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江西省九所重点中学2014届高三下学期3月联合考试数学理试题

江西省九所重点中学 2014 届高三下学期 3 月联合考试 数学理试题
注意事项: 1、本试卷分第 1 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部勿\.满分 150 允考试时间为 120 分钟. 2、本试卷分试题卷和答题卷,第 1 卷(选择题)的答案应填在答题卷卷首相应的空格内,做在第 1 卷的无纯 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.函数 f ( x) ? A.(1,+∞) 2.已知集合

ln( x ? 1) 的定义域是
B.(2,+∞) C. 【2,+∞) ,i 为虚数单位,复数 z= D. (1,2)

2 的实部,虚部,模分别为 a,b, 1? i

t,则下列选项正确的是 A.a+b∈M B.t∈M C.b∈M D.a∈M 3.月底,某商场想通过抽取发票的 10%估计该月的销售总额.先将该月的全部销售发票存根进行了 编号:1,2,3,…,然后拟采用系统抽样的方法获取一个样本.若从编号为 1,2,…,10 的前 10 张发票存根中随机抽取一张,然后再按系统抽样的方法依编号顺序逐次产生第二张、第三张、 第四张、…,则抽样中产生的第二张已编号的发票存根,其编号不可能是 A.13 B.17 C.19 D.23 4.二项式 (ax ? A.
a 3 6 ) 的展开式第二项系数为 ? 3, 则? x 2dx 的值为 ?2 6

7 3

B. 3

C.3 或

7 3

D.3 或—

10 3

5.阅读下面的程序框图,输出的结果是

A.9

B.10

C.11

D.12

6.已知数列{ an },若点(n,an)(n∈N*)均在直线 y 一 2=k(x 一 5)上,则数列{an)的前 9 项和 S9 等于 A.18 B.20 C.22 D.24 2 2 7.如果函数 y| x |—2 的图像与曲线 C:x +y = ? 恰好有两个不同的公共点,则实数力的取值范围是 A.{2} ? (4,+∞) B.(2,+∞) C.{2,4} D.(4,+∞)
·1 ·

8. 如图, 四边形 ABCD 是半径为 1 的圆 O 的外切正方形, △PQR 是圆 O 的内接正三角形, 当△PQR 绕着圆心 O 旋转时, AQ ? OR 的取值范围是

???? ??? ?

9.若两曲线在交点 P 处的切线互相垂亭,则称呼两曲线在点 P 处正交。设椭圆

x2 y2 ? ? 1 (0<b<2) 4 b2

与双曲线

x2 y2 x2 ? y 2 ? 1 在交点处正交,则椭圆 ? 2 ? 1 的离心率为 4 b 2

·2 ·

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11.如图,是一几何体的三视图,则该几何体的体积是

.

12.如图,是函数
·3 ·

的图像的一段,O 坐标原点,

P(3,1)是该段图像的最高点,A(5,0)是该段图像与 x 轴的一个交点,则此函数的解析式为

13.若实数 x、y 满足

,则 x+y 的最大值是

.

14.已知函数

恒成立,则实数 k 的取值范围

是 。 三、选做题:请在下列两题中任选一题作答.若两题都做只按其中第一题评分,本题共 5 分. 15.①(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆 p=2cosO 在点 M(2,0)处的切线的极坐标方程 为 . ② ( 不 等 式 选做 题 ) 若不等 式 lx 一 4I+H+Ix+4 阵 脚 的 解集 为 空集 ,则实 数 册 的取 值 范围 是 . 四、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 如图,△ABC 中.角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c 满足 c=l, a ? b ? ab ? 1, 以 AB 为
2 2

边向△ABC 外作等边三角形△ABD. (1)求∠ACB 的大小; (2)设∠ABC= ? ,| CD | ? f (? ) .试求函数 f (? ) 的最大值及 f (? ) 取得最大值时的 ? 的值.
2

17.(本小题满分 12 分) 甲乙丙丁 4 人玩传球游戏,持球者将球等可能的传给其他 3 人,若球首先从甲传出,经过 3 次 传球. (1)求球恰好回到甲手中的概率; (2)设乙获球(获得其他游戏者传的球)的次数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望.

·4 ·

18.(本小题满分 12 分) 四 棱 锥 P — ABCD

的 底 面 是 边 长 为

2

的 菱 形 , ∠ DAB=60 ° , 侧 棱

两点分别在侧棱 (1)求证:PA⊥平面 MNC。 (2)求平面 NPC 与平面 MNC 的夹角的余弦值.

19.(本小题满分 12 分) 设数列{ an }满足:a1=2,对一切正整数 n,都有 an?1 ? an ? 3 ? 2 .
n

(1)探讨数列{ an }是否为等比数列,并说明理由; (2)设 bn ?

an ? 1 , 求证 : b1 ? b2 ? ? ? bn ? n ? 4 an ? 1

20. (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xoy 中, 以点 P 为圆心的圆与圆 x2+y2-2y=0 外切且与 x 轴相切(两切点不重合). (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若直线 mx 一 y+2m+5=0(m∈R)与点 P 的轨迹交于 A、B 两点,问:当 m 变化时,以线段 AB 为直径的圆是否会经过定点?若会,求出此定点;若不会,说明理由.

·5 ·

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 . x

(1)求曲线 y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程; (2)若 g(x)=f(x)一 并说明理由;

1 ? ax 2 ? 2 x 有两个不同的极值点.其极小值为 M,试比较 2M 与一 3 的大小, x

(3)设 q>p>2,求证:当 x∈(p,q)时,

九校联考理科数学参考答案及评分标准(不同解法应酌请给分)
一、选择题:CDDAB AACCB
·6 ·

二、填空题:11.9 12. y ? sin ? 三、选做题:① ? cos ? =2 四、解答题:

?? ?? x? ? 4? ?4

13. 3 14. ? , ?? ? ?2 ?

?3

?

② ? ??,8 ?

a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? b2 ? 1 1 16.解:⑴在 ?ABC 中, cos C ? ? ? 2ab 2ab 2

\ ∠ ACB ?

?
3

………4 分

? 2? ? c ? sin ? ?? ? ? 3 ? ? 2 sin ? 2? ? ? ? ⑵由正弦定理知 a ? ? ? ? 3 ? 3 ? sin 3
?? ? \ f ?? ? ? a 2 ? 1 ? 2a ? cos ? ? ? ? ?3 ? 4 2 ?? ? ?? ? ?? ? ? sin 2 ? ? ? ? ? 1 ? 2 ? sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? 3 3 ?3 ? ?3 ? ?3 ?
? 2? ? 2? ?? 2 ? 2? ? 1 ? cos ? ? 2? ? ? ? sin ? ? 2? ? ? 1 ? 3? 3 ? 3 ?? ? 3 ?

………6 分

?

5 2? ? 2? ? ? 2? ? ? 5 4 ? 5? ? ? ? 3 sin ? ? 2? ? ? cos ? ? 2? ? ? ? ? sin ? ? 2? ? ……10 分 3 3? ? 3 ? ? 3 ?? 3 3 ? 6 ?

由于 ? ? ? 0,

? ?

2? 3

? ? ? ,故仅当 ? ? 时, f ?? ? 取得最大值 3. 3 ?

………12 分

17.解:⑴ 3 次传球,传球的方法共有 3 ? 3 ? 3 ? 27 种,3 次传球结束时,球恰好回到甲手中的传球方 法为 A3 ? 6 种,故所求概率为
2

2 9

………5 分 ………6 分 ………9 分

⑵易知 ? 的所有可能取值为 0,1, 2

P ?? ? 0 ? ?

8 6 ? 6 ? 4 16 1 ; P ?? ? 1? ? ? ; P ?? ? 2 ? ? , 27 27 27 9

\ ? 的分布列为
·7 ·

x

0

1

2

P

8 27

16 27

1 9
………10 分 ………12 分

因此, E? ? 0 ?

8 16 1 22 ? 1? ? 2 ? ? . 27 27 9 27

18. 解:设菱形对角线交于点 O ,易知 PO ? AC 且 PO ? 3 又 PB ? 10, OB ? 1 .由勾股定理知, PO ? BD 又? AC, BD ? 面ABCD,AC ? BD

z
P

O
………3 分

\

PO ? 平面 ABCD

建立如图空间直角坐标系, O ? 0, 0, 0 ? , P ? 0, 0,3? , B ?1, 0, 0 ? ,

N

D
M A B
O

A 0, ? 3, 0 , C 0, 3, 0 , D ? ?1, 0, 0 ? ,

?

? ? ?

?

C

y

?2 ? ? 2 ? ………5 分 M ? ,0,1? , N ? ? ,0,1? ?3 ? ? 3 ? ??? ? ⑴显然, AP ? 0, 3,3 ,平面 MNC 的法向量

x

?

?? ??? ? ? m = 0,1, 3 ,由 AP ∥ n ,知 AP ? 平面 MNC

(

)

………8 分

⑵设面 NPC 的法向量为 n ? ? x, y , z ? 取 z = 1,得 n ? ?3, 3,1

?

由 n ?NP

? ??? ?

? ??? ? 0, n ?CP

0
………10 分

?

?

?

?? ? ?? ? m ×n 39 \ cos m, n = ?? ? = 13 m n
所以平面 NPC 与平面 MNC 的夹角的余弦值为 19. 解:⑴由 an ?1 ? an ? 3 ? 2 得 an ?1 ? 2
n * n n ?1

39 . 13

………12 分

? an ? 2n ? ? ? a1 ? 2 ? 0 ,

∴对一切 n ? N , an ? 2 ,可知 ? an ? 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列. ………5 分 (通过归纳猜想,使用数学归纳法证明的,亦应给分)
·8 ·

(2)由(1)知 bn =

an + 1 2n + 1 2 = n = 1+ n an - 1 2 - 1 2 - 1

………6 分

证一:?

1 2n+ 1 - 1 2n+ 1 1 1 = < = 2( n - n+ 1 ) n n n+ 1 n n+ 1 2 - 1 (2 - 1)(2 - 1) (2 - 1)(2 - 1) 2 - 1 2 - 1 1 1 ………10 分 \ bn < 1 + 4( n - n+ 1 ) 2 - 1 2 - 1
1

1 1 4 - n+ 1 ) = n + 4 - n+ 1 < n + 4 ……12 分 2 - 1 2 - 1 2 - 1 2 1 证二:∵ 2 n ? 1 ≥ 2 n?1 (仅当 n ? 1时等号成立) ,故此, n ≤ n ? 2 ……10 分 2 ?1 2 1 1 1 从而, b1 ? b2 ? ?? ? bn ≤ n ? 2 ? 1 ? ? ? ? n ? 2 ? n ? 4 ? n ? 2 < n ? 4 ……12 分 2 2 2 \ b1 + b2 + 鬃 ? bn < n + 4(
20.解:⑴设 P( x, y ) ,由题意知 y > 0 且 x2 ? ? y ? 1? ? y ? 1 ,得 x ? 4 y
2
2

故所求点 P 的轨迹方程为 x ? 4 y ( y > 0 )
2 2

………5 分
2

⑵设 A ? x1 , y1 ? 、 B ? x2 , y2 ? ,将 y ? mx ? 2m ? 5 代入 x ? 4 y 得 x ? 4mx ? 8m ? 20 ? 0 ∴ x1 ? x2 ? 4m, x1 x2 ? ?8m ? 20
2 2

………7 分

而以线段 AB 为直径的圆的方程为 x ? y ? ? x1 ? x2 ? x ? x1 x2 ? ? y1 ? y2 ? y ? y1 y2 ? 0 ,



x2 x2 1 2 x 2 ? y 2 ? ? x1 ? x2 ? x ? x1 x2 ? ?? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? y ? 1 2 ? 0 , ? 4? 16
x 2 ? y 2 ? 4mx ? ? 4m 2 ? 4m ? 10 ? y ? 4m 2 ? 12m ? 5 ? 0 ,
………10 分



整理成关于 m 的方程

4m2 ?1 ? y ? ? 4m ? 3 ? x ? y ? ? x 2 ? y 2 ? 10 y ? 5 ? 0
2 2

由于以上关于 m 的方程有无数解,故 1 ? y ? 0且3 ? x ? y ? 0且x ? y ? 10 y ? 5 ? 0 , 由以上方程构成的方程组有唯一解 x ? 2, y ? 1 . 由此可知,以线段 AB 为直径的圆必经过定点 ? 2,1? . ………13 分

21.解: (1)易知 f '( x) =

1 1 1 1 - 2 , \ f (2) = ln 2 + , f '(2) = x x 2 4
·9 ·

1 1 \ 所求的切线方程为 y - (ln 2 + ) = ( x - 2) ,即 x - 4 y + 4ln 2 = 0 ……4 分 2 4 1 2ax 2 - 2 x + 1 2 (2)易知 g ( x) = ax - 2 x + ln x , g '( x) = 2ax - 2 + = ( x > 0) x x ? g ( x) 有两个不同的极值点 \ p( x) = 2ax 2 - 2 x + 1 = 0 在 (0, + ) 有两个不同的根 x1 , x2 ( x1 < x2 ) 1 则 D > 0 且 x1 + x2 > 0, x1 x2 > 0 解得 0 < a < ……6 分 2 g ( x) 在 (0, x1 ) 递增, ( x1 , x2 ) 递减, ( x2 , + ) 递增
2 - 2 x2 + ln x2 \ g ( x) 的极小值 M = g ( x2 ) = ax2

又? 2ax2 - 2 x2 + 1 = 0且x2 =

2

1 + 1- 2a ? (1, 2a

)

\ M = M ( x2 ) = x2 则 M '( x2 ) =

1 1 - 2 x2 + ln x2 = ln x2 - x2 - ( x2 > 1) 2 2

1- x2 < 0 , \ M ( x2 ) 在 (1, + ) 递减 x2 3 ……9 分 \ M ( x2 ) < M (1) = - ,故 2M < - 3 2 f ( x) - f ( p) > f '( x) (3)先证明:当 x ? ( p, q) 时, x- p 1 1 ln x + - ln p x p x- 1 即证: > 2 x- p x p+ 2 p 1 只需证: ln x + - 2 - ln p - - 1 > 0 x x p p+ 2 p 1 事实上,设 u ( x) = ln x + - 2 - ln p - - 1( p < x < q) x x p ( x - 2)( x - p) 易得 u '( x) = > 0 , \ u( x) 在 ( p, q) 内递增 x3 ……12 分 \ u( x) > u( p) = 0 即原式成立 f ( x) - f (q ) 同理可以证明当 x ? ( p, q) 时, f '( x) > x- q
综上当 x ? ( p, q) 时,

f ( x) - f ( p ) f ( x) - f ( q) > . x- p x- q

……14 分

·10·


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