ? log2 ? x ? (? x) 2 ? 1 ? log2
( x ? R)

?

?

1 x ? x2 ?1

? ? log2 ( x ? x2 ?1
即 f (? x) ? ? f ( x)
6

内江师范学院本科毕业论文

所以函数 f ( x) ? log2 ( x ? x2 ? 1 为奇函数. (2)由 x ? 2 ? 0, 得x ? 2 所以 f ( x) 的定义域为 ?x / x ? 2? 因为函数 f ( x) 的定义域不关于原点对称 所以函数 f ( x) 不存在奇偶性. 4.2 图像法 利用函数的图象来判别函数的奇偶性最为直观明了,但使用这种方法须要求函数的 图象尽可能精确.然后再利用奇函数的图象是关于原点对称, 偶函数的图象是关于 y 轴对 称的性质来对函数的奇偶性进行判别.即当函数同时满足 F ( x, y ) ? 0 和 F (? x,? y) ? 0 是为 奇函数;当函数同时满足 F ( x, y ) ? 0 和 F (? x, y ) ? 0 是为偶函数. 例3
2 ? ? x ? x ? 1( x ? 0) 判断函数 f ( x) ? ? 2 ? ?? x ? x ? 1( x ? 0)

解:由题可以知道函数的定义域是关于原点对称的. 设当 x ? 0 时函数表示为曲线 l1 的方程: F1 ( x, y) ? y ? x 2 ? x ? 1 ? 0 当 x ? 0 时函数表示为曲线 l 2 的方程: F2 ( x, y) ? y ? x 2 ? x ?1 ? 0 又因为 F2 (? x,? y) ? ? y ? x 2 ? x ?1 ? y ? x 2 ? x ? 1 ? 0 原函数的图象是关于原点对称的 ,所以该函数即是奇函数. 4.3 性质法 解决函数问题时候运用一些奇函数和偶函数的四则运算性质(前提条件是两个函数 的定义域的交集为空集)来判断一部分较为复杂的函数的奇偶性:一个奇函数与另一个 奇函数的差(和)为一个奇函数;一个偶函数和另一个偶函数.的差(和)为一个偶函数; 一个偶函数与一个奇函数的差(和)既不是奇函数也不.是偶函数;奇函数和奇函数的商 (积)是偶函数;偶函数和偶函数的商(积)是一个偶函数;偶函数和奇函数的商(积) 是一个奇函数.当然, 其中包含了一些复杂的复合函数, 同样可通过复合函数奇偶性的性. 质来求解. 例4 请试判断以下列举出的函数的奇偶性.

(1) y ? x ? cos x

7

内江师范学院本科毕业论文

(2) y ? sin x(arctanx) (3) y ? cos[log a ( x ? x 2 ? 1)]
(a ? 0且a ? 1)

解:(1)由题可以知道函数的定义域是关于原点对称的 那么设 f ( x) ? x , g ( x) ? cos x 则 y ? f ( x) ? g ( x) 又因为函数 f ( x) 为奇函数,并且函数 g ( x) 为偶函数 所以函数 y ? f ( x) ? g ( x) 不是奇函数也不是偶函数 即原函数 y ? x ? cos x 在其定义域上不是奇函数也不是偶函数. (2)由题可得函数的定义域是关于原点对称的 设 f ( x) ? sin x , g ( x) ? arctanx 则 y ? f ( x) g ( x) 又因为函数 f ( x) ? sin x 为奇函数, g ( x) ? arctanx 为奇函数 所以函数 y ? f ( x) g ( x) 为偶函数 即原函数 y ? sin x(arctanx) 为偶函数 (3)由题可得函数的定义域是关于原点对称的 设 f ( x) ? cos x , g ( x) ? loga ( x ? x2 ?1) 则 y ? f ( g ( x)) 因为函数 f ( x) ? cos x 为偶函数, g ( x) ? loga ( x ? x2 ?1) 为奇函数 所以函数 y ? f ( g ( x)) 为偶函数 即原函数 y ? cos[log a ( x ? x 2 ? 1)] 为偶函数.

5.函数奇偶性的应用
函数奇偶性在数学里有着广泛应用,一些较难又特殊的数学题,利用函数的奇偶性 求解,不仅可以达到巧解妙证,起到事半功倍的作用,同时也能提和培养起学生创造思 维能力及其多方面的数学能力. 5.1 求值
8

内江师范学院本科毕业论文

在众多函数类型的题中, 求解函数值的问题是一个最为常见的类型.而在大部分的求 值问题中,经常会考察学生能否巧妙地运用函数奇偶性来求解函数值,达到简化步骤进 而快速解决问题. 例5 已知函数 f ( x) ? x5 ? ax3 ? bx ? 6 ,且 f (?2) ? 8 ,求 f (2) 的值.

解:设 g ( x) ? x5 ? ax3 ? bx ,则 f ( x) ? g ( x) ? 6 因为 g (? x) ? (? x)5 ? a(? x)3 ? b(? x) ? ? x5 ? ax3 ? bx 所以 g (? x) ? ?( x5 ? ax3 ? bx) ? ? g ( x) 所以函数 g ( x) 为奇函数,即 g (? x) ? ? g ( x) 又因为 f (?2) ? g (?2) ? 6 ? 8 所以 g (?2) ? 2 ,则 g (2) ? ? g (?2) ? ?2 所以 f (2) ? g (2) ? 6 ? ?2 ? 6 ? 4 5.2 求函数解析式 在求解函数解析式的问题中,有一种类型是求解分段函数的解析式,而在许多这一 类型的题中,都会涉及到利用函数奇偶性的定义来进行求解. 例 6 已知 f ( x) 是一个定义在 (??,0) ? (0,??) 上的奇函数, 且当 x ? 0 时,f ( x) ? x3 ? x ? 1 , 求 f ( x) 在定义域上的解析表达式. 解:设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 所以 f (? x) ? (? x)3 ? (? x) ?1 ? ? x3 ? x ?1 又因为 f ( x) 为奇函数 所以 f (? x) ? ? f ( x) ,即 f ( x) ? ? f (? x) 所以当 x ? 0 时, f ( x) ? x3 ? x ? 1 所以函数 f ( x) 为分段函数:当 x ? 0 时, f ( x) ? x3 ? x ? 1 当 x ? 0 时, f ( x) ? x3 ? x ? 1 5.3 解不等式 在关于利用函数奇偶性解不等式的题型当中,主要运用到了奇(偶)函数图象性质 及函数奇偶性与其单调性之间的性质关系的知识来求解.
9

内江师范学院本科毕业论文

例 7 定义在 (?2,2) 上的一个偶函数 f ( x) 满足 f (1 ? a) ? f (a) , 又当 x ? ?0,2? 时, 并且 f ( x) 为单调递减的,请求 a 取值范围. 解:由 f ( x) 为偶函数可得 f (? x) ? f ( x) 从而 f ( x ) ? f ( x) , ( x ? 2) 又因为 f (1 ? a) ? f (a) 所以 f ( 1 ? a ) ? f ( a ) 因为当 x ? ?0,2? 时, f ( x) 是减函数 所以需满足 1 ? a ? a , 1 ? a ? 2 , a ? 2 同时成立 解得 ? 1 ? a ?

1 2

1? ? 所以 a 的取值范围为 a ? ? ? 1, ? 2? ?

5.4 求解方程根的个数 运用函数奇偶性的相关性质在求解方程个数方面也会达到事半功倍的效果. 例 8 求方程 x ? 40 sin x ? 0 的实数根的个数. x 解:原方程可化为 ? sin x ? 0 40 x 设 f ( x) ? ? sin x ,则函数 f ( x) 为奇函数,且 x ? 0 是 f ( x) ? 0 的根 40 所以 f ( x) ? 0 的根除 0 外成对出现 在 (0,??) 上讨论 y ?

x 与 y ? sin x 图像交点情况 40

因为 f (40) ? 1 ? sin 40 ? 0 所以当 x ? 40 时, f ( x) ? 0 无实根 又因为 12? ? 40 所以当 x ? 0 ,两个函数图像有 12-1=11 个交点(原点舍去) 所以原方程有 11 ? 2 ? 1 ? 23 个实数根.

结束语
通过对函数奇偶性的探究,从其定义、性质、判定及应用一一进行分析和总结,对 定义的注意事项, 性质的证明, 判定的解决方法和应用的解题类型我都进行了阐述.当然,
10

内江师范学院本科毕业论文

在对函数奇偶性的探究中,或多或少存在一些遗漏和不足,在这里,希望有学之士加以 补充和改正,最后能对函数的奇偶性运用空间能有进一步的拓展.

参考文献
[1] 段本强.教学实践中就函数奇偶性问题的探讨[J].群文天地,20012(6):202. [2] 陈婷婷.浅谈函数奇偶性的判别[J].法制与社会,1009-0592(2009)04-307-01. [3] 潘晓鸣.函数奇偶性的判断与应用[J] .江苏教育学院学报,2006,23(3):77-78. [4] 胡大勇.论函数的奇偶性[J].重庆职业技术学院学报,1672-0067(2006)01-0161-02. [5] 贾伟国.关于函数的奇偶性[J].1671-2730(2006)04-0076-03. [6] 丁亮,杨星光.换一些新思路去理解函数的奇偶性[J].中国校外教育下旬刊,2014(02):79. [7] 陈玄令,沈国荣.复合函数奇偶性的判断方法[J].渤海大学学报,2008, 29(2):158-160. [8] 高中数学必修一(A 版)[M].北京:人民教育出版社.

11

内江师范学院本科毕业论文

致谢 本论文实在吕晓亚老师的悉心指导下完成的,导师渊博的专业知识,严谨的治学态 度,精益求精的工作作风,诲人不倦的高尚师德,严以律己、宽以待人的崇高风范,朴 实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远.不禁使我树立了远大的学术目标、掌握了基 本的研究方法, 还是我明白了许多待人接物与为人处事的道理.经过了两个多月的学习和 研究,我最终完成了《函数奇偶性及其应用》的论文.从开始确定论文题目到论文文章的 完成,每走一步就我而言都是新的尝试和挑战,这也是我在大学期间独立完成的最大的 项目.在这段时间里,我学到了很多知识也有过很多感受,我开始独立的学习,查看相关 的资料和书籍,让自己头脑中模糊的概念逐渐清晰,使自己非常稚嫩作品一步步完善起 来,每一次改进都是我学习的收获,然我的论文作品不是很成熟,还存在很多不足之处, 但我可以自豪的说,这里面的每一段文章,都有我的劳动.我相信其中的酸甜苦辣最终都 会化为甜美的甘泉. 这次做论文的经历也会使我终身受益,我感受到做论文是要真真正正用心去做的一 件事情,是真正的自己学习的过程和研究的过程,没有学习就不可能有研究的能力,没 有自己的研究,就不会有所突破,那也就不叫论文了.希望这次的经历能让我在以后学习 中激励我继续进步.

12


相关文章:
函数奇偶性的定义与应用.doc
函数奇偶性的定义与应用 - 函数 2:函数的奇偶性 【教学目的】 使学生了解奇偶性的概念,掌握判断函数奇偶性的方法; 【重点难点】 重点:函数的奇偶性的有关概念;...
函数的奇偶性及其应用举例.doc
函数奇偶性及其应用举例 - 函数奇偶性及其应用举例 (湖北省红安县职教中心 金哲、曾诚) 【摘要】 函数是贯穿于初中、高中、大学数学教学的一条主线,也是高中...
函数的奇偶性及其应用(答案版).doc
函数奇偶性及其应用(答案版)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。函数奇偶性及其应用 一、关于函数的奇偶性的定义: 定义说明:对于函数 f ( x) 的定义域内...
函数奇偶性的应用_图文.ppt
函数奇偶性应用 - 函数奇偶性应用 走进复习 一、基础知识: 1.函数奇偶性的概念 (1)偶函数的定义 如...
函数奇偶性性质及其应用(精).doc
函数奇偶性性质及其应用(精) - 函数奇偶性性质及其应用 蒋明权 邓海 如果对于
函数奇偶性的应用.doc
函数奇偶性应用 - 函数奇偶性应用 函数的奇偶性是函数的重要性质,在各类考试中是考查的热点,下面 对奇偶性的常见应用进行举例说明. 一、求函数的解析式 3 ...
函数奇偶性的性质及其应用.doc
函数奇偶性的性质及其应用 - 函数奇偶性的性质及其应用 如果对于函数 f(x)的
函数奇偶性的应用_图文.ppt
函数奇偶性应用 - 函数奇偶性应用 学习目标 : 1.会根据函数奇偶性求解析
函数奇偶性的性质及其应用_图文.doc
函数奇偶性的性质及其应用_数学_自然科学_专业资料。基本初等函数 函数奇偶性的性质及其应用整个知识点的运用都基于”定义域”基础 基础知识: 如果对于函数 f(x)的...
《函数奇偶性的性质及其应用技巧》.doc
函数奇偶性的性质及其应用技巧》 - 函数奇偶性的性质及其应用技巧 如果对于函数
函数奇偶性的性质及其应用1.doc
函数奇偶性的性质及其应用1 - 函数奇偶性的性质及其应用 如果对于函数 f(x)
函数奇偶性的应用.doc
函数奇偶性应用 - 抚顺德才高中高一数学北大班(编号 20) 制作人:侯雨晴 备课组长: 2.1.4 函数的奇偶性(2) 【学习目标】1.会利用函数奇偶性求参数; 2....
17、函数奇偶性的性质及其应用_图文.pdf
17、函数奇偶性的性质及其应用_数学_初中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 | 举报文档 17、函数奇偶性的性质及其应用_数学_初中教育_教育专区。17 ...
函数奇偶性性质及其应用.doc
函数奇偶性性质及其应用 - 函数奇偶性性质及其应用 蒋明权 邓海 如果对于函数
函数奇偶性专题.doc
函数奇偶性专题 - 专题:函数的奇偶性 教学目标:掌握函数的奇偶性的定义及图象特
...高中数学专题讲座:函数的奇偶性、单调性及其应用(最....doc
墨微教育高中数学专题讲座:函数奇偶性、单调性及其应用(最新)2018.09.12 - 函数奇偶性、单调性及其应用 教研组: 函数奇偶性: 1、偶函数:对于函数 y ?...
函数奇偶性与非负性的判定方法及其应用_论文.pdf
函数奇偶性与非负性的判定方法及其应用 - 我们将利用奇偶函数的复合运算、求导运算
1.3.2 奇偶性 第2课时 函数奇偶性的应用_图文.ppt
1.3.2 奇偶性 第2课时 函数奇偶性应用 - 第2课时 函数奇偶性应用 生活中有很多美好的东西,上面的这两个图片美在什 么地方呢?而具有奇偶性的函数图象都...
函数的奇偶性及其应用_图文.ppt
函数奇偶性及其应用 - 函数的奇偶性 1/10/2015 一、判断函数的奇偶性
1.3.2(2)函数的奇偶性和单调性的综合应用改_图文.ppt
1.3.2(2)函数奇偶性和单调性的综合应用改 - §1.3.2奇偶想性 【1】已知函数f(x)=ax2+bx+c,(2a-3≤x≤1)是 偶函数,则a=___,b=___,c∈...
更多相关文章: